第二章 必刷小题3 基本初等函数（解析版）2027届高考数学一轮精准复习

第第页第二章函数必刷小题3基本初等函数[分值：73分]【高考考向预测】近三年高考基本初等函数为高频核心考点，考查覆盖面广，题型大小题均有涉及，重点考查二次函数、幂函数、指数与对数函数的图象、性质、运算及大小比较，常相互结合并联动不等式、方程综合设题；预测2027年依旧保持重点考查地位，命题更侧重函数性质融合运用、复合函数分析、实际模型应用以及含参问题探究，强化数形结合与转化思想，出题形式灵活多变，侧重夯实基础同时提升知识综合运用能力。【核心梳理●明考点】一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2025·南平统考)若9a=5，log34=b，则32a+b等于()A.10 B.20 C.50 D.100【答案】B【解析】因为9a=32a=5，又因为log34=b，可得3b=4，所以32a+b=32a×3b=5×4=20.2.(2026·聊城模拟)“a<b”是“lna<lnb”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由lna<lnb，根据对数函数的性质，可得b>a>0，所以必要性成立；若a<b<0，则lna，lnb无意义，所以充分性不成立，所以“a<b”是“lna<lnb”的必要不充分条件.3.若指数函数f(x)经过点(2，4)，则它的反函数g(x)的解析式为()A.g(x)=log2x B.g(x)=log0.5xC.g(x)=2x D.g(x)=x2【答案】A【解析】设指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，点(2，4)在f(x)的图象上，所以4=a2，解得a=2.所以f(x)=2x，故反函数g(x)=log2x.4.(2025·泸州期末)已知函数y=loga(x-15)+4(a>0，a≠1)的图象过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是()【答案】C【解析】因为y=loga(x-15)+4(a>0，a≠1)，当x=16时，y=4，所以该函数的图象过定点P(16，4)，设幂函数为y=xα，由幂函数的图象经过点P，代入P(16，4)得4=16α，解得α=12所以幂函数为y=x12=x，定义域为{x|x≥0}，结合定义域和图象，可知C5.(2025·海口模拟)已知loga22<12，则实数A.0，12∪(1，+B.0，12C.1D.0，12【答案】A【解析】由loga22<12=loga则a>1,a>22或0<a<1,a<所以实数a的取值范围为0，12∪(1，+∞6.(2025·南通模拟)任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10，n∈Z)的形式，这便是科学记数法，若等式两边取常用对数，则有lgN=n+lga，当n>0时，N是n+1位数，则22025的位数为(参考数据：lg2≈0.3010)()A.611 B.610C.609 D.608【答案】B【解析】易知0≤lga<1，∵lg22025=2025lg2≈2025×0.3010=609+0.525，∴n=609，∴22025是610位数.7.(2025·秦皇岛模拟)已知a=log2678，b=1.250.9，c=log918，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>c B.a>c>bC.c>b>a D.c>a>b【答案】B【解析】由题意得，a=log26(3×26)=log263+1>log273+1=1+13c=log9(9×2)=1+log92<1+log82=1+13，且c=1+log92>1+log162=1+1b=1.250.9<1.251=1+14所以b<1+14<c<1+13<a，即a>c>8.(2025·黔南模拟)设函数f(x)=2a2-x|x+a|，当x>4时，f(x)<0，则a的取值范围为()A.[-4，2] B.[-2，1]C.[-1，2] D.[-2，4]【答案】D【解析】f(x)=2a2-x|x+a|=−即f(x)=−(当a≥0时，函数f(x)的大致图象如图，因为当x>4时，f(x)<0，所以a≤4，故0≤a≤4；当a<0时，函数f(x)的大致图象如图，因为当x>4时，f(x)<0，所以-2a≤4，又a<0，得-2≤a<0，综上，a的取值范围为[-2，4].二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.已知a>0且a≠1，则函数y=ax-1与y=loga(x-1)的大致图象可能是()【答案】BD【解析】函数y=ax-1与y=loga(x-1)的单调性相同，故排除A，C；若0<a<1，则函数y=ax-1在R上单调递减且图象过点(0，0)，函数y=loga(x-1)在定义域(1，+∞)上单调递减且图象过点(2，0)，故D正确；若a>1，则函数y=ax-1在R上单调递增且图象过点(0，0)，函数y=loga(x-1)在定义域(1，+∞)上单调递增且图象过点(2，0)，故B正确.10.(2026·邢台模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点14A.f(x)为增函数B.f(x)为偶函数C.若f(x)≤2，则0≤x≤4D.若0<x1<x2，则f(x1【答案】ACD【解析】设幂函数f(x)=xa，由于图象经过点14所以14a=12，即a所以f(x)=x1故f(x)在定义域[0，+∞)上单调递增，A正确；显然f(x)为非奇非偶函数，B错误；由f(x)=x≤2，解得0≤x≤4，C正确；当0<x1<x2时，x1+=x1+=−(x1+x故x1+x即f(x1)+f(x11.(2026·贵阳模拟)已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(8-x)，则()A.f(x)的定义域为[2，8]B.f(x)在(2，4)上单调递增C.f(x)的图象关于直线x=5对称D.f(x)的值域为(-∞，2ln3]【答案】BCD【解析】对于A，由题意可得x−2>0,8−x>0,解得2<x<8，所以函数f(x)的定义域为(2，对于B，因为f(x)=ln(x-2)+ln(8-x)=ln[(x-2)(8-x)]，设t=(x-2)(8-x)，则y=lnt，t>0，因为函数y=lnt在定义域上为增函数，函数t=(x-2)(8-x)=-(x-5)2+9在(2，4)上单调递增且大于零，所以f(x)在(2，4)上单调递增，故B正确；对于C，因为该函数的定义域关于x=5对称，且f(10-x)=ln(10-x-2)+ln[8-(10-x)]=ln(8-x)+ln(x-2)=f(x)，故函数f(x)的图象关于直线x=5对称，故C正确；对于D，由B项分析可得函数t=(x-2)(8-x)在(2，8)上的值域为(0，9]，所以f(x)的值域为(-∞，2ln3]，故D正确.三、填空题(每小题5分，共15分)12.(2026·天津南开区检测)27−23+log85×log152+102lg2-lg【答案】10【解析】27−23+log85×log152+10=(33)−23+1log=19-13log52×log52+43=1913.(2025·铜川模拟)设函数f(x)=log0.5(ax-x2)在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是.

【答案】[2，+∞)【解析】设t=ax-x2，则其图象开口向下，对称轴为直线x=a2∵y=log0.5t是减函数，∴要使f(x)在区间(0，1)上单调递减，则t=ax-x2在区间(0，1)上单调递增且恒大于0，∴a2≥1，即a≥2故实数a的取值范围是[2，+∞).14.已知定义在R上的函数f(x)=x2-2tx+1在(-∞，1]上单调递减，且对任意的x1，x2∈[0，t+1]，总有|f(x1)-f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是.

【答案】[1，2]【解析】二次函数f(x)=x2-2tx+1=(x-t)2-t2+1图象的对称轴为直线x=t，所以f(x)在(-∞，t]上单调递减，在(t，+∞)上单调递增，又已知f(x)在(-∞，1]上单调递减，可得t≥1.因为函数f(x)在[0，t]上单调递减，在(t，t+1]上单调递增，又t-0≥1，t+1-t=1，由对称性可知f(0)≥f(t+1)，所以当x=0时，f(x)在[0，t+1]上取得最大值，最