第二章 必刷小题2 函数的概念与性质（解析版）2027届高考数学一轮精准复习

第第页第二章函数必刷小题2函数的概念与性质[分值：73分]【高考考向预测】近三年高考函数的概念与性质考查频率极高，属于数学核心主干考点，题型覆盖选择填空与解答题，重点考查定义域值域求解、单调性、奇偶性、周期性及对称性等基础性质，常多性质融合综合命题，广泛关联不等式、方程等知识；预测2027年高考仍将作为重中之重持续考查，命题更加注重知识点融会贯通，侧重含参函数性质探究、抽象函数性质推导以及性质在求值、比较大小、求解范围中的灵活运用，深度渗透数形结合与分类讨论思想，稳中求变，着重考查学生逻辑推理与综合应用能力。【核心梳理●明考点】一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2025·黔西模拟)已知函数f(x)=2x+3+log2(2-x)，则f(A.(-3，2) B.[-3，2)C.(-3，2] D.[-3，2]【答案】A【解析】对于函数f(x)=2x+3+log2(2-x)，有x+3>0,2−x所以函数f(x)的定义域为(-3，2).2.下列函数中，其图象与函数f(x)=2x的图象关于原点对称的是()A.y=-2x B.y=2C.y=log2x D.y=-2【答案】D【解析】与函数f(x)=2x的图象关于原点对称的是y=-f(-x)=-2-x的图象.3.已知f(2x+1)=4x2，则f(-3)等于()A.36 B.16 C.4 D.-16【答案】B【解析】方法一令2x+1=-3，解得x=-2.∴f(-3)=4×(-2)2=16.方法二∵f(2x+1)=4x2=(2x+1)2-2(2x+1)+1，∴f(x)=x2-2x+1.∴f(-3)=(-3)2-2×(-3)+1=16.4.(2025·北京模拟)已知奇函数y=f(x)在R上单调递增，则“f(x1)+f(x2)>0”是“x1+x2>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当f(x1)+f(x2)>0时，因为函数f(x)是奇函数，可得f(x1)>-f(x2)=f(-x2)，又因为y=f(x)在R上单调递增，所以x1>-x2，即x1+x2>0；当x1+x2>0时，x1>-x2，因为y=f(x)在R上单调递增，所以f(x1)>f(-x2)，因为函数f(x)是奇函数，可得f(x1)>-f(x2)，所以f(x1)+f(x2)>0，则“f(x1)+f(x2)>0”是“x1+x2>0”的充要条件.5.(2026·泉州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当0<x≤1时，f(x)=-x2+x，则f

11A.12 B.-12 C.14【答案】D【解析】因为f(x)为奇函数，f(x+2)=f(x)，知f(x)=-f(-x)，f(x)的一个周期为2，所以f

112=f

2×3−12又当0<x≤1时，f(x)=-x2+x，所以f

12=-122+12=146.四参数方程的拟合函数表达式为y=a−d1+xcb+d(x>0)，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个类似递增(或递减)的指数或对数曲线，或双曲线(如y=x-1)，还可以是一条S形曲线，当a=4，A.类似递增的双曲线B.类似递增的对数曲线C.类似递减的指数曲线D.一条S形曲线【答案】A【解析】依题意可得拟合函数为y=31+x−1+1(即y=3x1+x+1=3(x+1)−3x+1将y=−3x(x>1)的图象向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到y=−3x+1+4(因为y=−3x在(1，+∞所以拟合函数的图象是类似递增的双曲线.7.已知函数f(x)=1ex+1-12，则关于t的不等式f(lntA.(0，+∞) B.0，C.(0，1) D.(1，+∞)【答案】D【解析】f(-x)=1e−x+1-12则f(-x)+f(x)=exex+1-12+1ex+1-12=1-1=0，由lnt+ln故f(lnt)+f

ln1故f(lnt)+2f

ln1t=易知f(x)在R上单调递减，又f(0)=12-12故f(lnt)+2f

ln1t>0可转化为f

ln1t>f(0)，则有ln1即t>1，故t∈(1，+∞).8.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则22Σk=1fA.-3 B.-2 C.0 D.1【答案】A【解析】方法一因为f(1)=1，所以在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中，令y=1，得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)，所以f(x+1)+f(x-1)=f(x)， ①所以f(x+2)+f(x)=f(x+1). ②由①②相加，得f(x+2)+f(x-1)=0，故f(x+3)+f(x)=0，所以f(x+3)=-f(x)，所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中，令y=0，得f(x)+f(x)=f(x)f(0)，所以f(0)=2.令x=y=1，得f(2)+f(0)=f(1)f(1)，所以f(2)=-1.由f(x+3)=-f(x)，得f(3)=-f(0)=-2，f(4)=-f(1)=-1，f(5)=-f(2)=1，f(6)=-f(3)=2，所以f(1)+f(2)+…+f(6)=1-1-2-1+1+2=0，根据函数的周期性知，22Σk=1f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)方法二(构造特殊函数)由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，联想到余弦函数和差化积公式cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy，可设f(x)=acosωx，则由方法一中f(0)=2，f(1)=1知a=2，acosω=1，解得cosω=12，取ω=π所以f(x)=2cosπ3x则f(x+y)+f(x-y)=2cosπ3x+π3y+2cosπ3x−π3y=4cosπ3xcosπ3y=f(x)f(y)，所以f(x)=2cosπ3x符合条件，因此f(x)的最小正周期T=2ππ3=6，f(0)=2，f(1)=1，且f(2)=-1，f(3)=-2，f(4)=-1，f(5)=1，f(6)=2，所以f(1)+f(2)+f(3)由于22除以6余4，所以22Σk=1f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.(2025·合肥期末)下列函数中符合在定义域上是单调递增的奇函数的是()A.f(x)=10x-10-xB.f(x)=lnxC.f(x)=ln(2+x)-ln(2-x)D.f(x)=x-1【答案】AC【解析】对于A，f(x)的定义域为R，f(-x)=10-x-10-(-x)=-10x+10-x=-f(x)，所以f(x)为奇函数，又y=10x与y=-10-x均在R上单调递增，故f(x)在R上单调递增，故A正确；对于B，显然f(x)=lnx在定义域(0，+∞)上单调递增，且是非奇非偶函数，故B错误；对于C，对函数f(x)=ln(2+x)-ln(2-x)，由2+x>0,2−x>0,f(-x)=ln(2-x)-ln(2+x)=-[ln(2+x)-ln(2-x)]=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数，因为y=ln(2+x)在(-2，2)上单调递增，y=ln(2-x)在(-2，2)上单调递减，所以f(x)=ln(2+x)-ln(2-x)在(-2，2)上单调递增，故C正确；对于D，因为函数f(x)=x-1x的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，该函数在其定义域上不具有单调性，故D错误10.(2026·南京模拟)已知函数f(x)=sinxA.f(x)的最小正周期为πB.f(x)为奇函数C.不等式f(x)>x无解D.f(x)的图象关于点(π，0)对称【答案】BD【解析】对于选项A，f(π+x)=sin(π+x)2−cos2(π+x)=−sinx2−cos2x≠f(x)，∴对于选项B，f(x)的定义域为R，f(-x)=sin(−x)2−cos(−2x)=-sinx2−cos2x=-f(x对于选项C，f(-π)=0>-π，∴f(x)>x有解，故C错误；对于选项D，f(2π-x)=sin(2π−x)2−cos2(2π−x)=−sinx2−cos2x=-f(x)，∴f(x11.已知函数f(x)的定义域为R，其图象关于点(2，1)中心对称，若f(x)-f(2-x)=4-4x，则下列结论正确的是()A.f(4-x)+f(x)=2 B.f(0)=4C.f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=8 D.f(2026)=-4047【答案】ACD【解析】对于A，函数f(x)的定义域为R，其图象关于点(2，1)中心对称，则f(4-x)+f(x)=2，A正确；对于B，f(2)=1，又f(x)-f(2-x)=4-4x，取x=0，则f(0)-f(2)=4，解得f(0)=5，B错误；对于C，在f(4-x)+f(x)=2中，取x=1，得f(1)+f(3)=2，因此f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=8，C正确；对于D，由f(x)-f(2-x)=4-4x，得f(-x)-f(2+x)=4+4x，两式相加得f(x)+f(-x)-[f(2-x)+f(2+x)]=8，而f(2-x)+f(2+x)=2，则f(-x)+f(x)=10，即f(-2-x)+f(2+x)=10，因此f(2-x)-f(-2-x)=-8，即f(x+4)-f(x)=-8，而2026=4×506+2，所以f(2026)=f(2)+506×(-8)=-4047，D正确.三、填空题(每小题5分，共15分)12.已知函数f(x)=log3(x+1),x>1,x,0<x【答案】8【解析】当0<x≤1时，0<f(x)=x≤1<2，所以若f(m)=2，只能m>1，即log3(m+1)=2，所以m+1=32=9，所以m=8>1，满足题意.13.(2025·无锡模拟)已知函数f(x)=x2−2x,x≥m,【答案】[3，+∞)【解析】因为y=x2-2x=(x-1)2-1在[1，+∞)上单调递增，y=x在R上单调递增，又f(x)=x2−2x所以m≥1,m≤14.(2025·梅州模拟)设f(x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，对任意的x1，x2∈(0，+∞)，x1≠x2，都满足x2f(x2)−x1f(x1【答案】(-2，0)∪(2，+∞)【解析】令F(x)=xf(x)，x≠0，∵对任意的x1，x2∈(0，+∞)，x1≠x2，