高考尖子生培优专题05：比较函数值大小解题技巧（超越不等式、放缩法、泰勒不等式、构造函数、帕德近似）（2027年高考一轮复习终极冲刺讲练测）(新高考专用)原卷版

尖子生培优专题05：比较函数值大小解题技巧（超越不等式、放缩法、泰勒不等式、构造函数、帕德近似）解题技巧一单调性、中间值比较大小 5解题技巧二两类经典的超越不等式的应用 6解题技巧三不等式放缩的应用 7解题技巧四帕德近似的应用 8 解题技巧五构造函数--指数型构造 9解题技巧六构造函数--对数型构造 10解题技巧七泰勒不等式 10思维导图思维导图常规解题策略：（1）①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。（2）底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助“媒介数”进行大小关系的判定.（3）通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。(2)估值比较大小根式：，，，分式：，指数式：，，对数式：，，，三角式：，(2)构造函数（1）构造函数或；（2）构造函数或；（3）构造函数或.（4）六大超越函数图像表达式图像表达式图像 二、二级结论两类经典超越不等式，，，泰勒不等式（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．不等式放缩（1）；（2）（），当时取等号；变式：,当时取等号；（3）（），当时取等号；变式：；（4）（），当时取等号；（5）（），当时取等号.①放缩结论补充1：不等式，②放缩结论补充2：③放缩结论补充3：，经典重现+经典重现+解题技巧 解题技巧一单调性、中间值比较大小单调性法比较大小的应用技巧（1）底数相同，指数不同，如ax1和ax2，利用指数函数y（2）指数相同，底数不同，如x1a和x2a，利用幂函数y（3）底数相同，真数不同，如logax1和logax2，利用对数函数y＝logax的单调性比较大小.中间值比较大小的应用技巧在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，12【例1】（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2026·湖北武汉·三模）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（

）A． B． C． D．【变式1-3】（25-26高三上·河北·期中）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D． 解题技巧二两类经典的超越不等式的应用解题策略：在比较大小或证明不等式时，两类经典的超越不等式是核心工具：①指数型：ex≥x②对数型：lnx≤x③如图可得：ex≥x+④如下图：二者本质关系是指对缩放之间的转换【例2】（2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式2-1】（24-25高三下·陕西西安·期中）设，，，则（

）A． B． C． D．【变式2-2】（25-26高三下·河北唐山·模拟）设，则（

）A． B．C． D．【变式2-3】（25-26高三上·江西吉安·期末）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D． 解题技巧三不等式放缩的应用解题策略：不等式放缩是通过一系列已知不等式将原式放大或缩小，转化为更简单的形式，从而比较大小或证明不等式。除了经典超越不等式，还需掌握常见放缩链（如ex①分析待处理式子的结构（指数、对数、分式、根式等），联想与之相关的已知不等式或放缩链。②根据放缩方向（需放大还是缩小），选取一个或多个不等式进行尝试。注意等号成立条件，确保放缩后的式子更简单且可比。③将选定的不等式代入原式，进行代数化简，得到放缩后的表达式。有时需连续放缩，形成不等式链。【例3】（25-26高三下·河北衡水·期中）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【变式3-1】（2024·河南·模拟预测）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式3-2】（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知，则的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【变式3-3】（25-26高三下·湖南·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D． 解题技巧四帕德近似的应用解题策略：帕德近似是一种有理函数逼近方法，用有理分式来近似函数值。相比泰勒多项式，帕德近似往往在相同阶数下精度更高，尤其适用于函数值比较问题。需要记忆常见函数（如ex①当待比较数值涉及指数、对数、三角函数等，且数值接近，泰勒近似计算复杂时，可考虑帕德近似。②将具体的

x

值代入帕德近似式，计算有理分式的值。注意近似式的适用区间（通常为

x

较小的情况）。③比较各数值的帕德近似值，得出大小关系。由于帕德近似精度较高，通常可直接作为比较依据。【例4】已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式4-1】已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式4-2】已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式4-3】已知，，，则（

）A． B． C． D． 解题技巧五构造函数--指数型构造指数型构造特征：1、多以e为底数，构造+kx+b等形式函数，求导，判断单调性比大小2、构造对数幂型：，比较常见的构造式：【例5】已知且，且，且，则（）A.

B.

C.

D.【变式5-1】（25-26高三上·辽宁大连·期中）若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（

）A． B．C． D．无法比较大小【变式5-2】（24-25高三上·江苏南通·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，则（

）A． B．C． D．【变式5-3】（2024·浙江嘉兴·二模）已知定义在上且无零点的函数满足，且，则（

）A． B．C． D． 解题技巧六构造函数--对数型构造对数型构造特征：1、多以e为底数，构造lnx+kx+b等形式函数，求导，判断单调性比大小2、构造对数幂型：，比较常见的构造式：【例6】（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（

）A． B．C． D．【变式6-1】（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（

）A． B．C． D．【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式6-3】（2025高三·全国·专题练习）若，，，则a，b，c的大小关系为________．（用“”连接） 解题技巧七泰勒不等式解题策略：利用泰勒公式解决指数函数，对数型函数，三角函数，，等与一元高次函数之间的放缩、近似计算、比较大小等问题.解决此类问题的关键点如下：①列泰勒公式：观察已知条件的特征，与函数，等相对照，列出对应的泰勒公②

求函数值：根据已知条件，代入自变量的值并近似计算求函数值③给出结论：根据计算结果，给出判断结果常用近似计算公式：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）【例7】（2025·福建福州·模拟预测）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中，.通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式7-1】已知，，，则（

）A.

B.

C.

D.【变式7-2】已知，则（

）A． B． C． D．【变式7-3】若，则的大小关系为（

）A． B． C． D．1．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知，，，则下列大小关系正确的是（

）A． B． C． D．2．（2026·四川广元·三模）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·山东枣庄·阶段检测）设，,，则下列大小关系正确的是（

）A． B． C． D．4．（25-26高三下·广东广州·期中）设，，，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．5．（2024·江西赣州·一模）已知，则（

）A． B．C． D．6．（2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．7．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数，，，，则（

）A． B． C． D．8．（24-25高三下·河南·阶段检测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．9．（2025高三·全国·专题练习）已知，则（

）A． B．C． D．10．（2024·重庆·一模）英国著名数学家布鲁克·泰勒（TaylorBrook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（

）A． B．C． D．11．（2025高三·全国·专题练习）英国著名数学家布鲁克・泰勒（BrookTaylor）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世．泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限项连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（

）A． B． C． D．12.在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中，.通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知，，.根据以上