函数性质（一）原卷版2027届高考数学一轮精准复习

③，得到定理4：当一个函数时，一定有，是周期为的周期函数．定理2若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．角度3．函数对称性和迭代构造周期函数定理1若函数的图象关于直线，都对称，则为周期函数且是它的一个周期．推论若偶函数的图象关于直线对称，则为周期函数，且是它的一个周期．定理2函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数．推论若奇函数的图象关于对称，则为周期函数，且是它的一个周期．定理3函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数．推论1若奇函数的图象关于直线对称，则为周期函数，且是它的一个周期．推论2周期为的奇函数一定关于点对称，周期为的偶函数关于直线对称．定理4若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．证明由函数满足得，则函数是以为周期的周期函数．定理5若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．证明由，又，则．考点1.函数性质的推导【典例1-1】已知函数为定义在上的奇函数，对，都有，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（

）A． B．的一个周期为4C． D．在区间上单调递增【过关检测】已知函数是定义域为的偶函数，满足，则下列选项一定正确的是（

）A． B．C． D．是偶函数【典例1-2】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则A． B． C．（2） D．（4）【过关检测】1．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A．为奇函数 B．为偶函数C．的最小正周期为4 D．在上单调递增2.已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，则A．（4） B．（2） C． D．考点2.利用函数性质求值【典例2】已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则________．【过关检测】1.已知的定义域为，满足，若，则__________.2.（多选）已知定义在上的函数满足，，，且为奇函数，则A．为奇函数B．为偶函数 C．是周期为3的周期函数 D．（1）3.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当，时，．若，则A． B． C． D．考点3.类周期函数（1）类周期函数若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．类周期函数图象倍增函数图象（2）倍增函数若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．注意当时，构成一系列平行的分段函数，．【典例3】定义在R内的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【过关检测】1.设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（）A． B． C． D．2.设函数，若对任意的，，都有f（x）≥﹣4，则的最小值是A． B． C． D．

考点4.导数与函数性质【典例4】（多选）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为偶函数，则（）B．C．D．【过关检测】（多选）已知函数及其导函数的定义域均为．记，若为偶函数，为奇函数，则A． B．（3） C． D．（5）考点5.双函数的性质【典例5】已知函数，的定义域均为，且，，若的图像关于直线对称，，则A． B． C． D．【过关检测】1.（多选）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（

）A． B．C．是周期为的周