第六章核心素养测评卷 - 学生版

第六章核心素养测评卷平面向量及其应用满分150分，限时120分钟一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知点A(－1，2)和向量a＝(1，3)，且AB＝2a，则点B的坐标为()A.(1，8) B.(0，5) C.(－3，－4) D.(3，4)2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝1，A＝π6，C＝π4，则c等于(A.1 B.2 C.3 D.323.已知向量a，b满足b＝(1，1)，a·b＝2.则a在b上的投影向量的坐标为()A.22，22 B.(1，1) C.(－1，－1) 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sinA∶sinB∶sinC＝5∶12∶13，则△ABC是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形5.已知向量a，b，c均为单位向量，且a＋b＋3c＝0，则a与b的夹角为()A.π6 B.π4 C.π3 D6.在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CB＝m，CD＝n，则CA等于()A.12m＋32n B.－12m＋32n C.32m＋12n D.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1，4S＝b2＋c2－a2，则△ABC外接圆的半径为()A.2 B.2 C.1 D.28.如图所示，正方形ABCD的边长为2，圆A的半径为1，点P在圆A上运动，则BP·BD的取值范围是()A.[2，6] B.[22，66] C.[4－22，4＋22] D.[2，22]二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.已知平面向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，则()A.｜a｜＝10 B.(2a－b)⊥bC.a在b上的投影向量的模为55 D.a与b10.在△ABC中，A＝60°，角A所对的边a＝3，下列说法中，正确的有()A.若0＜b≤2，则△ABC有一个解 B.若b＞2，则△ABC无解C.若3＜b＜2，则△ABC有两个解D.若0＜b≤3，则△ABC有一个解11.(2025·山东省实验中学高一月考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若AB·AC＝2，a＝2，则()A.bccosA＝2 B.b2＋c2＝8C.角A的最大值是π3 D.△ABC面积的最小值是三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.向量a＝(2，3)与向量b＝(－1，x)的夹角为钝角，则x的取值范围是.13.在△ABC中，∠B＝π6，AC＝5，D是AB边上一点，CD＝2，△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，则BC＝14.定义：a，b两个向量的叉乘a×b的模｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin＜a，b＞.若点A(1，0)，B(1，3)，O为坐标原点，则｜OA×OB｜＝.四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).求：(1)a·b及｜a＋b｜；(2)向量a与b夹角的余弦值.16.(15分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2＋(c－b)c＝a2.(1)求A的大小；(2)若△ABC的面积等于53，b＝5，求sinBsinC的值.17.(15分)如图所示，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，M是BC的中点，N是AC上的点，且AN＝xAC，AM，BN相交于点P.设AB＝a，AC＝b.(1)若x＝13，试用向量a，b表示AM，PN(2)若AM⊥PN，求实数x的值.18.(17分)(2025·湖南邵阳高二检测)如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2.(1)若∠ABC＝30°，求DC的长；(2)记∠ABC＝θ，当θ为何值时，△BCD的面积有最小值？求出最小值.19.(17分)如图所示，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c＝1，且2csinAcosB＝asinA－bsin