《高等数学（第三版）》教案 第2章 极限与连续

第一章极限与连续§2.1极限的概念教学目的：1.理解数列极限、函数极限的概念2.会计算简单的极限3.了解极限的性质教学重点：1.数列极限、函数极限的概念2.极限的计算教学难点：对极限概念的理解对极限性质的理解教学内容：一、数列极限：1、引入庄子截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”第一天截下的木棒长为x1=1/2第一天截下的木棒长为x2=1/22………第n天截下的木棒长为xn=1/2n当n无限增大时，1/2n无限接近于0.把0称为数列1/2n的极限.割圆术:我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何上的应用.割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失.用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积:正六边形的面积A1正十二边形的面积A2………正边形的面积An说明：当n的取值无限增大时，面积An无限接近一个确定的常数S.—数列的极限2、概念对于数列，若当自然数n无限增大时，能无限地趋近于一个确定的常数A，则称数列为收敛数列，常数A称为它的极限，记作反之，如果数列的极限不存在，则称数列发散.3、例题例1．判断下列数列的极限是否存在解：（1）无限增大，极限不存在解：由等比数列求和公式可知由于，所以当无限增大时，无限趋近于零，所以无限趋近于，因此4、结论函数极限对于y=f(x)，自变量的变化过程有两种形式：自变量趋于无穷大时函数的极限；自变量趋于有限值x0时函数的极限.概念：对于函数y=f(x),如果当自变量x的绝对值无限增大时,函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A,称常数A为函数f(x)当时的极限,记作对于函数y=f(x),如果当自变量x从左、右两侧无限趋近于x0时,函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A,称函数在x0处的极限为A,记作左、右极限的定义：当自变量时，函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A,则称常数A为时的左(右)极限,记作定理的充分必要条件是即左、右极限存在并相等.—判断分段函数在分界点处的极限方法.3、例题例3．设讨论该函数当时的极限.解：例4．观察当时，函数的变化趋势，并求时的极限.解：从图像可看出，当x从的左、右两侧同时无限趋近于-1时，函数的值无限趋近于-2，故注意：当时并不要求函数在点处有定义.例5．设求当时的极限.解：函数极限的性质1、性质2、例题例6.解：第一章极限与连续§2.1极限的四则运算教学目的：1.掌握极限的四则运算法则2.会计算几种特殊形式的极限教学重点：1.极限的四则运算法则2.几种特殊形式极限的计算教学难点：几种特殊形式极限的计算教学内容：一、极限的四则运算法则：1、法则说明：（1）定理中的(1)、(2)都可推广到有限个函数的情形；（2）在(3)除法运算中,要求分母的极限不为零;（3）表示该定理对于自变量的各种变化趋势都成立，但是运算前后极限过程需保持一致.2、例题例1．求解：几种特殊形式的极限1、例题例2．求分析：这两个题分母的极限为0，分子的极限为不等于0的常数，不能直接使用四则运算法则，通过对分子分母进行分析可以知道整个分式的极限为.把这种形式的极限称为解：求分析：这两个题分母、分子的极限都为0，不能直接使用四则运算法则.解决方法：（1）分子、分母有公因子，需约分之后进行计算；（2）分子含有根式，先将分子有理化再求极限.把这种形式的极限称为解：练习：答案：3/5、1/3、1求分析：当时，分子与分母的极限为，极限不存在，不能直接使用四则运算法则来计算.解决方法：考虑到分子与分母都是多项式，可以先将分子、分母同时除以(其中n为分子、分母中自变量的最高次幂)，然后利用法则求极限.把这种形式的极限称为解：总结：练习：答案：5/2、∞求分析：当时，括号中两项极限为，极限不存在，故不能直接用极限的减法计算.解决方法：（1）可以先通分转化为分式再求极限;（2）可以先有理化再求极限.把这种形式的极限称为解：练习：答案：-1、1第一章极限与连续§2.3两个重要极限教学目的：1.灵活掌握第一、第二重要极限2.会利用两个重要极限计算极限教学重点：1.两个重要极限的特点及变形2.利用两个重要极限计算极限教学难点：两个重要极限的变形及灵活运用教学内容：一、第一重要极限：1、引入从表中可以看出，当x→0时，sinx/x的值无限趋近于1，所以证明3、例题例1．解：解：解：解：解：练习：计算下列极限答案：3/2、3、-1第二重要极限1.证明—第二个重要极限第二重要极限注意：在利用求函数极限时，要注意使用条件：的变量一致，且括号内3、例题例6．求解：例7．求解：例8．解：求解：练习：求答案：第一章极限与连续§2.4无穷小与无穷大教学目的：1.理解无穷小与无穷大的概念2.理解无穷小的性质3.了解无穷小与无穷大的关系4.掌握无穷小的比较5.会利用等价无穷小替换定理计算极限教学重点：1.无穷小与无穷大的概念2.等价无穷小替换定理教学难点：对无穷小、无穷大概念的理解利用等价无穷小替换定理计算极限教学内容：一、无穷小与无穷大：1、概念无穷小量的定义：如：无穷大量的定义：如：注意：（1）无穷小不是很小的数.（2）0是唯一的无穷小常数.描述一个函数是无穷小、无穷大时，一定要指明自变量的变化趋势.无穷大不是一个数,不可与很大的数混为一谈.2、无穷小的性质（1）有限个无穷小的代数和是无穷小；（2）有限个无穷小的乘积是无穷小；（3）无穷小与有界变量的乘积是无穷小.注意：性质1,2只针对有限项成立，无穷多项是不成立的。3、无穷小与无穷大的关系如：注：对无穷大的研究往往归结为对无穷小的研究.4、例题例1．求解：求解：练习：答案：1.×、√、×、×、×2.（1）、（2）是无穷小；（3）为无穷大无穷小的比较引入：比值极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.概念等价无穷小替换定理该定理表明，求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小来替换.4、例题例3．解：求分析：解：注意：用等价无穷小代换求极限时，一般只适用于乘、除，不能在加、减中使用.如上题若对分子的每项作等价替换，则会产生错误的结果.（×）练习：求下列极限答案：3/5、2、1/2第一章极限与连续§2.5函数的连续性教学目的：理解函数连续的概念会判函数的连续性3.会求函数的间断点并判断其类型4.了解初等函数的连续性5.掌握最值定理、介值定理、零点定理教学重点：1.函数连续的概念2.判断间断点的类型3.闭区间上连续函数的性质教学难点：对连续概念的理解间断点类型的判断最值定理、介值定理、零点定理的应用教学内容：一、函数的连续性：1、函数的增量定义1在某过程中,变量u由初值u1变为终值u2,则称差u2-u1称为变量u的增量,记为△u=u2－u1.注意：△u是一个整体记号,它可以取正值、负值或零.当初值大于终值时，增量就是负的.定义2自变量由x0变化到x，则称△x=x-x0为自变量x在x0点处的增量.f(x)在点x0点处有函数增量△y：函数连续的概念定义3定义4设f(x)在U(x0)内有定义,若则称函数f(x)在x0处连续.函数f(x)在点x0处连续,应该满足以下三点：左、右连续：定义5设函数f(x)在开区间(a,b)内有定义.定理1：函数在点x0连续的充要条件是它在点x0处既左连续又右连续.注：此定理判定分段函数在分段点处的连续性.3、例题例1．解：解：解：函数的间断点概念：定义6函数的不连续点叫做函数的间断点.f(x)在点x0处出现如下三种情形之一:函数间断点的分类第一类间断点：第一类间断点：3、例题例4．初等函数的连续性1、概念应用连续函数的概念可以验证,所有的基本初等函数在其定义域内是连续的.根据连续函数的上述性质,还可以得到一个很有用的结论:一切初等函数在其定义区间内是连续的。结论表明：连续函数的极限符号与函数符号可以相互交换位置.2、例题例5.解：例6.解：闭区间上连续函数性质定理最值定理：闭区间上连续的函数在该区间上一定存在最大值和最小值.此定理说明，如果函数推论：闭区间上连续函数在该区间上有界.注意：定理5中条件“闭区间”和“连续”