《等差数列与等比数列》课件

数列SequenceEverysecondbringsafreshbeginning,everyhourholdsanewpromise,everynightdreamscanbringhope,andeverydayiswhatwechoosetomakeit目录AllwehaveisnowCONTENTS0102数列的相关概念等差数列及其前n项和03等比数列及其前n项和数列的相关概念落实主干知识探究核心题型a数列的相关概念1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项。a数列的相关概念3、数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。4、数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。5、数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n).a数列的相关概念常用结论：1.已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝

S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2。a考点01数列的增减性解题方法1:等差数列及其前n项和落实主干知识探究核心题型a等差数列及其性质1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第

项起，每一项与它的前一项的差都等于____

，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母

d

表示，定义表达式为

.(2)等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有___2A=a+b__

.an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)2同一个常数2.等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝

.(2)前n项和公式：Sn＝

或

Sn＝

.a1＋(n－1)d（一次函数、直线）

本质：倒序求和

三项同样也符合

a考点03等差数列及其前n项和

a考点03等差数列及其前n项和a考点03等差数列及其前n项和2，设等差数列前n项和为Sn，则S9=72，则a2+a4+a9=（）A.12B.18C.24D.36C解题技巧：在等差数列中，若m+n=p+q（m,n,p,q为正整数），则am+an=ap+aqa考点03等差数列及其前n项和

Da考点03等差数列及其前n项和a考点03等差数列及其前n项和a考点03等差数列及其前n项和2025全国二卷a考点03等差数列及其前n项和a等比数列及其前n项和

a考点03等差数列及其前n项和解题提示：在解有关绝对值的题目时要分情况讨论，本题中要讨论an＞0和an＜0的情况等比数列及其前n项和落实主干知识探究核心题型a等比数列及其前n项和知识点1：等比数列有关的概念(1)定义：如果一个数列从第

项起，每一项与它的前一项的比都等于

常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的

，公比通常用字母q(q≠0)表示.(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成

数列，那么

叫做a与b的等比中项，此时，G2＝

.2同一个公比等比Gab指数函数a等比数列及其前n项和知识点2：等比数列的有关公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an＝

.(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝________＝

.a1qn－1形式：Sn=A（1-qn）型a等比数列及其前n项和3.等比数列的常用性质(1)若m＋n＝p＋q，则

，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则

，其中m，n，w∈N*.(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为

(k，m∈N*).(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和

也是等比数列(b，p，q≠0).aman＝apaqqm增减a考点04等比数列及其前n项和2019年全国3卷a考点04等比数列及其前n项和a考点04等比数列及其前n项和a考点04等比数列及其前n项和<—等比中项性质a考点04等比数列及其前n项和a考点04等比数列及其前n项和补充：a1a2a3，a2a3a4，a3a4a5也是等比数列a考点04等比数列及其前n项和a考点04等比数列及其前n项和

a考点04等比数列及其前n项和a考点04等比数列及其前n项和题目类型：与上一题一样，这类题目属于等比等差数列的结合，在等比数列的基础上通过某个函数变成等差数列a考点04等比数列及其前n项和等比Sn形式：Sn=A（1-qn）型

a通项型数列选择速解技巧1、选项分析法：当在数列选择题出现求通项或求和的时候，几乎是不需要硬算的，只需要求出a1，a2带入选项验证，足以秒掉此类型题型（通项的“通用性”）a通项型数列选择速解技巧1、选项分析法：当在数列选择题出现求通项或求和的时候，几乎是不需要硬算的，只需要求出a1，a2带入选项验证，足以秒掉此类型题型（通项的“通用性”）

a通项型数列选择速解技巧

a通项型数列选择速解技巧

a通项型数列选择速解技巧2、找规律秒解年份题：当出现与年份有关的数列选择题，题自本身难度比较大的时候，比如，出现2019，2020,2021类似这样的数字，我们完全可以通过逐个分析选项，通过选项找规律后判断是否符合题意，来决定哪个选项正确。如果题目问的是S2020,S2018之类的偶数年份，最好是通过S2，S4这样的偶数项来验证.很多与年份有关的数列选择题，都可以用这个方法去处理，化腐朽为神奇.a通项型数列选择速解技巧a通项型数列选择速解技巧a通项型数列选择速解技巧注意：若（-1）n有关：1、a1验奇数项通项2、a2验偶数项任何题

求a10、a100、a1000、a2020、a2024验a2

求a7、a99、a2021、a2023验a1

a项与项求通项1、累加法与累乘法（1）已知{an}是等差数列，首项a1，an+1=an+d，推导{an}的通项公式an=a1+（n-1）d.（2）已知{an}是等比数列，首项a1，an+1=qan，q不等于0，推导{an}的通项公式an=a1qn-1a项与项求通项解题思路：a项与项求通项解题思路：a数列通项构造法方法一：凑累加法：消掉p才行，同除qn+1a数列通项构造法a数列通项构造法方法二：凑累乘法（凑公比为p的等比）：待定系数法a数列通项构造法解题技巧：当遇到递推式子时，将其变成an+k=p(an-1+k)这种形式a数列通项构造法已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n，求数列的通项公式a数列通项构造法利用辅助数列求通项：凑！把an+1项凑成辅助数列的形式，化简等式右侧，必可得辅助数列，先求bn再还原ana数列通项构造法利用辅助数列求通项：凑！把an+1项凑成辅助数列的形式，化简等式右侧，必可得辅助数列，先求bn再还原ana数列通项构造法a数列通项构造法

a数列通项构造法

两边同时除以n+1构造新函数a数列通项构造法2、已知数列{an}中，an=1，an+1=2an+2n，求数列通项公式两边同时除以2n+1构造新函数a项与和递推求通项项与项：an+1、an和与和：sn+1、sn项与和：sn、an项与和：核心思想：利用“an=sn-sn-1”消an或sn，化为“项与项”或“项与和”1、求sn，消an，求an，消sn（求an时，要验证一下n=1时，是否符合题意）2、哪个简单消哪个a项与和递推求通项例：已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2an+2，求an例：已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2an+2，求Sna项与和递推求通项a特殊关系式求通项

a错位相减速算技巧

a错位相减速算技巧1、2025年全国I卷a错位相减速算技巧a裂项相消

a裂项相消

a裂项相消裂项相消通解模型：a、将分母化为乘积形式（提公因式、因式分解）b、将分母化为相邻项之积（分子分母同乘因式）c、凑分子系数为分母之差

12345678910111213141516171819202122一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知数列{bn}是等比数列,b9是1和3的等差中项,则b2b16=(

)A.16 B.8 C.4 D.2C解析

因为b9是1和3的等差中项,所以2b9=1+3,即b9=2.由等比数列{bn}的性质可得b2b16==4.123456789101112131415161718192021222.在等差数列{an}中,已知前21项和S21=63,则a2+a5+a8+…+a20的值为(

)A.7 B.9

C.21

D.42C123456789101112131415161718192021223.在等差数列{an}中,S16>0,S17<0,当其前n项和取得最大值时,n=(

)A.8 B.9

C.16

D.17A解析

依题意,S16>0,即a1+a16=a8+a9>0,S17<0,即a1+a17=2a9<0,所以a9<0,a8>0,所以等差数列{an}为递减数列,且前8项为正数,从第9项以后为负数,所以当其前n项和取得最大值时,n=8.故选A.123456789101112131415161718192021224.已知数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公

A.1033 B.1034 C.2057 D.2058A123456789101112131415161718192021225.用数学归纳法证明1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除时,从n=k到n=k+1添加的项数为(

)A.7 B.6

C.5

D.4C解析

设f(n)=1+2+22+…+25n-1,假设当n=k时,f(k)=1+2+22+…+25k-1能被31整除,当n=k+1时,f(k+1)=1+2+22+…+25k+4,则f(k+1)-f(k)=1+2+22+…+25k+4-(1+2+22+…+25k-1)=25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4,则从n=k到n=k+1共添加了5项.故选C.123456789101112131415161718192021226.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处,更是美学和哲学的体现.如图1是某古建筑物中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中DD1,CC1,BB1,AA1是脊,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步的比分别为A.0.75 B.0.8 C.0.85

D.0.9图1图2D12345678910111213141516171819202122解析

不妨设OD1=DC1=CB1=BA1=1,则DD1=0.5,CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3.由题意得123456789101112131415161718192021227.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q>0,a1=1,a3=a2+2.若数列{bn}的前n项和为Tn,an+1=bnSn+1Sn,则T9=(

)C解析

∵a1=1,a3=a2+2,∴q2-q-2=0,∴q=2或q=-1.∵q>0,∴q=2,∴an=2n-1.12345678910111213141516171819202122D∴n·Gn=n·(n+2)=a1+2a2+3a3+…+nan,∴10×(10+2)=a1+2a2+3a3+…+10a10;9×(9+2)=a1+2a2+3a3+…+9a9,两式相减得10a10=21,∴a10=.故选D.12345678910111213141516171819202122二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)9.等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d=1.若a1+3a5=S7,则以下结论一定正确的是(

)A.a5=1 B.Sn的最小值为S5C.S1=S6

D.Sn存在最大值AC12345678910111213141516171819202122解析

∵等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d=1,a1+3a5=S7,∴a1+3(a1+4)=7a1+×1,解得a1=-3.a5=-3+4×1=1,故A正确;∵an=a1+(n-1)d=n-4,∴a1,a2,a3均小于零,a4=0,a5,a6,…均大于零,∴S3=S4,∴S3,S4为Sn的最小值,Sn无最大值,故B错误,D错误;S1=a1=-3,S6=6×(-3)+×1=-3,∴S1=S6,故C正确.故选AC.1234567891011121314151617181920212210.已知数列{an}:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,记Sn为数列{an}的前n项和,则下列结论正确的是(

)A.S6=a8

B.S7=33 C.a1+a3+a5+…+a2021=a2022

BCD12345678910111213141516171819202122解析

由于a8=21,S6=20,S7=S6+13=33,故A不正确,B正确;由a1=a2,a3=a4-a2,a5=a6-a4,…,a2

021=a2

022-a2

020,可得a1+a3+a5+…+a2

021=a2

022,故C正确;1234567891011121314151617181920212211.已知等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,且a1>1,a6+a7>a6a7+1>2,记{an}的前n项积为Tn,则下列选项正确的是(

)A.0<q<1 B.a6>1 C.T12>1

D.T13>1ABC1234567891011121314151617181920212212.[2023江苏盐城月考]设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8=S12,且(n+1)Sn<nSn+1(n∈N*),则下列说法正确的是(

)A.数列{an}为递增数列B.S10和S11均为Sn的最小值C.存在正整数k,使得Sk=0D.存在正整数m,使得Sm=S3mACD123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122三、填空题13.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3+12=0,S3+12=0,则a5+a6=

.

0解析

设{an}的公比为q,则a1q2=-12,a1+a1q+a1q2=-12,所以q=-1,a5+a6=0.1234567891011121314151617181920212214.若等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=0,S5=10,数列{bn}满足b1=0,且b

n+1=an+1+bn,则数列{bn}的通项公式为

.

bn=n2-3n+2于是an=-2+2(n-1)=2n-4.因此an+1=2n-2.于是bn+1-bn=2n-2,bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=0+0+2+…+(2n-4)=n2-3n+2,故数列{bn}的通项公式为bn=n2-3n+2.1234567891011121314151617181920212215.设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=

,S5=

.

1121解析

由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3.再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2),得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).又因为a2=3a1,所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列.12345678910111213141516171819202122

已假设n=k(k≥2且k为偶数)时等式成立,则还需要用归纳假设证n=

时等式成立.

等号成立

k+21234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)一个,补充到下面问题中,并给出解答.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,

.

(1)求数列{an}的通项公式;(2)若a1,ak,Sk+2成等比数列,求正整数k的值.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,且a1=1也适合该式,故数列{an}的通项公式an=2n-1.(2)a1=1,ak=2k-1,Sk+2=(k+2)2,结合题意知(2k-1)2=1·(k+2)2,即3k2-8k-3=0,解得k=3或k=-,因为k是正整数,所以k=3.12345678910111213141516171819202122由an>0知,an+1+an>0,得an+1-an-1=0,即an+1-an=1,数列{an}是等差数列,首项是1,公差为1,故an=n.1234567891011121314151617181920212218.设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.解

(1)设{an}的公差为d.因为a1=-10,所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).所以(-2+2d)2=d(-4+3d)解得d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n-12.(2)由(1)知,an=2n-12.所以,当n≥7时,an>0;当n≤6时,an≤0.所以,Sn的最小值为S5=S6=-30.1234567891011121314151617181920212219.已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an