《高等数学（第三版）》课件 第九章 线性代数

高等数学

第九章

线性代数

§9.1行列式

目录Contents二阶、三阶行列式1行列式的性质2行列式按行按列展开3二阶、三阶行列式1二阶行列式二元线性方程组记号数表表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即其中，称为元素.i为行标，表明元素位于第i行；j为列标，表明元素位于第j

列.二阶行列式的计算主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积——对角线法则例1解：计算二阶行列式的值三阶行列式定义

设有9个数排成3行3列的数表引进记号称为三阶行列式.主对角线副对角线注意：二阶行列式的对角线法则并不适用！三阶行列式的计算——对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.例2解：计算二阶行列式按对角线法则，有n阶行列式定义

设有

个数,排成n行n列的数表则称是由上数表决定的n阶行列式。行列式的性质2行列式的性质定义行列式称为行列式的转置行列式.设行列式性质1

行列式与它的转置行列式相等,即.性质2

互换行列式的两行（列）,行列式变号.验证于是备注：交换第行（列）和第行（列），记作.性质3

如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.行列式的外面。性质4

行列式的某一行（列）元素有公因子，可以提到例3解：计算二阶行列式的值。推论若行列式有某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为零。例4解：计算二阶行列式的值。推论若行列式有任意两行（列）对应元素成比例，则行列式的值为零。因为则根据推论可得性质5

若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,例如：则性质6

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．则我们以三阶行列式为例.记性质7

上（下）三角行列式的值等于主对角线上的元素之积。即行列式按行（列）展开3行列式按行（列）展开发则定义把称为元素的代数余子式．在n阶行列式中，把元素所在的第行和第列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素的余子式，记作.例如

定理

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或例5解：计算行列式课堂小结1.二阶、三阶行列式对角线展开法2.行列式的性质3.行列式按行（列）展开高等数学

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线性代数

§9.2矩阵及其运算

目录Contents矩阵的概念1矩阵相等2特殊矩阵3矩阵的运算4矩阵的概念1矩阵的概念其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．例

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．

由

m×n

个数排成的

m

行

n

列的数表称为

m行

n列矩阵，简称

m×n矩阵．记作定义简记为其中称为矩阵A的第i行第j列的元素这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元.矩阵相等2同型矩阵与矩阵相等的概念

两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如为同型矩阵.

两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元 素相等，即 则称矩阵A

与

B相等，记作A=B

.例1解：设求由矩阵相等概念可知解方程，得特殊矩阵3特殊矩阵行数与列数都等于

n的矩阵，称为n阶方阵．可记作.只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).

只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作O

.注意:不同型的零矩阵是不同的。6.形如的方阵称为上三角矩阵.记作

．形如的方阵称为对角阵．5.方阵称为单位阵．矩阵的运算4矩阵的加法定义：设有两个

m×n

矩阵

A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵

A与

B的和记作

A＋B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.知识点比较矩阵加法的运算规律交换律2.结合律3.设矩阵

A=(aij)，记－A

=(－aij)，称为矩阵

A的负矩阵．显然例2解：设

，求数与矩阵相乘定义：数

l与矩阵

A

的乘积记作

lA

或

Al

，规定为知识点比较数乘矩阵的运算规律分配律2.结合律矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.备注：例3解：设

，根据,有满足,求故矩阵的乘法定义：设，，那么规定矩阵

A与矩阵

B的乘积是一个

m×n矩阵，其中并把此乘积记作C=AB．只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.备注：矩阵的乘法满足运算规律乘法结合律2.结合律数乘和乘法的结合律（其中

l

是数）3.乘法对加法的分配律4.单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即注意：矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA.矩阵，却有， 从而不能由得出或的结论．3.矩阵的乘法不满足消去律，即AC=BC不能得出A=B.矩阵的转置定义：把矩阵

A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作AT

.例转置矩阵满足运算规律1.2.3.4.例4解：已知解法1例4解：已知解法2课堂小结1.矩阵的概念2.矩阵相等3.六种特殊矩阵：方阵、行矩阵（列矩阵）、对角矩阵4.矩阵的运算：单位矩阵、零矩阵、三角矩阵Thankyou高等数学

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线性代数§9.3矩阵的初等变换和秩

目录Contents矩阵的初等变换1行最简阶梯形矩阵2矩阵的秩3矩阵的初等变换1矩阵的初等变换定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：对调两行，记作；以非零常数k乘某一行的所有元素，记作；某一行加上另一行的k倍，记作.把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．初等变换初等行变换初等列变换例1解：已知矩阵对其作初等行变换.行最简阶梯形矩阵2行阶梯形矩阵例如（1）零行（元素全为0的行）位于矩阵的下方；（2）各非零行的首非零元（从左至右的第一个不为0的元素）的列标随着行标的增大而严格增大（或者说其列标一定不小于行标.定义：满足以下条件的矩阵称为行阶梯形矩阵：行最简阶梯形矩阵注：（1）各非零行的首非零元都是1；（2）每个首非零元所在列的其余元素都是0.定义：满足以下条件的阶梯形矩阵称为行最简阶梯形矩阵：任一矩阵总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵，并进而化为行最简阶梯形矩阵。定义：左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零，这样的矩阵称为标准形矩阵.例2解：将矩阵化为行最简阶梯形矩阵.例3解：将矩阵先化为阶梯形矩阵，再化为行最简阶梯形矩阵。任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等变换结论有限次初等行变换矩阵的秩3矩阵的秩定义：在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的

k阶子式．显然，m×n矩阵A的k

阶子式共有个．概念辨析：

k阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式矩阵的秩定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)．规定：零矩阵的秩等于零．定义：对于n阶方阵，如果r(A)=n,那么称A为满秩矩阵。根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵A中任何一个r+2阶子式（如果存在的话）都可以用r+1阶子式来表示．如果矩阵A中所有r+1阶子式都等于零，那么所有r+2阶子式也都等于零．事实上，所有高于r+1阶的子式（如果存在的话）也都等于零．

因此矩阵A

的秩就是A

中非零子式的最高阶数．一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵.例4解：设故课堂小结1.矩阵的初等变换2.行最简阶梯形矩阵3.矩阵的秩Thankyou高等数学

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线性代数§9.4逆矩阵

目录Contents逆矩阵的概念1逆矩阵的性质2利用初等行变换求逆矩阵3逆矩阵的概念1逆矩阵的概念定义：

n阶方阵A称为可逆的，如果有n阶方阵B，使得这里E是n阶单位矩阵.根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式.对于任意的n阶方阵A，适合上述等式的矩阵B是唯一的（如果有的话）.定义：如果矩阵B满足上述等式，那么B就称为A的逆矩阵， 记作A－1.当时，称为奇异矩阵；即可逆方阵就是非奇异方阵。当时，称为非奇异矩阵。是可逆方阵的充要条件，注：判断矩阵是否存在逆矩阵.例如因为，所以A存在逆矩阵。可逆矩阵的性质2可逆矩阵的性质推论：如果n阶方阵A、B可逆，那么、、与AB也可逆，且利用初等行变换求逆矩阵3利用初等行变换求逆矩阵注：将n阶方阵A与A同阶的单位矩阵I写成一个n×2n矩阵，中间用竖线隔开，即(A|I),然后利用初等行变换，若A能化为单位矩阵I，则在相同的变换下，原来的I就化为了A-1.例1解：设求.例2解：设求.例3解：求解矩阵方程：设则原方程可写为课堂小结1.逆矩阵的概念2.可逆矩阵的性质3.利用初等行变换求逆矩阵Thankyou高等数学

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线性代数§9.5线性方程组

目录Contents线性方程组的矩阵表示1齐次线性方程组AX=0的解2非齐次线性方程组AX=b的解3线性方程组的矩阵表示1线性方程组的矩阵表示设线性方程组：记则线性方程组可写成向量方程:矩阵A成为系数矩阵其中称为增广矩阵。当B=O时，线性方程组：称为齐次线性方程组，矩阵形式AX=O.

例1解：写出线性方程组的矩阵形式和增广矩阵.方程组的矩阵形式：AX=B，增广矩阵为：齐次线性方程组AX=0的解2齐次线性方程组AX=0的解（1）齐次线性方程组AX=0只有零解R(A)＝n；（2）齐次线性方程组AX=0有非零解R(A)＜n.定理：齐次线性方程组的系数矩阵为A：注：n是未知量的个数，而不是方程组中方程的个数。例2解：求解方程组对方程组的系数矩阵

施行初等