《高等数学（第三版）》教案 第9章 线性代数

第九章线性代数§9.1行列式教学目的：1.了解行列式、代数余子式的定义；2.理解n阶行列式的定义；3.掌握行列式的性质；4.能够计算行列式。教学重点：1.二、三阶行列式、n阶行列式的定义；2.行列式的性质；3.行列式按行（列）的展开。教学难点：1.利用性质、展开法则计算行列式教学内容：一、二阶、三阶行列式行列式是代数式的简要记号，如（1.1）（1.2）分别是二阶、三阶行列式，两式的左端表示行列式的记号，右端是行列式的全面展开式。行列式的元素有两个下标，分别称为行标和列标。如表示该元素位于第3行、第2列。二阶、三阶行列式的全面展开可以用对角线法。例1；；。二、n阶行列式1、定义：用个元素可以构成阶行列式。行列式有时简记为。一阶行列式就是。高于4阶的行列式不能用对角线法展开。参照二阶、三阶行列式的展开式（1.1）、（1.2），规定阶行列式的全面展开按如下方式进行：（1）展开式的每一项都是不同行、不同列的个元素的乘积。（2）取自不同行、不同列的个元素要出现所有不同的搭配。若将行标顺序安排，则每一项对应列标的一个排列。如对应的排列是213。所有不同的搭配，对应所有不同的列标排列，个自然数共有种排列，因而全面展开式共有项。通过全面展开来计算行列式显然是很复杂的，应该考虑简便的方法。2、几个常见的特殊行列式（1）下三角行列式我们称这种行列式为下三角行列式。类似地，上三角行列式也有同样的计算公式（2）对角行列式三、行列式的性质行列式的行与列互换后得到的行列式，称为的转置行列式，记为。即，实际书写时，“横着看，竖着写”，便可得到转置行列式。性质1行列式转置后，其值不变，即。例2证在行列式中，每一行取一个元素，这个元素位于不同的列，它们的乘积添上前置符号构成了的展开式中的一项。该项中的元素也可以理解为取自不同的列，并位于不同的行，而这正是的展开式中的一项。可见和的展开式中各项都对应相同，因此它们相等。这条性质告诉我们，行列式的行具有某一性质，它们的列也具有相同的性质。性质２交换行列式的两行（列），行列式的值变号。例3性质3行列式的某一行（列）元素有公因子，可以提到行列式的外面。例4推论以下三种行列式的值为零。（1）行列式有某一行（列）的元素全为零。（2）行列式有两行（列）完全相同。（3）行列式有两行（列）的元素成比例。性质4一个行列式可以拆分成两个行列式的和，这两个行列式的某对应行（列）上相同位置的元素之和，正好等于原行列式的对应位置的元素，而其它行（列）的元素都与原行列式相同。例5证因为在行列式展开式的各项中，可以把来自于某行（列）的元素拆分成两数之和，再利用分配律将每一项都拆成两项之和，由此组合成两个行列式，而且行列式中除被拆分的元素外，其它元素都未变。这条性质给出了行列式的拆分规则。若反向运用，则成了行列式的合并规则。拆分与合并规则特别强调：除某一对应行（列）外，其余元素都相同。性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。例6计算解

。四、行列式按行（列）展开余子式代数及余子式在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，余下的阶行列式叫做元素的余子式，记为。再记（1.3）叫做的代数余子式。。行列式的按行（列）展开定理

行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即例7计算行列式解

第九章线性代数§9.2矩阵及其运算教学目的：1.掌握矩阵的概念；2.了解零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、方阵等特殊的矩阵；3.熟练掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及运算规律。教学重点：1.矩阵的运算及其运算律。教学难点：1.矩阵的乘法运算教学内容：一、矩阵的定义

称行、列的数表为矩阵，或简称为矩阵；表示为或简记为或或；其中表示中第行，第列的元素。注：第一章中行列式为按行列式的运算规则所得到的一个数，而矩阵是个数的整体，不对这些数作运算。例如，公司的统计报表，学生成绩登记表等，都可写出相应的矩阵。设都是矩阵，当

则称矩阵与相等，记成。二、特殊形式阶方阵：矩阵行矩阵：矩阵（以后又可叫做行向量），记为列矩阵：矩阵（以后又可叫做列向量），记为零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为对角阵：对角线元素为，其余元素为0的方阵，记为单位阵：对角线元素为１，其余元素为0的方阵，记为三、矩阵的运算1、矩阵的加法设，都是矩阵，则加法定义为显然，①，②2、矩阵的数乘设是数，是矩阵，则数乘定义为①，②，③随堂练习（略）3、矩阵的乘法设，，则乘法定义为其中，

注：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；乘积矩阵的第行，第列元素为前一个矩阵的第行元素与后一个矩阵的第行元素对应相乘再相加。例1设，，则AB一个必须注意的问题：1．

若，，则成立，当时，不成立；2．

如果，都是阶方阵，例如，，则，而；综上所述，一般（即矩阵乘法不满足交换率）。①，②，③，4、矩阵转置设，记则称是的转置矩阵。①，②，③，④对称矩阵的定义：若矩阵满足（即），则称是对称阵五、方阵的行列式为阶方阵，其元素构成的阶行列式称为方阵的行列式，记为或。显然，①，②，③。第九章线性代数§9.3矩阵的初等变换与秩教学目的：1.掌握矩阵的初等变换理解矩阵秩的概念；2.了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念；3.掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。教学重点：1.用初等变换求矩阵的秩的方法。教学难点：1.求矩阵的秩教学内容：一、矩阵的初等变换

定义以下三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）对调两行（）；（2）以数乘某一行中的所有元素（）；（3）把某一行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（）.把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用的记号是把“”换成“”）.矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换。如果矩阵经有限次初等变换成为矩阵，则称矩阵A与矩阵B等价，记作.显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换：变换的逆变换就是其本身；变换的逆变换是；变换的逆变换是.二、行最简阶梯形矩阵行阶梯矩阵矩阵：满足以下条件：（1）零行（元素全为0的行）位于矩阵的下方；（2）各非零行的首非零元（从左至右的第一个不为0的元素）的列标随着行标行最简阶梯形矩阵：满足以下条件：（1）各非零行的首非零元都是1；（2）每个首非零元所在列的其余元素都是0.例1将，先化为阶梯形矩阵，再化为行最简阶梯形矩阵。解三、矩阵的秩定义

在矩阵中，任取行列的元素，按原排列组成的阶行列式，称之为的阶子式。

若矩阵中有一个阶子式，并且所有的阶子式全为零，则称为的最高阶非零子式，称为的秩，记。例

在中，一个2阶子式，所有3阶子式均为零：

，，，

故。特别，当阶方阵的行列式，则；反之，当阶方阵的秩，则。因此阶方阵可逆的充分必要条件是（满秩）。定理

若，则。例

求的秩，以及一个最高阶非零子式。解

用初等行变换化为行阶梯形矩阵：

所以，，是的一个最高阶非零子式。第九章线性代数§9.4逆矩阵教学目的：1.理解逆矩阵的概念、性质及矩阵可逆的充要条件；2.会用初等行变换求矩阵的逆矩阵。教学重点：1.熟练运用初等行变换求矩阵的逆矩阵。教学难点：1.求逆矩阵。教学内容：一、逆矩阵的概念

定义对于阶方阵，如果有一个阶方阵，使得则称方阵是可逆的，而称为的逆阵，记作.若矩阵可逆，则的逆矩阵由唯一决定。事实上，假设和都是的逆矩阵，即同时有，则当时，称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。是可逆方阵的充要条件是，即可逆方阵就是非奇异方阵。推论若（或），则.证由已知得，因此，于是知存在，所以二、可逆矩阵的性质方阵的逆阵满足下列运算规律：（1）若可逆，则也可逆，并且.（2）若可逆，数，则也可逆，并且.（3）若、为同阶可逆方阵，则也可逆，并且.（4）若可逆，，则也可逆，并且.当时，还可以定义，（为正整数）这样，当，有，（、为整数）三、利用初等行变换求逆矩阵将n阶方阵A与A同阶的单位矩阵I写成一个n×2n矩阵，中间用竖线隔开，即(A|I),然后利用初等行变换，若A能化为单位矩阵I，则在相同的变换下，原来的I就化为了A-1.即例1求方阵的逆矩阵。解例2已知矩阵，且满足，求矩阵.解由已知可得，于是例3已知，，求矩阵，使得.解若、都存在，则用左乘上式、右乘上式，得到，即.经计算知，，，所以、都可逆。且，故第九章线性代数§9.5线性方程组教学目的：1.理解齐次线性方程组有非零解的条件、求解的方法；2.理解非齐次线性方程组有解的条件、解的个数，求解的方法。教学重点：1.掌握运用初等变换求解线性方程组的方法。教学难点：1.利用初等变换求解线性方程组。教学内容：一、线性方程组

设有线性方程组（1）记，则（1）式可写成向量方程（2）其中矩阵A成为系数矩阵，增广矩阵为：二、齐次线性方程组AX=0的解设有齐次线性方程组（3）记，则（3）式可写成向量方程定理：齐次线性方程组的系数矩阵为A：(1)齐次线性方程组AX=0只有零解R(A)＝n；（2）齐次线性方程组AX=0有非零解R(A)＜n.例1求解方程组解对方程组的系数矩阵施行初等行变换即得与原方程组同解的方程组于是得方程组的一个基础解系为，故原方程组的通解为（）例2求解方程组解对方程组的系数矩阵施行初等行变换即得同解方程组为于是得方程组的一个基础解系为，故原方程组的通解为（）三、非齐次线性方程组AX=B的解设有非齐次线性方程组

记，则（1）式可写成向量方程（2）其中矩阵A成为系数矩阵，增广矩阵为：定理：设分别是非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，那么：(1)非齐次线性方程组AX=b无解