《高等数学（第三版）》教案 0预备知识

第0章预备知识§0.1集合教学目的：（1）理解集合、元素及其关系和表示方法；（2）掌握子集、真子集的概念，并会判断他们之间的关系。（3）运用集合的思想准确描述客观世界的对象并对其进行分类研究，培养学生基本的数学素养。教学重点：（1）集合、元素、的概念及其关系（2）子集、真子集的概念及其关系教学难点：1.子集、真子集、空集的区别教学内容：集合的概念定义1由某些指定的对象集在一起所组成的整体就叫做集合，简称集.组成集合的每个对象称为元素.集合一般采用大写英文字母A、B、C…来表示，它们的元素一般采用小写英文字母a、b、c…来表示.如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作.集合分哪几类呢？------共两类：1.有限集；2.无限集定义2根据集合所含有元素个数可以将其分为有限集和无限集两类.含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集.集合的性质：（1）集合的元素具有确定性；（2）集合的元素具有互异性.由数所组成的集合称作数集.我们用某些特定的大写英文字母表示常用的一些数集：所有非负整数所组成的集合叫做自然数集，记作N；所有正整数所组成的集合叫做正整数集，记作N+；所有整数组成的集合叫做整数集，记作Z；所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q；所有实数组成的集合叫做实数集，记作R；不含任何元素的集合叫做空集，记作.练习11.11．用符号“”或“”填空：（1）−3，0.5，3；（2）1.5，−5，3；（3）−0.2，，7.21；（4）1.5，−1.2，．2．指出下列各集合中，哪个集合是空集？（1）方程的解集；（2）方程的解集．二、集合的表示方法1.列举法把集合的元素一一列举出来，元素中间用逗号隔开，写在花括号“｛｝”中用来表示集合，这种方法即为列举法.例如，由小于5的自然数所组成的集合用列举法表示为：自然数集N为无限集，用列举法表示为：2.描述法把描述集合元素的特征性质或表示集合中元素的规律写在花括号内用来表示集合的方法叫做描述法.例如，由大于2的所有实数所组成的集合用描述法表示为：花括号内竖线左侧的表示这个集合中的任何一个元素，元素从实数中取值，竖线的右侧写出的是元素的特征性质.提示用列举法表示集合可以明确地看到集合中的每一个元素，而用描述法表示集合可以很清晰地反映出集合元素的特征性质，因此在具体的应用中要根据实际情况灵活选用.练习1.1.21．用列举法表示下列各集合：（1）方程的解集；（2）方程的解集；（3）由数1，4，9，16，25组成的集合；（4）所有正奇数组成的集合．2．用描述法表示下列各集合：（1）大于3的实数所组成的集合；（2）方程的解集；（3）大于5的所有偶数所组成的集合；（4）不等式的解集．一、子集定义3一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A就叫做集合B的子集，记作AB或BA，读作“A包含于B”或“B包含A”.任意一个集合A都是它自身的子集，即AA.规定空集是任意一个集合的子集，即对于任意一个集合，都有练习1.1.3用符号“”、“”、“”或“”填空：（1）； （2）；（3）；（4）；（5）；（6）．二、真子集定义4如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”，可用下图直观地表示.三、集合的相等定义5一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，或者集合B的每一个元素都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合B.例1写出集合的所有子集和真子集.解：集合A的所有子集为：，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}.在上述子集中，去掉集合A本身，即{1,2,3}，剩下的集合都是A的真子集.例2说出以下两个集合之间的关系：（1）A={2,4,5,7},B={2,5}（2）S={x|x2=1},T={-1,1}（3）C={x|x是奇数}，D={x|x是整数}.解：（1）（2）S=T（3）练习1.1.4用适当的符号填空：=1\*GB2⑴{1，3，5}{1，2，3，4，5，6}；=2\*GB2⑵{3，-3}；=3\*GB2⑶{2}{x||x|=2}；=4\*GB2⑷2N；=5\*GB2⑸a{a}；=6\*GB2⑹{0}；=7\*GB2⑺.第0章预备知识§0.2集合的运算教学目的：（1）理解交集、并集的概念；（2）理解全集与补集的概念；（3）会求出集合的交集、并集和补集．教学重点：（1）交集与并集及集合的补运算（2）用描述法表示集合的交集与并集，集合并、交、补的综合运算教学难点：用描述法表示集合的交集与并集，集合并、交、补的综合运算教学内容：一、交集定义6一般地，像上述那样给定两个集合A、B，由既属于A又属于B的所有共同元素构成的集合叫做集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”.集合A和集合B的交集可以用下图的阴影部分来形象地表示.由交集的定义可知，对于任意两个集合A,B，都有：（1）（2）（3）（4）如果,那么例1设集合A={x|x<1},B={x|x<2},求.解：={x|x<1}{x|x<2}={x|x<1}例2已知集合A={x|x是奇数}，B={x|x是偶数}，Z={x|x是整数}，求，，.解：因为,,所以={x|x是奇数}{x|x是偶数}=练习1.2.11．设，，求．2．设，，求．3．设，B={x|0<x<4}，求．二、并集定义7一般地，对于两个给定的集合A，B，由集合A和B的所有元素组成的集合叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”.集合A和集合B的并集可以用下图中的阴影部分来表示.由并集的定义可知，对于任意两个集合A,B，都有：（1）（2）（3）（4）如果,那么例3已知集合A={1,3,4},B={2,4,5},求.解：={1,3,4}{2,4,5}={1,2,3,4,5}例4设集合A={x|x>3},B={x|x>5},求，.解：因为,所以=={x|x>3}.=={x|x>5}.练习1.2.21．设，，求．2．设，{x|0<x<3}，求．三、补集在研究集合与集合的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，则称这个给定的集合为全集，一般用U表示.在研究数集时，常常把实数集R作为全集.定义8如果给定某一集合A是全集U的一个子集，则U中不属于A的所有元素组成的集合叫做A在全集U中的补集，记作UA，读作“A在U中的补集”，即UA=｛x︱x∈U且xA｝.全集U与它的任意一个真子集A之间的关系可用下图来表示，其中阴影部分表示A在U中的补集.归纳:由补集的定义可知，对于任意集合，都有(1)(2)(3)U（UA）=A例5设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,5},求.解：.例6设全集U={x|x是实数},集合Q={x|x是有理数}，求解：={x|x是无理数}例7设全集U=R,A={x|x>5},解：={x|x5}.练习1.2.31．设，，求．2．设，A={x|-2<x<5}.，求．巩固练习1．设，，，求，，，，（）∪（）,（）∩（）2.设，，，求，，（）∪（）,（）∩（）第0章预备知识§0.3不等式教学目的：（1）理解不等式的性质和解法；（2）掌握一元二次不等式的解法；（3）了解含绝对值不等式的解法．教学重点：（1）不等式的性质

（2）一元二次不等式的解法教学难点：（1）一元二次不等式的解法（2）绝对值不等式的解法教学内容：一、不等式的基本性质性质1(传递性)如果a>b,且b>c，那么a>c.性质2(加法法则)如果a>b,那么a+c>b+c.性质3(乘法法则)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.推论1如果a+b>c,那么a>c-b.推论2如果a>b,且c>d，那么a+c>b+d.推论3如果a>b>0,且c>d>0，那么ac>bd.二、不等式的解法不等式的解集：在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数值的全体所组成的集合.各个区间的含义及表示方法，完成表格一元二次不等式的解法导入：一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系一元二次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式.由二次函数的零点入手观察图像解一元二次不等式.根据之前所学知识和二次函数的图像，完成表格.

一元二次不等式实际的应用实例.

绝对值不等式绝对值的定义、几何意义、函数y＝|x|的图象绝对值不等式的解法利用绝对值的几何意义观察利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论两边同时平方去掉绝对值符号利用函数图象观察不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a}第0章预备知识§0.4指数与对数教学目的：（1）理解集合、元素及其关系和表示方法；（2）掌握子集、真子集的概念，并会判断他们之间的关系。（3）运用集合的思想准确描述客观世界的对象并对其进行分类研究，培养学生基本的数学素养。（1）掌握指数的概念与运算性质（2）掌握对数的概念与运算性质（3）会把对数与指数进行互相转换．教学重点：（1）指数与对数的概念（2）指数与对数的运算法则教学难点：（1）指数与对数相互转换（2）对数的运算性质教学内容：一、指数根式：分数指数幂实数指数幂对数一般地，如果ax的对数,其中a叫做对数的底数，N叫做对数的真数.（以a为底，N的对数.）特殊对数常用对数、自然对数课堂小结第0章预备知识§0.5数列教学目的：（1）掌握等差、等比数列的概念与通项公式（2）掌握等差、等比数列的前n项和公式教学重点：（1）等差、等比数列以及等差中项、等比中项的概念（2）等差、等比数列的通项公式及前n项和公式教学难点：等差、等比数列通项公式及前n项和公式的推导过程教学内容：数列定义定义0.16按一定顺序（或规律）排列的一列数a1,a2,a3,⋯,an,⋯称为数列，简记为{an}.数列通项公式定义0.17一个数列的第n项an与项数n之间的函数关系，如果可用一个解析式来表示，则这个解析式就称为该数列的一个通项公式，简称通项公式.§0.7等差数列等差数列定义定义0.18如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数d，则此数列称为等差数列，d称为公差.练习等差数列的通项公式导入推导一：迭代法推导二：累加法3.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d4.练习思政：教导学生数学是一门十分严谨的学科，做题时一定要细致认真，拓展不光是在学习中在生活中也应该如此，养成严谨细致的好习惯。等差中项定义0.19如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，则称A为a与b的等差中项.A=a+b/2等差数列前n项和公式导入思政：通过数学家高斯计算1+2+3+...+100的和引入等差数列的前n项和，学