《高等数学（第三版）》课件 第三章 导数与微分

高等数学

第三章

导数与微分

导数的概念（一）

目录Contents引例1导数的定义2单侧导数3导数的几何意义4可导性与连续性5引例1变速直线运动的瞬时速度设描述质点运动位置的函数为则t0到t的平均速度为当t→t0时，时间段[t0，t]收缩成一点t0，故在t0时刻的瞬时速度为曲线的切线斜率曲线C：y=f(x)在点M割线MN的斜率为当点N沿曲线C趋向于点M时，割线MN的极限位置就是曲线C在点M处的切线，即切线MT的斜率为瞬时速度切线斜率两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.导数的定义2导数的定义设函数y=f(x)在点x0及其附近有定义，当自变量x在点x0处取得增量Δx，相应地，因变量y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作定义或k0为常数.如果函数f(x)在点x0

处可导,则用导数表示下列极限例1解：例2解：用导数表示下列极限例3解：即求函数(C为常数)的导数.例4解：求函数的导数.即类似可证得则例5解：求函数f(x)=logax(a＞0且a≠1)的导数。即单侧导数3单侧导数定义由于导数为，则和分别称为函数在点处的左导数与右导数

。分别记为定理函数在点处可导的充分必要条件在点处的左导数与右导数都是存在且相等。

即

f(x)可导例6解：判断函数

,在点处是否可导(如右下图)。由于，所以例7解：f(x)在x=0处可导,f(x)=1+bx,x≤0e–x,x>0f(0)=1

f(x)在x=0处连续,f(0)=a.设a+bx,x≤0求a,b之值.e–x,x>0y=在x=0可导,课堂小结

导数的实质:增量比的极限

;高等数学

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导数与微分

导数的概念（二）

目录Contents引例1导数的定义2单侧导数3导数的几何意义4可导性与连续性5知识回顾1基本初等函数的导数公式（C为常数）导数的几何意义2导数的几何意义在点（x0,y0）处的切线斜率k,即函数在点处的导数就是曲线因此，曲线在点M（x0,f(x0)）处的切线方程为：法线方程为：例1解：求抛物线y=x2在点(1,1)处的切线方程。

例2解：例3解：例4解：设f(x)为可导函数且满足，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率。故，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为：可导与连续3可导与连续定理.注意:

函数在点

x连续，但在该点未必可导.反例:在x=0处连续,但故在x=0处不可导。在x=0处的注意:

函数在点x连续未必可导.（1）函数在角点不可导；（2）函数在无穷倒数点处不可导；（3）函数左右导数都不存在处不可导；（4）函数在尖点不可导。(1)(2)(3)(4)例5解：函数

，

，在x=0处连续但是不可导。例6解：设,问a

取何值时,在都存在,并求出显然该函数在x=0连续.故时此时在都存在,课堂小结导数的几何意义:可导必连续,但连续不一定可导;

判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.切线的斜率;Thankyou高等数学

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导数与微分

求导法则（一）

目录Contents四则运算求导法则1复合函数求导法则2反函数的求导法则3隐函数的求导法则4对数求导法则5参数方程求导法则6知识回顾1基本初等函数的导数公式（C为常数）四则运算求导法则2四则运算求导法则定理的和、差、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且此法则可推广到任意有限项的情形.（1）设

则故结论成立.例如,证：证：(2)设则有故结论成立.推论(C为常数)例1解：例2解：例3解：求证类似可证:例4解：类似可证:例5解：课堂练习31、求下列函数的导数课堂小结求导公式及求导法则;注意:

1)Thankyou高等数学

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导数与微分

求导法则（一）

目录Contents四则运算求导法则1复合函数求导法则2反函数的求导法则3隐函数的求导法则4对数求导法则5参数方程求导法则6知识回顾1四则运算求导法则课堂导入2(1)

求的导数猜已知，则

解：因为

,则解1是错误的。是复合函数。直接套用基本初等函数求导公式求复合函数的导数是不行的。复合函数求导3复合函数求导设

关于

可导，关于

可导，则由，复合而成的

关于

可导，且有

求的导数，如：

于是链式法则令，

定理:例1解：

求的导数设例2解：

求函数

的导数因为所以

则

例3解：设

则

因为

所以

求函数

的导数

例4解：

熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，由外向内、由表及里逐层求导。

y'=[(cosx)2]'=2cosx=2cosx

(-sinx)(cosx)

'

求的导数例5解：例6解：课堂练习4练习

1、求函数的导数

解：设因为

所以练习

2、求函数的导数

解：反函数求导5反函数求导定理:y的某邻域内单调可导,例7解：,则设则类似可求得课堂小结

Thankyou高等数学

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导数与微分

求导法则（三）

目录Contents四则运算求导法则1复合函数求导法则2反函数的求导法则3隐函数的求导法则4对数求导法则5参数方程求导法则6知识回顾1复合函数反函数求导法则

课堂导入2定义:问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导2隐函数求导

例1解：例2解：例3解：所求切线方程为显然通过原点.例4解：例5解：解得对数求导法3对数求导法

由导数公式和求导法则可以对显函数求导，但对有些显函数直接求导却很困难或很烦琐，而通过对方程两边取对数，将显函数转化为隐函数后再求导反而简单，此法叫做取对转隐求导法，也称为对数求导法.注:对数求导法适用范围:

例:

取对数求导法常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数.例6解：等式两边取对数得例7解：课堂小结

对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数

隐函数求导法则直接对方程两边求导Thankyou高等数学

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导数与微分

高阶导数

目录Contents12参数方程求导法则高阶导数知识回顾1隐函数求导及对数求导法

对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数

隐函数求导法则直接对方程两边求导课堂导入2例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?参数方程求导2参数方程求导例1解：例2解：高阶导数3高阶导数例：

二阶和二阶以上导数统称称高阶导数，自然原来所说的导数就是一阶导数.例3解：

求y=ex的各阶导数.y=ex的任何阶导数仍为ex例4解：类似可证:例5解：二阶导数经常遇到,一定要掌握.例6解：规定0!=1思考:例8.设求课堂小结

逐阶求导法高阶导数的求法利用归纳法

间接法——利用已知的高阶导数公式

Thankyou高等数学

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导数与微分

微分

目录Contents微分的定义1微分的计算2微分的几何意义3知识回顾1高阶导数

逐阶求导法高阶导数的求法利用归纳法

间接法——利用已知的高阶导数公式

微分的定义2微分的定义正方形金属薄片受热后面积的改变量.引例

既容易计算又是较好的近似值再例如,问题:是否所有函数的改变量都可表示为Dy

ADx

o(Dx)?线性函数ADx

中的A是什么?设函数y=x3在点x0处的改变量为∆x时，求函数的改变量∆y.定义微分的计算3可微与可导定理函数在点可微的充要条件是即在点处可导,且例1解：

求函数y

x3当

x

2

Dx

0

02时的微分

先求函数在任意点x

的微分

dy

(x3)

Dx

3x2Dx

再求函数当x

2

Dx

0

02时的微分

dy|x=2,Dx=0.02=3

22

0.02=0.24

=3x2Dx|x=2,Dx=0.02自变量的微分dx=(x)

Dx=Dx

自变量

x

的微分dx

等于增量Dx,即函数y

f(x)的微分更习惯地记作例2解：故根据例3解：微分的几何意义4微分的几何意义

当

|Dx|很小时

|Dy

dy|比

|Dx|小得