《高等数学（第三版）》教案 第7章 微分方程

第七章微分方程§7.1微分方程的概念教学目的：理解微分方程、常微分方程、偏微分方程的概念理解微分方程的阶的概念3.会求微分方程的阶4.理解微分方程通解与特解的概念5.会判断某个函数是否是微分方程的通解6.了解微分方程的初值问题教学重点：1.求微分方程的阶2.微分方程通解与特解的概念3.判断某个函数是否是微分方程的通解4.根据通解和初值条件求微分方程的特解教学难点：对微分方程概念的理解对通解、特解的理解判断某个函数是否是微分方程的通解教学内容：一、微分方程的定义：1、引入引例1：求过点(1,3),且在曲线任一点M(x,y)处的切线斜率等于2x的切线方程.解：设所求曲线的方程为y=f(x).根据导数的几何意义，可知所求曲线应满足方程dy/dx=2x或dy=2xdx.（1）由于曲线过点(1,3),因此未知函数y=f(x)还应满足条件对（1）式两边积分，得把（2）式带入（3）式，得C=2.所以，所求曲线的方程为引例2：列车在以20m/s的速度行驶，当其制动时获得的加速度为-0.4m/s2,问开始制动后多长时间列车才能停住？在这段时间内列车行驶了多少路程？解：把列车刹车时的时刻记为t=0.刹车后位移与时间的关系为s=s(t),由导数的物理意义可知对（4）式两边积分得对(5)式两端再积分，得其中C1、C2为任意常数.由题意知代入(5)、（6）两式，得C1=20，C2=0，因此令得t=50.所以列车制动50s后才能停车.列车所走的路程为s(50)=500m.在科学研究和生产实践中，常常需要寻求表示客观事物变量之间的函数关系.然而,在许多问题中,往往不能直接得到所求的函数关系，只能得到含有未知函数的导数或微分的关系式.这样的关系式即通常所说的微分方程,通过求解微分方程可以进而得到函数关系.定义微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程常微分方程：未知函数为一元函数的方程偏微分方程：未知函数为多元函数的方程基本概念概念：微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数等都是微分方程.其中，(8)、(9)是一阶微分方程，(10)是二阶微分方程，（11）是五阶微分方程.微分方程的解：如果把某个定义在区间D上的连续可导的函数代入微分方程中，能使该方程成为恒等式，则称此函数为该微分方程在区间D上的一个解.如函数是微分方程dy/dx=2x的一个解；函数是微分方程的一个解.通解与特解：如果微分方程的解中含有任意常数，且其中独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解为该方程的通解.不含任意常数的解称为该方程的特解.例为微分方程dy/dx=2x的通解；为微分方程dy/dx=2x的特解.显式解与隐式解：以显函数形式表示的解称为显式解.以隐函数的形式表示的解称为隐式解.例为微分方程dy/dx=−x/y的显式解；为其隐式解.初值问题:用来确定通解中任意常数的条件称为初始条件.问题1：求微分方程(y)́=f(x,y)满足初始条件的特解记为称为一阶微分方程的初值问题.问题2：类似地，问题称为二阶微分方程的初值问题.积分曲线：微分方程的解的图形是一条曲线，称为该微分方程的积分曲线.初值问题1的几何意义：求微分方程(y)́=f(x,y)过点(x0,y0)的那条积分曲线.初值问题2的几何意义：求微分方程(y)́=f(x,y)过点(x0,y0)且在该点处的切线斜率为y0́的那条积分曲线.例题验证函数y=C1e2x+C2e−2x(C1、C2为任意常数)是二阶微分方程的通解，并求此微分方程满足初始条件的特解.分析：要验证一个函数是否是一个微分方程的通解，只需将该函数及其导数代入微分方程中，看是否使方程称为恒等式，再看通解中所含独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.要求微分方程满足所给初始条件的特解，只要把初始条件代入通解中，定出通解中的任意常数后，便可得到所需求的特解.解：将函数y=C1e2x+C2e−2x分别求一阶及二阶导数，得把他们代入式（12）的左端，得所以，函数y=C1e2x+C2e−2x是所给微分方程（12）的解.又因为这个解中含有两个独立的任意常数，任意常数的个数与微分方程（12）的阶数相同，所以它是该方程的通解.把式（13）中的初始条件：分别代入中，得解得C1=1/4,C2=−1/4.故微分方程的特解为y=1/4e3x−1/4e−2x.练习：验证：函数是微分方程的解,并求满足初始条件的特解.第七章微分方程§7.2.1一阶微分方程教学目的：了解一阶微分方程的形式掌握一阶线性齐次以及一阶线性非齐次微分方程的标准形式3.会求可分离变量的微分方程的解4.掌握一阶线性齐次以及一阶线性非齐次微分方程的解法教学重点：1.一阶线性齐次以及一阶线性非齐次微分方程的标准形式2.可分离变量的微分方程的解法3.一阶线性齐次以及一阶线性非齐次微分方程的解法教学难点：1.可分离变量的微分方程的解法2.一阶线性齐次以及一阶线性非齐次微分方程的解法教学内容：一阶微分方程的形式一阶微分方程的形式为：或一阶微分方程的解法可分离变量的微分方程（1）形式：形如的微分方程称为可分离变量的微分方程.解法：求解可分离变量的微分方程的步骤如下：第一步分离变量，得第二步两边积分，得第三步求出积分，得其中，分别是的原函数，C为任意常数.这就是方程（1）的通解.例题例1：解微分方程y=2xy解：原方程可改写为分离变量，得两边积分，得即显然y=0是微分方程y=2xy所以，微分方程的通解为例2：求微分方程x(1+y2)dx−(1+x2)ydy=0的通解.解：分离变量，得两边同时积分，得积分后得由于积分后出现对数函数，为了便于利用对数运算法则来化简结果，可把任意常数C1表示为1/2·lnC,即化简得练习：求下列微分方程的通解.一阶线性微分方程形式形如的方程，称为一阶线性微分方程.一阶线性齐次微分方程：（上式中）一阶线性非齐次微分方程：解法一阶线性齐次微分方程的解法：分离变量，得两边积分，得所以，一阶线性非齐次微分方程的解法：将得到的一阶线性齐次微分方程通解中的常数换为函数，设是一阶线性非齐次微分方程的解，为待定系数.代入一阶线性齐次微分方程，得即则所以因此，一阶线性非齐次微分方程的解为因为，它含有一个任意常数，微分方程为一阶方程，所以，为一阶线性非齐次微分方程的通解.说明：一阶线性非齐次微分方程的通解为这表明：一阶线性非齐次微分方程的通解等于对应于它的一阶线性齐次微分方程的通解加上该非齐次方程的一个特解.例题例3：求微分方程解：因为代入通解公式得例4：求微分方程满足初始条件的特解.解：原方程可改写为上式为一阶线性微分方程，且将代入通解公式，得把条件代入中，得解得故微分方程的特解为说明：代入通解公式前，必须将方程化为一阶线性方程的标准形式.否则，计算会出错.练习：1.求下列微分方程的通解.2.求下列微分方程满足初始条件的特解.第七章微分方程§7.2.1可降阶的高阶方程教学目的：掌握几种可降阶的高阶微分方程的解法右端仅含x右端不显含未知函数y右端不显含自变量x教学重点：会求几种可降阶的高阶微分方程的解法右端仅含x右端不显含未知函数y右端不显含自变量x教学难点：右端不显含未知函数y的微分方程的解法右端不显含自变量x的微分方程的解法教学内容：一、可降阶的高阶方程1、右端仅含x的方程（1）解法：对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为n-1阶方程：同理可得：依此法继续进行，接连积分n次，便得微分方程含有n个任意常数的通解.例题例1：解微分方程解：原方程可改写为两边积分，得两边再次积分，得所以，原方程的通解为右端不显含y的方程特点：不显含有未知函数y解法：作换元令，则原方程可化为，这是一阶方程，可解.设其通解为：即两边积分，得为任意常数.例题例2：解微分方程解：原方程可改写为作换元，令，则上面方程变为分离变量，得两边积分，得：即所以两边积分，得：即例3：求的通解，并求满足初始条件的特解.解：原方程可改写为作换元，令，则上面方程变为即两边积分，得：即所以两边积分，得：将初值条件代入(1)、（2）式，得所以,满足初值条件的解为：右端不显含x的方程特点：右端不显含自变量x解法：作换元令，则原方程可化为这是一阶方程，可解.设其通解为：即即分离变量并积分，得为任意常数.这就是原方程的通解.例题例4：求的通解.解：原方程可改写为作换元，令，则上面方程变为分离变量，得：积分，得所以即先求的解.分离变量，得两边积分，得这就是当时原方程的通解.同理可得：当时原方程的解为所以，原方程的通解为为任意常数.第七章微分方程§7.3.1二阶线性微分方程教学目的：掌握二阶线性齐次、非齐次微分方程的标准形式掌握二阶常系数线性齐次、非齐次微分方程的标准形式理解二阶线性齐次、非齐次微分方程解的结构定理掌握特征方程、特征根的概念掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法教学重点：1.二阶线性齐次、非齐次微分方程的标准形式2.二阶常系数线性齐次、非齐次微分方程的标准形式3.特征方程、特征根的概念4.二阶常系数线性齐次微分方程的解法教学难点：对二阶线性齐次、非齐次微分方程解的结构定理的理解二阶常系数线性齐次微分方程的解法教学内容：一、二阶线性微分方程的定义形如的微分方程称为二阶线性微分方程.二阶线性齐次微分方程：二阶线性非齐次微分方程：二阶常系数线性齐次微分方程：二阶常系数非线性齐次微分方程：二阶线性微分方程解的结构二阶线性齐次微分方程解的结构定义1对于两个不恒等于零的函数y1与y2，如果存在一个常数C,使y2=Cy1,则称函数y2与y1线性相关；否则，称函数y2与y1线性无关.例如：与线性无关，与线性相关.定理1如果函数y1、y2都是二阶线性齐次微分方程的解，则y=C1y1+C2y2也是该方程的解，其中C1、C2是任意常数.定理2：二阶线性齐次微分方程解的结构定理如果函数y1、y2是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关特解，则y=C1y1+C2y2是该方程的通解，其中C1、C2是任意常数.二阶线性非齐次微分方程解的结构定理3：二阶线性非齐次微分方程解的结构定理设y*是二阶线性非齐次微分方程的一个特解，Y是与它对应的齐次方程的通解，则y=Y+y*是二阶线性非齐次微分方程的通解.二阶常系数线性齐次微分方程概念方程称为二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程.特征方程的根称为特征根.特征方程是一元二次方程，将微分方程中的换成，把换成，把y换成1，可得到对应的特征方程.解法特征根有如下三种情况：特征方程有两个不相等的实根：方程的通解为特征方程有两个相等的实根：方程的通解为特征方程有一对共轭复根：方程的通解为综上所述，求二阶常系数线性齐次微分方程的通解的步骤如下.第一步：写出微分方程的特征方程；第二步：求出特征方程的两个根与第三步：根据特征方程的两个根的不同情况，有相应的通解公式，见下表例题例1．求微分方程的通解.解：所给微分方程的特征方程为即解得因此，特征根为所以，方程的通解为求微分方程满足条件的通解.解：所给微分方程的特征方程为解得特征根为所以微分方程的通解为将初始条件代入通解得解方程组，得故微分方程的特解为求微分方程的通解.解：所给微分方程的特征方程为解得特征根为所以微分方程的通解为练习：求下列微分方程的通解.求下列微分方程满足初始条件的特解.第七章微分方程§7.3.2二阶常系数线性非齐次微分方程教学目的：理解二阶常系数线性非齐次微分方程解的叠加原理掌握求解二阶常系数线性非齐次微分方程解的基本思路掌握二阶常系数线性非齐次微分方程的解法包括：两种形式.教学重点：二阶常系数线性非齐次微分方程的解法包括：两种形式.教学难点：二阶常系数线性非齐次微分方程的解法二阶常系数线性非齐次微分方程解的叠加原理的应用教学内容：二阶常系数线性齐次微分方程的解二阶常系数线性非齐次微分方程对应的齐次方程为若齐次方程（2）的通解为y*是非齐次方程（1）的一个特解，则非齐次方程（1）的通解为：二阶常系数线性齐次微分方程（2）的通解我们已经会求，因此，为了求出常系数线性非齐次微分方程（1）的通解，只需要再求出非齐次方程（1）的一个特解y*(x).当自由项为下面两种类型的函数时，可用待定系数法求出常系数线性非齐次微分方程（2）的特解y*(x)，从而得到常系数线性非齐次微分方程（2）的通解.二、形式1经分析，可设方程（1）的特解为是一个m次多项式，其系数是待定的，其中k的取值如下：例题例1：求微分方程的一个特解.解：这是常系数线性非齐次微分