《高等数学（第三版）》课件 第八章 多元函数微积分

高等数学

第八章

多元函数微积分

多元函数的基本概念

目录Contents平面点集*n维空间1多元函数概念2平面点集*n维空间定义3二元函数的极限定义4多元函数的连续性定义性质1平面点集*N维空间平面点集坐标平面上具有某种性质的点的集合称为平面点集记作例如平面上以原点为中心、为半径的圆内所有点的集合是如果我们以点表示以|OP|表示点到原点的距离那么集合可表成

邻域

设

是

平面上的一个点，

是某一正数。

与点

距离小于

的点

的全体，称为点

的

邻域，记

或

即

或邻域的几何意义：

就是

平面以上点为

中心、

为半径的圆的内部的点

的全体。如果去掉领域的中心，称为点

的去心

邻域，记作

或

即

n维空间

维空间中两点

及

间的距离规定为容易验知，当

时，由上式便得解析几何中关于直线（数轴），平面，空间内两点的距离。多元函数概念2引力1：圆柱体的体积和它的底半径、高之间具有关系这里当、在集合内取定一对值时对应的值就随之确定。引力2：设是电阻、并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系，对应值就随之确定。上面两个例子的具体意义虽各不相同，但它们却有共同的性质，抽出这些共性就可得出以下二元函数的定义。引力定义1

设

是平面上的一个点集,如果对于每个点

，变量按照一定法则总有确定的值和它对应，则称

是变量

的二元函数（或点

的函数），记为

（或

）。点集

称为该函数的定义域，

称为自变量，也称为因变量。数集

称为该函数的值域。例如：函数

的定义域为

如图8-1），就是一个无界开区域；又如，

的定义域为

（如图8-2），这是一个有界闭区域。图8-1图8-2（1）

；（2）

；（3）

.

（1）要使函数

有意义，则有

则函数

的定义域为

.（2）要使函数

有意义，则有

函数

的定义域为（3）要使函数

有意义，则有

即

函数

的定义域为

例1：求下列二元函数的定义域。解：二元函数的极限3设函数在区域内有定义，是的内点或边界点，是常数。如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点都有成立，则称常数为函数当时的（二重）极限，记作。为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。定义2例2设,求证

证：因为可见

取

则当

即

时总有因此必须注意(1)二重极限存在是指P以任何方式趋于P0时函数都无限接近于A.(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时函数趋于不同的值则函数的极限不存在.讨论函数

在点(00)有无极限？提示当点P(xy)沿x轴趋于点(00)时，

当点P(xy)沿y轴趋于点(00)时，

当点P(xy)沿直线y=kx有

因此函数f(xy)在(00)处无极限.

极限概念的推广：多元函数的极限.多元函数的极限运算法则：与一元函数的情况类似.求

.

这里

在区域

和区域

内都有定义，且

同时为

及

的边界点。但无论在内还是在内考虑，下列运算都是正确的：例3例4求解：解：定义3

设二元函数的定义域为

，

为

的聚点，且

。如果

,则称函数

在点

连续。如果函数

在区域

内的每一点连续，那么就称函数

在

内连续，或者称

是

内的连续函数。

以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到

元函数

上去。

例5：

设

证明

是

上的连续函数

证：设

由于

在

处连续，故

当

时,有

以上述

作

的

邻域

则当

时，显然即

在点

连续由

的任意性知，

作为

的二元函数在

上连续类似的讨论可知一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时它们在各自的定义域内都是连续的定义4

设函数

的定义域为

，

是

的聚点.若函数

在点

不连续，则称

为函数

的间断点。这里顺便指出：如果在区域

内某些孤立点，或者沿

内某些曲线，函数

没有定义，但在内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数

的不连续点，即间断点。

前面已经讨论过的函数当

，

时的极限不存在，所以

点是该函数的一个间断点。二元函数的间断点可以形成一条曲线，例如函

在圆周

上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。性质1：（最大值和最小值定理）

在有界闭区域

上的多元连续函数，在

上一定有最大值和最小值。这就是说，在

上至少有一点

及一点

，使得

为最大值而

为最小值，即对于一切P∈D,有.性质2：（介值定理）

在有界闭区域

上的多元连续函数，如果在

上取得两个不同的函数值，则它在

上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。特殊地，如果

是函数在

上的最小值

和最大值

之间的一个数，则在

上至少有一点

，使得

。

例6：求函数

是初等函数，它的定义域为

。因

不是连通的，故

不是区域。但

是区域，且

，所以

是函数

的一个定义区域。因

,故.如果这里不引进区域

，也可用下述方法判定函数

在点

处是连续的：因

是

的定义域

的内点，故存在

的某一邻域

，而任何邻域都是区域，所以

是

的一个定义区域，又由于

是初等函数，因此在点处连续。一般地，求

，如果

是初等函数，且

是

的定义域的内点，则

在点

处连续，于是

例7：解：

求

练习1.已知函数

，试求

.2.求下列各极限。（1）（2）（3）3.函数

在何处是间断的?课堂小结多元函数的定义多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质总结本节课所学知识，完成习题.课后任务Thankyou高等数学

第八章

多元函数微积分

偏导数的概念及计算

目录Contents导数的定义1偏导数的计算2定义几何意义偏导数与连续性3高阶偏导数导数的定义1定义偏导数：设函数

在点

的某一邻域内有定义，当

固定在

而

在

处有增量

时，相应地函数有关于

的偏增量，记为

，即

如果

存在，则称此极限值为函数

在点

处对

的偏导数，记作

，

，

或即

(1)类似地，函数

在点

处对

的偏导数定义为

(2)记作 ,

,

，

或 偏导函数：偏导函数

如果函数在开区域

内每一点

处对

的偏导数都存在，那么这个偏导数就是

的函数，它就称为函数

对自变量

的偏导数，记作

,

,

或 偏导函数的定义式：类似地，可以定义函数对自变量

的偏导数，记作

，

，

或偏导函数的定义式：注：偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数。例如三元函数

在点

处对

的偏导数定义为其中

是函数

的定义域的内点。它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题。几何意义

二元函数在点的偏导数有下述几何意义。设

为曲面上

的一点，过

作平面

，截此曲面得一曲线，此曲线在平面

上的方程为，则导数

,即偏导数

,就是这曲线在点

处的切线

对

轴的斜率（见图8-6）。同样，偏导数

的几何意义是曲面被平面

所截得的曲线在点

处的切线

对

轴的斜率。图8-6偏导数与连续性对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.

例如

在点

有

但函数在点

并不连续.

提示:

当点P(xy)沿x轴趋于点(00)时，有当点P(xy)沿直线y=kx趋于点(00)时，有因此

不存在，故函数

在

处不连续偏导数的计算2

由偏导数的概念可知，

在点

处对

的偏导数

，显然就是偏导函数

在点

处的函数值；

就是偏导函数

在点

处的函数值。就象一元函数的导函数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数。

至于实际求

的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以仍就是一元函数的微分法问题。求

时，只要把

暂时看作常量而对

求导数；求

时，则只要把

暂时看作常量，而对

求导数。计算规则求

在点(1,2)处的偏导数。把y看作常量，得把x看作常量，得将(1,2)代入上面的结果，就得

，求

的偏导数例1例2解：解：设，求证：因为，.所以求的偏导数。例3例4解：证：例5已知理想气体的状态方程

(

为常量)，求证：

因为

,

；

，

；

，.所以

说明的问题:偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商.证：高阶偏导数3定义设函数

在区域

内具有偏导数

那么在

内

都是

的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数

的二偏导数.按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数。

其中,

称为混合偏导数

同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数

二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

例6：解：设

，求

、

、

、

及

。

=

,=

；

=

，

=

；

=

,

=

；

=由例6观察到的问题这不是偶然的。事实上，我们有下述定理。

定理：

如果函数

的两个二阶混合偏导数

及

在区域

内连续，那么在该区域

内这两个二阶混合偏导数必相等。

换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。这定理的证明从略。

对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数。而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。

例7：证：验证函数

满足方程因为

所以

因此

例8：证：证明函数

满足方程其中证

由于函数关于自变量的对称性，所以,因此

提示例7例8中这两个方程都叫做拉普拉斯(Laplace)方程，它是数学物理方程中一种很重要的方程。练习1.求下列函数的偏导数。（1）（2）（3）（4）2.设

求

及3.验证：（1）

满足（2）

满足课堂小结偏导数的定义及表示方法偏导数的几何意义偏导数的计算高阶偏导数的计算总结本节课所学知识，完成习题.课后任务Thankyou高等数学

第八章

多元函数微积分

偏导数的概念及计算

目录Contents全微分的定义1可微分的条件2偏增量、偏微分、全增量可微与连续3全微分在近似计算中的应用必要条件充分条件全微分的定义1由一元函数微分学中增量与微分的关系得偏增量、偏微分全增量如果函数

在点

的某邻域内有定义，并设

为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差为函数在点P对应于增量的全增量，记为

，即二元函数的全微分定义

如果函数

在点

的全增量

（1）可表示为

，（2）其中

、

不依

赖于

、

而仅与

有关，

，则称函数

在点

可微分，而

称为函数

在点

的全微分，记作

，即

。如果函数在区域

内每一点处都可微分，那么称这函数在

内可微分。可微与连续：可微必连续但偏导数存在不一定连续当函数

在点

可微，则从而因此函数

在点

处连续

下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(2)偏导数连续(1)函数可微偏导数存在函数可微可微分的条件2如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必存在，且函数在点的全微分为．定理1：必要条件一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．？例如，但在(0,0)处不可微则一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．？说明：多元函数的各偏导数存在

不能保证：全微分存在例1：讨论

在点

处的偏导数存在性及可微性。解：由偏导数的定义，有

即

在

处的两个偏导数都存在。但是函数

在点

处不可微，这是由于从而如果选取点

沿直线

趋于点

，则

于是，

由全微分定义可知，函数

在点

处不可微。由此可见，偏导数存在是可微的必要条件，而不是充分条件。定理2：充分条件如果函数

的偏导数

、

在点

连续,则该函数在点

可微分。

以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似的推广到三元和三元以上的多元函数。

通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。

叠加原理也适用于二元以上的函数的情形。例如，如果三元函数

可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和，即

多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导例2例3解：计算函数

所以

计算函数

的全微分．解因为

，

，

所以

．

计算函数

在点

处的全微分．因为

所以

解：例4解：计算函数

的全微分.

因为 所以

全微分在近似计算中的应用3由二元函数的全微分的定义及关于全微分存在的充分条件可知，

当

在点

的两个偏导数

和

连续且

都较小时，就有近似等式上式也可写成例5计算

的近似值。设取所以解：例6有一圆柱体，受压后发生变形，它的半径由20cm增大到20.05cm，高度由100cm减小到99cm。求此圆柱体体积变化的近似值。设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V，则有记r、h和V的增量依次为

、

、和

。应用公式有把

代入，得即此圆柱体在受压后体积约减少了

。解：练习1.求函数

当

时的全增量和全微分。2求下列函数的全微分。（1）（2）（3）3.计算

的近似值。课堂小结多元函数（以二元函数为主）全微分的定义二元函数可微与偏导数存在之间的关系求多元函数的全微分总结本节课所学知识，完成习题.课后任务Thankyou高等数学

第八章

多元函数微积分

多元函数的极值及其求法

目录Contents多元函数的极值及其求法1定义定理求法最大值和最小值问题1多元函数的极值及其求法定义

设函数

在点

及其附近有定义，如果对于异于

的点

满足不等式,则称函数

在点

处取得极大值，

是其极大值点；若满足不等式

，则称函数

在点

处取得极小值，

是其极小值点；

极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.

例1函数

在点

处有极小值

当

时，.而当

时，.因此是函数的极小值.从几何上看，这是显然的，因为点

是开口朝上的抛物面

的顶点.如图1.(1)例2函数

在点

处有极大值.

当

时，

而当

时，.因此

是函数的极大值。点

是位于平面

下方的锥面的顶点。如图2(2)例3函数

在点

处既不取得极大值也不取得极小值.

因为在点

处的函数值为零，而在点

的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点.

以上关于二元函数的极值概念，可推广到

元函数,设

元函数

在点

的某一邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于

的点,都有

,则称函数

在点

有极大值(或极小值)

.

定理1：（必要条件）

设函数

在点

具有偏导数，且在点

处取得极值.则必有.

证明：不妨设

在点

处有极大值。依极大值的定义，对于点

的某邻域内异于

的点

都有不等式.特殊地，在该邻域内取

而

的点，也应有不等式这表明一元函数

在

处取得极大值，因而必有

类似地可证

从几何上看，这时如果曲面

在点

处有切平面，则切平面成为平行于

坐标面的平面.

类似地可推得，如果三元函数

在点

具有偏导数，则它在点

具有极值的必要条件为

仿照一元函数,凡是能使

同时成立的点

称为函数

的驻点。

从定理1可知具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。

例如函数

在点

处的两个偏导数都是零，函数在

既不取得极大值也不取得极小值。定理2：（充分条件）

设函数

在点

的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又

，

令则

在

处是否取得极值的条件如下：

(1)

时，具有极值，且当

时有极大值，当

时有极小值；

(2)

时没有极值；

(3)

时可能有极值，也可能没有极值。

在函数

的驻点处如果

则函数具有极值，且当

时有极大值，当

时有极小值。求极值的一般步骤第一步：解方程组

求得一切实数解，即可得一切驻点。第二步：对于每一个驻点

，求出二阶偏导数的值.

第三步：定出

的符号，按定理2的结论判定

是否是极值、是极大值,还是极小值.

例4：求函数

的极值

解方程组

求得.于是得驻点为.

再求出二阶偏导数在点

处，

,又

所以函数在

处有极小值在点

处

，

,所以

不是极值.

在点

处，,所以

不是极值.

在点

处

，

,又

所以函数的

处有极大值

.

应注意的问题:

不是驻点也可能是极值点。

例如

函数

在点

处有极大值，但不是函数的驻点。因此，在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑。最大值最小值问题

如果

在有界闭区域

上连续，则

在

上必定能取得最大值和最小值。这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在的

内部，也可能在

的边界上。我们假定，函数在

上连续、在

内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在

的内部取得最大值(最小值)那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小

值)。

因此，求最大值和最小值的一般方法是：将函数

在

内的所有驻点处的函数值及在

的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数

的最大值(最小值)一定在

的内部取得，而函数在

内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数

在

上的最大值(最小值)。

例5

某厂要用铁板做成一个体积为

的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取多少时，才能使用料最省？解：设水箱的长为

m，宽为

m，则其高应为

m。此水箱所用材料的面积为令

得.

根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域

内取得。因为函数

在

内只有一个驻点，所以，此驻点一定是

的最小值点。即当水箱的长为

m、宽为

m、高为

m时水箱所用的材料最省。因此

在

内的唯一驻点

处取得最小值，即长为

m、宽为

m、高为

m时，所用材料最省。例6

有一宽为

cm的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？

解：设折起来的边长为

cm，倾角为.那么梯形断面的下底长为

，上底长为

，高为

，所以断面面积

即.

可见断面面积

是

和

的二元函数,这就是目标函数,下面求使这函数取得最大值的点

.令

，,例6

由于

，上述方程组可化为

.

解这方程组,得

根据题意可知断面面积的最大值一定存在,并且在

内取得,通过计算得知

时的函数值比

时的函数值小又函数在

内只有一个驻点.因此可以断定.当

时,就能使断面的面积最大.

练习1.求下列函数的极值。（1）（2）2.要造一个体积等于定数

的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。课堂小结多元函数的定义多元函数极值的求法在实际问题中，如何求得最大值和最小值问题总结本节课所学知识，完成习题.课后任务Thankyou高等数学

第八章

多元函数微积分

二重积分的概念与性质

目录Contents引例1二重积分的定义2引例1曲顶柱体的体积引例2平面薄片的质量3二重积分的性质定义几何意义引例1引例1：曲顶柱体的体积

给定曲顶柱体:底：

xOy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.曲边梯形面积的求法平顶柱体的体积计算体积=底面积×高曲顶柱体的体积计算以直线代曲线以平面代曲面曲顶柱体的体积V:解法:

类似定积分解决问题的思想:“分割、近似、求和、取极限”①分割：D=△

1∪△

2∪…∪△

nV=△V1∪△V2∪…∪△Vn

(△

i为△Vi窄条曲顶柱体的底；di为△

i的直径。)②近似：在每一个小闭区域

上任取一点

，以

为高，

为底的平顶柱体的体积

近似代替第个小曲顶柱体的体积。

③求和：这

个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值④取极限：将区域

无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。即

其中

表示这

个小闭区域

直径中最大值的直径（有界闭区域的直径是指区域中任意两点间的距离）。

图8-5

设有一平面薄片占有

面上的有界闭区域

，它的面密度为上的连续函数

，试求平面薄片的质量。解对于均匀平面薄片的质量

，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下(1)分割

将薄片（即区域

）任意划分成

个小薄片

，其中

表示第

个小薄片，也表示它的面积，如图8-6所示。(2)近似

在每一个小薄片

上任取一点

，以

为其密度，当

很小时，引例2：平面薄片的质量

认为小薄片是均匀的，则

，

近似代替第

个小薄片的质量。即(3)求和这

个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值(4)取极限将薄片无限细分，且每个小薄片趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于薄片的质量。即其中

表示这

个小薄片

，直径中最大值的直径。图8-6两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割、近似、求和、取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:二重积分的定义2定义设

是有界闭区域

上的有界函数（1）将闭区域

任意分成

个小闭区域

，其中

表示第

个小闭区域，也表示它的面积。（2）在每个

上任取一点

，作乘积

（=1，2，…，）（3）并作和（4）如果当各小闭区域的直径中的最大值

趋于零时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数

在闭区域

上的二重积分，记作即.积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素【注意】对二重积分定义的说明（1）直角坐标系中的面积元素

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分

，那么除了包含边界点的一些小闭区域外其余的小闭区域都是矩形闭区域，设矩形闭区域

的边长为

和

，则

因此在直角坐标系中，有时也把面积元素

记作

，而把二重积分记作（2）二重积分的存在性

当

在闭区域

上连续时，积分和的极限是存在的，也就是说函数

在

上的二重积分必定存在.我们总假定函数

在闭区域

上连续.所以

在

上的二重积分都是存在的.几何意义（1）若

，函数

在闭区域

上的二重积分表示为以

为底面，

为曲顶的曲顶柱体的体积；（2）若

，表示柱体在

面的下方，二重积分是该柱体体积的相反数，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的；（3）若函数

在闭区域

上既有正的，又有负的，则二重积分表示在

面的上、下方的柱体体积的代数和。图8-7性质性质1：被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去。即性质2：（线性性）有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和。即推论：设

、

为常数，则性质性质3：（可加性）若闭区域

被有限条曲线分成为有限个部分闭区域，则在

上的二重积分就等于在各个部分闭区域上的二重积分的和（

）。性质4：若

在上

，

为的面积，则推论：性质5：（不等式性）若在

上

，

，则【特别地】

，则性质性质6：（有界性）设

、

分别是

在闭区域

上的最大值和最小值，

为

的面积，则性质7：（二重积分的中值定理）设函数

在闭区域

上连续，

为

的面积，则在

上至少存在一点

使得

补充在分析问题和算题时常用的设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于坐标y为偶函数.D1性质8则D1为D在第一象限中的部分,对称性质坐标y为奇函数则设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于oxy图8-8例1解：计算函数

所以

设

为圆域

，则二重积分

为多少？投影区域为圆域

，被积函数

为上半球面（如图8-9），由二重积分的几何意义可知，上述积分等于上半球体的体积：图8-9例2解：

的面积为

．由于

，所以有性质6有

．不作计算估计

的值，其中

是圆域：

．例3比较积分

与

的大小，其中

是圆域：

．

积分域

的边界为圆周：,它与轴交于点

，与直线

相切，而圆域

位于直线的上方，如图8-10，故在

上，从而由性质5有解：图8-10例4解：设

，其中

，

其中利用二重积分的几何意义说明

和

之间的关系。由二重积分的几何意义知，

表示底为

，顶为曲面

的曲顶柱体

的体积；

表示底为

，顶为曲面

的曲顶柱体

的体积；由于位于

上方的曲面

关于

面和

面均对称，故面和面将

分成四个等积的部分，如图8-11，其中位于第一卦限的部分即为.由此可知图8-11练习1.利用二重积分定义证明：（1）（2）2.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小；（1）

与

其中积分区域

是由圆周

所围成；（2）

与

其中3.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）

其中（2）

其中课堂小结二重积分的定义(四步:分割、取近似、求和、取极限)二重积分的几何意义(曲顶柱体的体积)二重积分的性质(注意对称性质的用法)总结本节课所学知识，完成习题.课后任务Thankyou高等数学

第八章

多元函数微积分

二重积分的计算

目录Contents积分区域D的分类1X-型域Y-型域既是X-型，又是Y-型既非X－型域也非Y－型域2直角坐标下，二重积分的计算对X—型区域的二重积分的计算法对Y—型区域上的二重积分的计算法若区域既是X—型区域，又是Y—型区域若区域既不是X—型区域，又不是Y—型区域1积分区域D的分类[X-型域]

用不等式

，

来表示的区域，其中函数

、

在区间上连续，如图8-12、8-13所示，称为

—型区域；

【X—型区域的特点】穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.图8-12图8-13[Y-型域]用不等式

，

来表示的区域，其中函数

、

在区间

上连续，如图8-14、8-15所示，称为

—型区域。【Y—型区域的特点】穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.图8-14图8-15[既是X-型，又是Y-型]积分区域D既是X-型，

，

，又是Y-型

，

，

，如图8-16所示，计算结果一样，但可做出适当选择。abdc图8-16［既非X－型域也非Y－型域］

如图8-17，则必须分割。在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域)分别使用积分公式.由二重积分积分区域的可加性得图8-172直角坐标下，二重积分的计算对

—型区域

的二重积分的计算法

对

—型区域

上的二重积分的计算法