《高等数学（第三版）》教案 第10章 概率

第十章概率§10.1样本空间与随机事件教学目的：理解必然现象与随机现象了解随机试验的概念掌握样本点、样本空间的概念会判断随机事件的关系掌握和事件、积事件、差事件、互斥事件、对立事件的概念了解事件的运算律教学重点：样本点、样本空间的概念随机试验的特征和事件、积事件、差事件、互斥事件、对立事件的概念教学难点：样本点、样本空间的概念随机事件的关系和事件、积事件、差事件、互斥事件、对立事件的概念事件的运算律教学内容：一、随机事件的相关概念：1、必然现象与随机现象必然现象：在一定的条件下,必然会发生(或者必然不会发生)的现象,也叫作确定性现象.例如,往天空抛一个物体,达到一定高度必然会下落;在标准大气压下,把水加热到100℃,水必然会沸腾等。微积分就是研究客观世界中“必然现象”的数量规律及其存在形式的一个数学分支.随机现象：在一定的条件下,可能会发生,也可能不会发生的现象,也叫作偶然现象.例如,掷一枚硬币,可能出现正面,也可能出现反面;下周某天的天气预报,可能是晴、下雨、阴等,像这类现象我们称为随机现象.概率就是研究随机现象及其统计规律性的一个数学分支.2、随机试验与随机事件随机试验：对某种现象或事物所进行的一次观察或测试,简称试验.

随机试验的特点：（1）试验可以重复进行；（2）试验的结果不止一个；（3）在试验前不能确定究竟会出现哪一种结果.随机事件：对于随机试验下的某种结果称为随机事件，简称为事件.一般常用大写的英文字母A,B,C,D,...来表示.

随机事件的分类：（1）样本点：在随机试验中,发生的每一种可能的试验结果.特别地,只含有一个样本点的事件称为基本事件.例如,掷一枚均匀的骰子,每一面可能出现的点数1，2，3，4，5，6就是一个样本点,也是一个基本事件.

样本空间:样本点的集合,记作.（2）必然事件：每次试验都会出现的事件.例如,出现的点数是1到6中的某一个.

（3）不可能事件：在随机试验中,不可能发生的事件,一般记作.例如，出现7点的事件.

3、例题例1从编号分别为1,2,3，⋯，9,10的十个球中任取一个观察其编号数，试写出该试验的样本空间和下列事件所包含的基本事件:A={取到奇数号球},B={取到偶数号球},C={取到编号数不超过6的球}.

解：样本空间为={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A={1，3，5，7，9}，B={2，4，6，8，10},C={1，2，3，4，5，6}.随机事件的关系及其运算1、随机事件之间的关系：（1）包含关系(或称为子集)如果事件A发生,必然导致事件B发生,则称事件B包含事件A,记作，如下图所示.（2）等价关系﹐如果事件，同时事件，则称事件A与事件B是等价的,记作A=B.2、数学关系（1）和事件若“事件A与B中,至少有一个事件发生”这一新事件必然发生,则称该新事件为A与B的和事件(或称为A与B的并),记作AUB(或A＋B)，如图1所示.（2）积事件若“事件A与B同时发生”这一新事件必然发生,则称该新事件为A与B的积事件(或称为A与B的交),记作A∩B(或AB)，如图2所示.

（3）差事件若“事件A发生,而事件B不发生”这一新事件必然发生，则称该新事件为A与B的差事件,记作A－B(或)，如图3所示.（4）互斥事件若事件A与B不能同时发生，则称事件A与B为互斥事件(也称为互不相容事件),记作A∩B=(或AB=)，如图4所示.（5）对立事件若两个互斥事件A与B中必有一个发生,即满足A∩B=且AUB=，则称事件A与B为对立事件,记为B－A，如图5所示.

图1图2

图3图4图53、事件的运算律：交换律:结合律:分配律:对偶律:4、例题例2用事件A、B、C分别表示某车间甲、乙、丙三台车床在同一时段正常工作.试用事件的运算表示下列事件，并思考哪些事件为互斥事件.（1）三台车床都正常工作;（2）至少一台车床正常工作;（3）三台车床都出故障;（4）只有甲车床正常工作;（5）至少有两台车床正常工作;（6）乙车床正常工作,而甲车床与丙车床有且只有一台正常工作.解：显然，（2）和（3）互为逆事件.例3随机抽检三件产品,设A表示“三件中至少有一件是次品”；B表示“三件中至少有两件是次品”；C表示“三件全是正品”.问各表示什么事件?解：练习1：观察一次打靶试验中击中的环数,若击中1环记作{1},并设事件A={奇数环},事件B={小于9环},求练习2：一位工人生产3个零件,设事件Ai={第i个零件是不合格品}(i=1，2，3).请用Ai(i=1,2,3)表示如下事件:（1）全是合格品;（2）全是不合格品;（3）恰好有一个零件是不合格品;（4）至少有一个零件是不合格品.第十章概率§10.2随机事件概率教学目的：1.掌握频率、概率的定义及性质2.了解频率、概率的区别与联系3.掌握古典概型的定义4.会用古典概型计算相关习题教学重点：概率的定义及性质古典概型的定义及计算教学难点：1.频率、概率的区别与联系2.古典概型的定义3.概率的计算教学内容：概率的相关概念1、事件的频率定义10.1频率的性质：推广：当试验的次数n不断增加时，频率稳定于某个常数p，称常数p为事件A发生的概率---这就是概率的统计定义.2、概率定义10.2概率的性质：3、频率、概率的区别与联系（1）概率是事件的内部一成不变的本质属性，频率只是随机性很大的表面现象；（2）频率稳定于概率，但并非以概率为极限.4、例题例1某人想外出旅游两天,据天气预报,第一天下雨的概率为0.6,第二天下雨的概率为0.3,两天都下雨的概率为0.1.试求下列事件的概率:(1)第一天下雨而第二天不下雨的概率;(2)第一天不下雨而第二天下雨的概率;(3)至少有一天下雨的概率;(4)两天都不下雨的概率;(5)至少有一天不下雨的概率.解：设Ai（i=1,2）表示第i天下雨的事件，由题意，得古典概型定义若试验具备以下两个特点:（1）有限性每次试验的样本空间只有有限个基本事件(即有限个样本点).（2）等可能性每次试验中各基本事件发生的可能性相同.则将具有上述两个特点的试验称为古典概型,也称为等可能性概型.在古典概型中,若试验的基本事件总数为n,而事件A包含了m个基本事件,则事件A的概率为例题例2掷—枚骰子,观察出现的点数,设事件A={点数小于3},事件B={点数为偶数},求P(A)，P(B).解：掷—枚骰子,因所以由古典概率的计算公式，得例3两封信随机地向标号为1，2，3，4，5的五个邮筒投寄,求第二个邮筒恰好被投入一封信的概率.解：设事件A={第二个邮筒恰好被投入一封信}.两封信随机地投入五个邮筒,利用重复排列,得样本点总数n=52，而事件A包含的样本点个数即不同投法只有𝐶_2^1𝐶_4^1种.于是,由古典概率的计算公式,得例4有100件商品,其中97件是合格品.从中任取⒉件进行检验,求以下事件概率:2件都是次品;(2)1件是次品,1件是正品.解：从100件中任取2件,共有𝐶_100^2种可能取法,则样本点总数为n=（1）设事件A={2件都是次品},则事件A所包含的样本点个数为mA于是,由古典概率的计算公式,得（2）设事件B={1件是次品，1件是正品},则事件B所包含的样本点个数为mB于是,由古典概率的计算公式,得练习：1.2.有5名女同学和3名男同学决定用抽签的方法分配4张电影票,问分到电影票的恰是2名女同学和2名男同学的概率是多少?至少有1名男同学分到电影票的概率又是多少?第十章微分方程§10.2条件概率与事件的独立性教学目的：掌握条件概率的概念会用条件概率计算相关习题掌握概率的加法、乘法公式掌握伯努利概型的概念及计算教学重点：条件概率的概念及计算概率的加法、乘法公式伯努利概型的概念及计算教学难点：条件概率的概念及计算伯努利概型的概念及计算教学内容：一、条件概率1、条件概率定义条件概率是在随机试验基础上附加限制条件的一类概率.对于A、B两个事件,如果P(B)>0,在事件B已经发生的条件下,事件A发生的概率,叫作事件A对事件B的条件概率,记作P(A│B).根据条件概率的定义,其计算公式如下2、事件相互独立特别地,如果事件A、B互相不影响另一事件发生的概率,则称事件A、B互相独立,简称A与B独立.此时,条件概率的计算公式可简化为在实际应用中,对事件的独立性常常根据事件的实际意义来判断.例题例1掷一枚骰子2次,问:在第一次出现点数6的条件下,“两次掷得点数之和大于8”的概率有多大?解：设x，y分别为第一次和第二次掷得的点数,于是，中元素具有6×6=36(个)，在已知x=6的条件下,可能的结果为(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)这6个样本点.而使两次掷得点数之和大于8的样本点为(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)这4个.因此,所求概率为4/6=2/3.也可以用条件概率公式求解:记A表示“第一次掷得点数6”,B表示“两次掷得点数之和大于8”，所以概率的运算公式1、加法公式对于任意两个事件A、B,有特别地,若事件A与事件B为互不相容事件,则若B为A的对立事件,即，则这表明,如果P(A)计算比较困难,可以考虑求其对立事件A的概率.加法公式可以推广到有限多个事件相加的情形，如若事件A、B、C两两互不相容,则2、乘法公式特别地,若A与B为相互独立事件,则该条件可以作为A与B相互独立的充要条件.注：若事件A与事件B独立,则中的每一对事件都相互独立.3、例题例2某商店出售来自甲、乙两个工厂的产品,其中,甲厂的产品占70%，乙厂的产品占30%，它们的合格率分别为0.9和0.85.某顾客从该商店购买一件产品,求他买到合格品的概率.解：设顾客买到合格品的事件为A，而这件产品可能是甲厂的产品，用B来表示,也可能是乙厂的产品用来表示,则所以由乘法公式,有上述解题方法推广到一般情况称为全概率公式.伯努利概型1、定义如果将一个试验重复做n次,并满足:（1）每次试验条件都一样,且可能的结果为有限个.（2）各次试验的结果互不影响(即相互独立).特别,如果每次试验只有两个结果A和

̅,且则称此n次重复试验为n次伯努利试验.伯努利试验的概率模型称为伯努利概型.2、计算公式设在n次重复试验中,每次事件A发生的概率为p,即P(A)=p，而不发生的概率为，在n次试验中,事件A恰好发生了k次的概率为3、例题例3一批产品中有20%的次品,进行重复抽样检查,共取5件样品.(1)计算这5件样品中恰好有3件次品的概率;(2)计算这5件样品中至多有3件次品的概率.解：设Ai是5件样品中恰好有i件次品的事件(i=0，1，2,3),n=5,p=0.2.（1）5件样品中恰好有3件次品的事件是A3，（2）至多有3件次品的概率是练习：1.10个螺钉中有3个是坏的,从中随机抽取4个,求:(1)恰好有2个是坏的的概率;(2)4个全是好的的概率.2.某射手的命中率为0.95,他独自重复向目标射击5次,求他恰好命中4次的概率以及至少命中3次的概率.第十章概率§10.4随机变量的分布教学目的：掌握随机变量的概念了解随机变量的分类掌握离散型随机变量的概率分布掌握两点分布、二项分布、泊松分布的概念掌握连续型随机变量的分布函数、概率密度的概念掌握均匀分布、指数分布、正态分布的概念教学重点：1.随机变量的概念2.离散型随机变量的概率分布3.几种常见的离散型随机变量的概率分布4.均匀分布、指数分布、正态分布的概率密度教学难点：随机变量的概念连续型随机变量的分布函数、概率密度的概念几种常见的连续型随机变量的概率密度教学内容：一、随机变量1、定义如果随机试验的每一个可能结果e都唯一对应着一个实数X(e),则这个随试验结果不同而变化的量称为随机变量.随机变量通常用X，Y，Z⋯表示,也可用希腊字母ξ，例如,掷一枚骰子,“出现的点数”是随机的,可能结果是:“出现1点”,“出现2点”,……,“出现6点”,可以用变量“X”来表示事件“出现的点数”:{X=1}表示事件{出现1点},X=2表示事件{出现2点},……，{X=6}表示事件{出现6点}．类型随机变量按其取值的情况,我们研究其中两类:离散型随机变量：随机变量的所有可能取值只有有限个或可列无限多个；连续型随机变量：随机变量取值不能一一列出﹐而是连续地充满某个区间.例如灯泡的寿命,这个随机变量可以取区间[0，+∞)内的一切值.二、离散型随机变量的分布律定义设离散型随机变量X的所有可能取值为x1,x2,...,xn,...,X取xk的概率为pk,即称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律.分布律也可以用图表的形式来表示，如下:例题例1某银行举行有奖储蓄活动,发行有奖储蓄券10万张,其中一等奖100张,二等奖500张,三等奖2000张,现任抽一张储蓄券,试求中奖等级X的分布律.解：若不中奖用{X=0}表示,其概率表示为P0=P{X=0}.根据题意,X为随机变量,其可能取值为0，1，2，3.例2设随机变量X的概率分布列为（1）求常数α；（2）求P{0.5≤X≤4}；解：(1)利用随机变量概率分布列规范性的性质,即可求出α.因为0.1＋0.1＋α＋0.3+0.2=1,所以α=0.3.P{0.5≤X<4)=P(X=1}＋P{X=2}＋P{X=3}=0.1＋0.3+0.3=0.7.3、几种常见的离散型随机变量的概率分布：1.两点分布如果随机变量X的概率分布为其中，0<P<1,则称随机变量X服从两点分布，又称(0-1)分布，记作X~(0−1).2.二项分布如果随机变量X的概率分布为其中，0<p<1，q=1−p,则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记作X~B(n,p).很明显，又由二项式定理知因此,该随机变量X满足概率分布的两条性质.由于Cnkpkqn-k恰好是(p＋q)的通项,所以称其为二项分布.二项分布的实际背景就是n次伯努利概型.当n=1时,二项分布就成为两点分布.3.泊松分布如果随机变量X的概率分布为则称随机变量X服从参数为𝜆的泊松分布，记作X~π(λ).三、连续型随机变量的概率密度定义（1）随机变量的分布函数设X是一个随机变量，x是任意实数，函数：称为连续型随机变量X的分布函数：分布函数具有以下性质：（2）连续型随机变量的概率密度对于随机变量X的分布函数F(X)，若存在非负可积函数f(x)(-∞<x<+∞),对任意实数x都有则称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.概率密度具有如下性质：（3）几种常见连续型随机变量的概率密度均匀分布：如果连续型随机变量X的概率密度则称X在区间(a,b)服从均匀分布，记作X~U(a,b).其分布函数为指数分布：如果随机变量X的概率密度为则称X服从参数为λ的指数分布，记作X~E(λ).指数分布有着重要应用.在元器件寿命、动植物寿命、随机服务系统中的服务时间等数据都可用指数分布来描述.正态分布正态分布是概率分布中最常见的也是最重要的一种分布,在自然现象和社会现象中,大量的随机变量都服从或近似服从正态分布,例如:商品的使用寿命,零件长度,螺钉直径,人的身高、体重等随机变量都服从或近似服从正态分布.如果连续型随机变量的概率密度为则称X服从正态分布，记作X~N(μ,σ2),μ,σ为其两个参数.正态分布概率密度的函数图像为：当μ=1，σ=0时称X服从标准正态分布,记作X~N(0,1).其概率密度为分布函数为练习：1、从六个数1、2、3、4、5、6中任取三个数x1,x2,x3,试求随机变量X=min(x1,x2,x3)的分布列以及P{X≥3}.2、一批晶体管中有5%是次品,从中随机抽取8个,试求8个中含有的次品数X的分布列和正品数Y的分布列,并求其中至少有1个次品的概率.3、设某场乒乓球比赛中,实力较强的队员每局获胜的概率为0.6，现在比赛规则由三局两胜制改为五局三胜制,问修改后的规则对实力较强的队员是否有利？第十章概率§10.5随机变量的数学特征教学目的：理解数学期望的概念及性质会计算数学期望掌握方差、标准差的概念及性质理解方差、标准差的实际意义教学重点：数学期望的概念及性质方差、标准差的概念及性质方差、标准差的实际意义教学难点：数学期望的实际意义方差、标准差的概念及性质方差、标准差的实际意义教学内容：数学期望1、定义设离散型随机变量X有概率函数p(X=xk)=pk(k=1,2,⋯).若存在，称该和为随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记作2、性质数学期望的性质如下：3、例题例1随机变量X的分布列如下：解：例2一台仪器由两个主要部件组成,其总长度为两个部件长度之和,这两个部件的长度ξ与η为两个相互独立的随机变量,其分布列如下:求：(1)总长度的数学期望；（2）E(ξη).解：(1)设仪器的总长度为ε=ξ+η，注：下面的计算是错误的：因为E(XY)=E(X)E(Y)要求