第2章对称图形-圆全章复习与测试(原卷版+解析)

第2章对称图形—圆全章复习与测试1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；

2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；

3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；

4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；

5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．三．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．四．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．五．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．六．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）．八．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．九．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．十．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．十一．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．十二．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．十三．切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．十四．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．十五．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．十六．切线长定理（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．十七．切割线定理（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD．十八．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．十九．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．二十．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．二十一．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2或S扇形=12（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．二十二．圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．（3）圆锥的侧面积：S侧=12•2πr•l＝π（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl（5）圆锥的体积=1注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．二十三．圆柱的计算（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积（4）圆柱的体积＝底面积×高．一．圆的认识（共1小题）1．（2022秋•东台市月考）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（）A．圆的直径是半径的2倍 B．同一个圆所有的直径都相等 C．圆的周长是直径的π倍 D．圆是轴对称图形二．垂径定理（共2小题）2．（2023•鼓楼区校级三模）如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若BC恰好过圆心O，则BC的长是（）A． B．π C．2π D．4π3．（2023•盐城二模）如图，在半径为5的⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为点D，且AB＝8，则CD的长等于．三．垂径定理的应用（共2小题）4．（2023•亭湖区校级二模）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为（）cm．A．4 B．6 C．8 D．8.45．（2023•宝应县二模）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形．如图，已知矩形的宽为m，高为3m，则改建后门洞的圆弧长是m．（结果请保留π）四．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）6．（2022秋•南京期中）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB＝，BC＝1，则⊙O的半径为（）A． B． C． D．五．圆周角定理（共2小题）7．（2023•苏州一模）如图，已知矩形ABCD的一边AB长为12，点P为边AD上一动点，连接BP、CP，且满足∠BPC＝30°，则BC的值可能是（）A．6 B．6.8 C． D．8．（2023•建邺区校级二模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，若AB＝4，则的长是．六．圆内接四边形的性质（共1小题）9．（2023•梁溪区模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（）A．16° B．24° C．12° D．14°七．点与圆的位置关系（共1小题）10．（2023春•无锡月考）已知⊙O的半径为3，OA＝5，则点A在（）A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定八．确定圆的条件（共1小题）11．（2023•泗洪县二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是．九．三角形的外接圆与外心（共2小题）12．（2023•苏州二模）下列说法错误的是（）A．三角形的三个顶点一定在同一个圆上 B．平行四边形的四个顶点一定在同一个圆上 C．矩形的四个顶点一定在同一个圆上 D．正n边形的各个顶点一定在同一个圆上13．（2023•滨海县模拟）如图，等边△ABC内接于⊙O，AB＝4，则图中阴影部分的面积等于．一十．直线与圆的位置关系（共1小题）14．（2022秋•徐州期末）卡塔尔世界杯小组赛，一粒制胜球（如图）射门前是否出底线成为球迷讨论的热点，裁判依据VAR图判定该球并未出界，VAR图中的圆与直线a的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定一十一．切线的性质（共3小题）15．（2023•阜宁县二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F．（1）求证：OF＝EC；（2）若∠A＝30°，BD＝2，求线段AD、AE与弧DE围成的阴影部分面积．16．（2023春•灌云县月考）如图，⊙O的直径AE的延长线与过点B的切线BD相交于点D，点C为⊙O上一点，且∠BCE＝25°，则∠D的度数是（）A．60° B．50° C．40° D．30°17．（2023•海门市二模）如图，⊙O的直径AB＝12，C为⊙O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，∠DAC＝30°．​（1）求∠BAC的度数及CD的长；（2）求阴影部分的面积．一十二．切线的判定（共1小题）18．（2017秋•射阳县校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为秒．一十三．切线的判定与性质（共5小题）19．（2023春•新吴区期中）如图，在△ADC中，AC＝CD，∠D＝30°，点B是AD上一点，∠ACB的角平分线CE交以AB为直径的⊙O于点E，过点B作BF⊥EC，垂足为F，⊙O恰好过点C．（1）求证：CD是⊙O切线；（2）若，求CF的长．20．（2023•滨海县模拟）如图，在半径为5的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF＝ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若BE：：3，求：①BD的长；②由弦BD与弧BD围成的阴影部分面积．21．（2023•秦淮区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l与△ABC的外接圆相切于点B，D是l上一点，DC＝DB．（1）求证：DC与△ABC的外接圆相切；（2）若DC＝AB＝4，则BC的长是．22．（2023•宝应县二模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点D，连接CD，已知∠BOC＝∠ACD，OD＝CD．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若AO＝20，求线段AD、AC、弧CD围成的阴影部分的面积．23．（2023春•江阴市期中）如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，点D是的中点，过点D的直线垂直直线AC于点E，与AB的延长线交于点G，弦AF⊥AE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝5，AF＝6，求AG的长．一十四．三角形的内切圆与内心（共1小题）24．（2023•姑苏区校级开学）如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，BI⊥OI，AC＝14，BC＝13，△ABC内切圆半径为（）A．4 B． C． D．一十五．正多边形和圆（共3小题）25．（2022秋•无锡期末）若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．726．（2022秋•盐都区期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为（）A．10 B．12 C．15 D．2027．（2023•镇江一模）在九年级《数学实验手册》中，我们探究了最小覆盖圆与图形之间的关系．现有如图所示的等边三角形△ABC，边长为3，若分别以顶点A、B、C为圆心作三个等圆，这三个等圆能完全覆盖△ABC，则所作等圆的最小半径是．一十六．弧长的计算（共4小题）28．（2023•滨湖区一模）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为3，则勒洛三角形的周长为（）A． B．3π C． D．29．（2022秋•宜兴市期末）如图，是一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥．已知AB的长为10，圆周角∠C＝30°，则的长为（）A．π B． C．5π D．π30．（2023•射阳县校级模拟）东南环立交是苏州中心城区城市快速内环道路系统的重要节点，也是江苏省最大规模的城市立交．左图是该立交桥的部分道路示意图（道路宽度忽略不计），A为立交桥入口，D、G为出口，其中直行道为AB、CD、FG，且AB＝CD＝FG；弯道是以点O为圆心的一段弧，且BC、CE、EF所在的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以16m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如右图所示．结合题目信息，下列说法错误的是（）A．该段立交桥总长为672m B．从G口出比从D口出多行驶192m C．甲车在立交桥上共行驶22s D．甲车从G口出，乙车从D口出31．（2022秋•建邺区期末）如图，A，B，C，D为⊙O上的点，且直线AB与CD夹角为45°．若，，的长分别为π，π和3π，则⊙O的半径是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5一十七．扇形面积的计算（共3小题）32．（2023•锡山区校级三模）如图，矩形OABC中，OA＝4，AB＝2，以O为圆心，OA为半径作弧，且∠AOD＝60°，则阴影部分面积为（）A． B． C． D．33．（2023春•大丰区月考）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以1cm为半径画圆，当n＝2023时，则图中阴影部分的面积之和为（）A．2πcm2 B．πcm2 C．2022πcm2 D．2023πcm234．（2023•姑苏区校级开学）如图，正方形的边AB＝2，弧BD和弧AC都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（）A． B． C． D．2π﹣4一十八．圆锥的计算（共5小题）35．（2023春•江阴市期中）将半径为4，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面圆的半径是（）A．1 B． C．2 D．36．（2022秋•盐都区月考）若圆锥的底面直径为6cm，侧面展开图的面积为15πcm2，则圆锥的母线长为（）A． B． C．3cm D．5cm37．（2022秋•沭阳县校级期末）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm38．（2023•靖江市二模）已知甲、乙两个圆锥侧面展开图的面积相等，母线长分别为l甲、l乙，底面半径分别为r甲、r乙，若l甲：l乙＝3：2，则r甲：r乙＝．39．（2023•徐州二模）若圆锥的母线长为5，底面半径为2，则这个圆锥的侧面积为．一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）平面内有一点P到圆上最远的距离是6，最近的距离是2，则圆的半径是（）A．2 B．4 C．2或4 D．82．（4分）如图，在⊙O中，∠BOD＝160°，则度数是（）A．200° B．160° C．120° D．80°3．（4分）如图，已知CD为圆O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若角D＝50°，则角C的度数是（）A．50° B．25° C．30° D．40°4．（4分）直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOD，点P在射线OM上（点P与点O不重合），如果以点P为圆心的圆与直线AB相离，那么圆P与直线CD的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定5．（4分）下列说法正确的是（）A．垂直于弦的直线必经过圆心 B．平分弦的直径垂直于弦 C．平分弧的直径平分弧所对的弦 D．同一平面内，三点确定一个圆6．（4分）如图，已知A，B，C，D是圆上的点，，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BE＝CD C．BE＝AD D．AC＝BD7．（4分）已知⊙O的半径为5cm，若OP＝3cm，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．都有可能8．（4分）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，点A是中点，则下列结论正确的是（）A．AB＝OC B．∠BAC+∠AOC＝180° C．BC＝2AC D．∠BAC+∠AOC＝180°9．（4分）小洋用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（）A．120πcm2 B．240πcm2 C．260πcm2 D．480πcm210．（4分）如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．6二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）（1）图①中有条弧，分别为；（2）写出图②中的一个半圆；劣弧：；优弧：．12．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AC、CD、DE、EF、FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，则∠AOC＝．13．（4分）如图：P是⊙O的直径BA延长线上一点，PD交⊙O于点C，且PC＝OD，如果∠P＝24°，则∠DOB＝．14．（4分）已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为，圆锥侧面展开图形的圆心角是度．15．（4分）△ABC的三边分别是3，4，5，则△ABC的外接圆的半径是．16．（4分）如图⊙O的半径为1，圆周角∠ABC＝30°，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共7小题，满分56分）17．（7分）如图所示，AB、CD是⊙O的两条弦，且AC＝BD，则AB与CD的大小有什么关系？为什么？18．（7分）如图：A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，求∠OAC的度数．19．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点M是△ABC的内心，连接BM并延长交AC于点F交⊙O于点E，连接OE与AC相交于点D．（1）求证：OD＝BC；（2）求证：EM＝EA．20．（8分）《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AE＝1寸，CD＝10寸，那么直径AB的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB的长．21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求证：AC＝AE；（2）求线段DE的长；（3）求△ABC的外接圆的面积．22．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝3，BC＝4，OA＝1，求线段DE的长．23．（9分）如图，AC，BD是⊙O的两条直径．（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（2）若⊙O的直径为8，∠AOB＝120°，求四边形ABCD的周长和面积．

第2章对称图形—圆全章复习与测试1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；

2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；

3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；

4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；

5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．三．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．四．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．五．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．六．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）．八．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．九．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．十．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．十一．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．十二．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．十三．切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．十四．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．十五．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．十六．切线长定理（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．十七．切割线定理（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD．十八．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．十九．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．二十．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．二十一．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2或S扇形=12（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．二十二．圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．（3）圆锥的侧面积：S侧=12•2πr•l＝π（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl（5）圆锥的体积=1注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．二十三．圆柱的计算（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积（4）圆柱的体积＝底面积×高．一．圆的认识（共1小题）1．（2022秋•东台市月考）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（）A．圆的直径是半径的2倍 B．同一个圆所有的直径都相等 C．圆的周长是直径的π倍 D．圆是轴对称图形【分析】井盖一般都做成圆形的是因为圆内最长的线段是圆的直径，而且都相等，所以井盖不会掉到井里面．【解答】解：生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里，这是因为同一个圆里所有的直径都相等．故选：B．【点评】本题考查圆的认识，轴对称图形等知识，明确圆的特征，是解答此题的关键．二．垂径定理（共2小题）2．（2023•鼓楼区校级三模）如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若BC恰好过圆心O，则BC的长是（）A． B．π C．2π D．4π【分析】过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接AC，根据折叠的性质得到ED＝EO，则OE＝OB，则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°，根据圆周角定理得∠ACB＝90°，根据含30度的直角三角形三边的关系得BC＝AC＝3．【解答】解：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接AC，如图，∵半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O，∴ED＝EO，∴OE＝OB，∵OD⊥BC，∴∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AC＝3．故选：A．【点评】本题考查了垂径定理，折叠的性质和圆周角定理，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3．（2023•盐城二模）如图，在半径为5的⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为点D，且AB＝8，则CD的长等于2．【分析】连接OA，由垂径定理得到AD＝4，由勾股定理求出OD＝3，由此CD＝OC﹣OD＝2．【解答】解：连接OA，∵半径OC与弦AB垂直，∴AD＝AB＝×8＝4，∵OA＝5，∴OD＝＝3，∴CD＝OC﹣OD＝2．故答案为：2．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是连接OA构造直角三角形，应用勾股定理，垂径定理来求解．三．垂径定理的应用（共2小题）4．（2023•亭湖区校级二模）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为（）cm．A．4 B．6 C．8 D．8.4【分析】由垂径定理得AC＝BC＝AB，再由勾股定理得AC＝4cm，即可得出结论．【解答】解：由题意得：OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，∠OCA＝90°，∵OA＝OD＝5cm，CD＝2cm，∴OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3（cm），在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC＝＝＝4（cm），∴AB＝2AC＝8（cm）．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．5．（2023•宝应县二模）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形．如图，已知矩形的宽为m，高为3m，则改建后门洞的圆弧长是m．（结果请保留π）【分析】如图：连接AC，BD相交于O，由题意可得：；由勾股定理可得，进而得到，同理可得：，易证△DOC是等边三角形，则⊙O的半径为、∠DOC＝60°，进而得到改建后门洞的圆弧所对的圆心角为300°，最后根据弧长公式即可解答．【解答】解：如图：连接AC，BD相交于O，由题意可得：，∴，∴，同理：，∴，∴△DOC是等边三角形，⊙O的半径为∴∠DOC＝60°，∴改建后门洞的圆弧所对的圆心角为300°，∴改建后门洞的圆弧长是．故答案为：．【点评】本题主要考查了弧长公式、矩形的性质、勾股定理等知识点，求得弧所对的圆心角和圆的半径是解答本题的关键．四．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）6．（2022秋•南京期中）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB＝，BC＝1，则⊙O的半径为（）A． B． C． D．【分析】过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．证明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EC，AC，可得结论．【解答】解：过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．∵∠AOC＝90°，∴∠ABC＝（360°﹣90°）＝135°，∴∠ABE＝45°，∵∠E＝90°，AB＝，∴AE＝EB＝1，∵BC＝1，∴EC＝2，∴AC＝＝＝，∴OA＝OC＝AC＝．故选：C．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．五．圆周角定理（共2小题）7．（2023•苏州一模）如图，已知矩形ABCD的一边AB长为12，点P为边AD上一动点，连接BP、CP，且满足∠BPC＝30°，则BC的值可能是（）A．6 B．6.8 C． D．【分析】考虑∠BPC的两个临界点，①如图1，当点P与点A重合时，∠BPC最小，此时BC的值最大；②如图2，当点P是AD的中点时，∠BPC最大，此时BC最小；分别计算BC的值，确定BC的最大值和最小值，可得结论．【解答】解：①如图1，当点P与点A重合时，∠BPC最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵AB＝12，∠BPC＝30°，∴BC＝＝＝4≈6.928，此时BC是满足题意的最大值；②如图2，当点P是AD的中点时，∠BPC最大，此时BC最小，过点B作BE⊥CP于E，设BE＝a，AP＝x，则BC＝AD＝2x，∵∠BPC＝30°，∴BP＝2BE＝2a，PE＝a，∴，解得：x＝24+12（舍）或24﹣12，∴BC＝2x＝48﹣24，综上，48﹣24≤BC≤4，即6.432≤BC≤6.928．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，矩形的性质，三角形的面积等知识，正确画图，确定点P的两个临界点是解本题的关键．8．（2023•建邺区校级二模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，若AB＝4，则的长是π．​【分析】作点O关于AC的对称点M，连接OM交AC于点N，连接OC，利用轴对称性质及直角三角形性质易得∠OAN＝30°，再由圆周角定理可求得∠BOC的度数，然后利用扇形弧长公式计算即可．【解答】解：如图，作点O关于AC的对称点M，连接OM交AC于点N，连接OC，由轴对称性质可得，ON＝MN＝OM，OM⊥AC，点M在未折叠时以AB为直径的半圆上，则OM＝OA＝OB＝AB＝×4＝2，ON＝OA，∠ANO＝90°，∴∠OAN＝30°，∴∠BOC＝2∠OAN＝60°，那么的长为：＝π，故答案为：π．【点评】本题主要考查扇形的弧长，圆周角定理及轴对称性质，结合已知条件求得∠OAN＝30°是解题的关键．六．圆内接四边形的性质（共1小题）9．（2023•梁溪区模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（）A．16° B．24° C．12° D．14°【分析】由圆周角定理推出∠DAF＝∠BAF＝32°，∠ABF＝90，得到∠BAD＝64°，由三角形内角和定理求出∠ABC的度数，即可求出∠CBF的．【解答】解：∵AF为圆的直径，∴∠ABF＝90°，＝，∵＝，∴＝，∴∠DAF＝∠BAF＝32°，∴∠BAD＝64°，∵∠E＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°，∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°．故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，关键是由圆周角定理求出∠BAD的度数．七．点与圆的位置关系（共1小题）10．（2023春•无锡月考）已知⊙O的半径为3，OA＝5，则点A在（）A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：∵OA＝5＞3，∴点A在⊙O外，故选：C．【点评】考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．八．确定圆的条件（共1小题）11．（2023•泗洪县二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是（2，1）．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为：（2，1）．【点评】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．九．三角形的外接圆与外心（共2小题）12．（2023•苏州二模）下列说法错误的是（）A．三角形的三个顶点一定在同一个圆上 B．平行四边形的四个顶点一定在同一个圆上 C．矩形的四个顶点一定在同一个圆上 D．正n边形的各个顶点一定在同一个圆上【分析】根据三点共圆可知三角形的三个顶点一定在同一个圆上；根据矩形和正n边形的对角线互相平分可知矩形的四个顶点和正n边形的各个顶点一定在同一个圆上，根据平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，可知平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，即可得出答案．【解答】解：A．根据三点共圆可知三角形的三个顶点一定在同一个圆上，故A选项不符合题意；B．平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，可知平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，平行四边形的四个顶点到对角线交点的距离不一定相等，知平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，故B选项符合题意；C．矩形的对角线互相平分，所以矩形的四个顶点到对角线交点的距离相等，可知矩形的四个顶点一定在同一个圆上，故C选项不符合题意；D．正n边形的对角线互相平分，所以正n边形的各个顶点到对角线交点的距离相等，可知正n边形的各个顶点一定在同一个圆上，故D选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查三角形的外接圆，圆的认识，三角形、平行四边形、矩形及正多边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．13．（2023•滨海县模拟）如图，等边△ABC内接于⊙O，AB＝4，则图中阴影部分的面积等于．​【分析】连接OC，过点O作OD⊥AB于D，根据垂径定理求出AD，根据等边三角形的性质可得S△AOB＝S△AOC，∠AOC＝120°，将阴影部分的面积转化为扇形AOC的面积，利用扇形面积的公式计算即可．【解答】解：如图，连接OC，过点O作OD⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝2，∵△ABC为等边三角形，∴S△AOB＝S△AOC，∠AOB＝∠AOC＝120°，∴∠AOD＝60°，∴OA＝，∴S阴影＝S扇形AOC＝，故答案为：．【点评】本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．一十．直线与圆的位置关系（共1小题）14．（2022秋•徐州期末）卡塔尔世界杯小组赛，一粒制胜球（如图）射门前是否出底线成为球迷讨论的热点，裁判依据VAR图判定该球并未出界，VAR图中的圆与直线a的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定【分析】通过观察发现，足球所在的圆与直线a只有一个公共点，可知VAR图中的圆与直线a相切，于是得到问题的答案．【解答】解：∵足球所在的圆与直线a只有一个公共点，∴VAR图中的圆与直线a相切，故选：A．【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系，通过观察，得到直线与圆的公共点的个数是解题的关键．一十一．切线的性质（共3小题）15．（2023•阜宁县二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F．（1）求证：OF＝EC；（2）若∠A＝30°，BD＝2，求线段AD、AE与弧DE围成的阴影部分面积．【分析】（1）连接OE，由切线的性质可证明OE⊥AC，根据有三个角是直角的四边形OECF是矩形，可得结论；（2）根据含30°角的直角三角形的性质可得EO的长，由扇形的面积公式可得答案．【解答】（1）证明：连接OE，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，又∵∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，∴四边形OECF是矩形，∴OF＝CE．（2）解：∵∠A＝30°，BD＝2，∴∠EOD＝60°，OE＝OD＝1，，∴S阴影＝S△AOE﹣S扇形DOE＝＝．【点评】本题主要考查切线的性质，矩形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．16．（2023春•灌云县月考）如图，⊙O的直径AE的延长线与过点B的切线BD相交于点D，点C为⊙O上一点，且∠BCE＝25°，则∠D的度数是（）A．60° B．50° C．40° D．30°【分析】连接OB，根据圆周角定理可求得∠BOD＝50°，再根据BD是⊙O的切线，可得∠OBD＝90°，据此即可求得∠D的度数．【解答】解：如图：连接OB，∵∠BCE＝25°，∴∠BOD＝2∠BCE＝50°，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BOD＝90°﹣50°＝40°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握和运用圆周角定理和切线的性质是解决本题的关键．17．（2023•海门市二模）如图，⊙O的直径AB＝12，C为⊙O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，∠DAC＝30°．​（1）求∠BAC的度数及CD的长；（2）求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，BC，根据切线的性质可得OC⊥CD，进一步可知AD∥OC，根据∠DAC＝30°，可得∠BAC＝∠OCA＝30°，根据cos∠BAC＝＝，可得AC的长，再根据含30°角的直角三角形的性质可得CD的长；（2）先证明△AOE是等边三角形，根据cos∠DAC＝＝，可得AD的长，进一步可得DE的长，再证明∠EOC＝∠AOE，根据阴影部分的面积＝S△CDE＝求解即可．【解答】解：（1）连接OC，BC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠OCA＝∠DAC＝30°，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA＝30°，∵AB是直径，AB＝12，∴∠ACB＝90°，∵cos∠BAC＝＝，∴AC＝，∵∠ADC＝90°，∠DAC＝30°，∴CD＝AC＝；（2）连接EC，OE，∵OE＝OA，∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝30°+30°＝60°，∴△AOE是等边三角形，∴AE＝OA＝6，∠AOE＝60°，∵cos∠DAC＝＝，∴AD＝9，∴DE＝AD﹣AE＝9﹣6＝3，∵∠AOE＝60°，∠DAC＝30°，∴∠EOC＝∠AOE＝60°，∴阴影部分的面积＝S△CDE＝＝＝．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，阴影部分的面积，涉及解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，本题综合性较强，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．一十二．切线的判定（共1小题）18．（2017秋•射阳县校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为2或10秒．【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为2或10【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．一十三．切线的判定与性质（共5小题）19．（2023春•新吴区期中）如图，在△ADC中，AC＝CD，∠D＝30°，点B是AD上一点，∠ACB的角平分线CE交以AB为直径的⊙O于点E，过点B作BF⊥EC，垂足为F，⊙O恰好过点C．（1）求证：CD是⊙O切线；（2）若，求CF的长．【分析】（1）如图所示，连接OC，先根据等边对等角得到∠A＝30°，由圆周角定理得到∠BOC＝60°，再利用三角形内角和定理求出∠OCD＝90°即可证明结论；（2）由AB是直径，得到∠ACB＝90°，再由含30度角的直角三角形的性质得到BC＝6，由角平分线的定义得到∠BCE＝45°，即可证明△BCF是等腰直角三角形，则．【解答】（1）证明：如图所示，连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，∴∠OCD＝180°﹣∠COD﹣∠D＝90°，又∵OC为半径，∴CD是⊙O切线；（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，，∴，∵CE平分∠ACB，∴，∵BF⊥CE，即∠BFC＝90°，∴∠CBF＝45°＝∠BCF，∴．【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．20．（2023•滨海县模拟）如图，在半径为5的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF＝ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若BE：：3，求：①BD的长；②由弦BD与弧BD围成的阴影部分面积．【分析】（1）连接OD，根据同圆的半径相等得到∠OCD＝∠ODC，根据OC⊥AB得到∠OCD+∠CFO＝90°，根据EF＝ED得到∠EFD＝∠EDF，结合对顶角相等退出∠ODE＝90°，即可得证；（2）①先根据勾股定理求出BE的长，再利用锐角三角函数的特殊值得到∠DOE＝60°，从而得出△ODB是等边三角形，即可求出BD的长；②根据扇形面积公式求出扇形ODB的面积，再根据等边三角形的面积公式求出等边△ODB的面积，即可求出阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵OC⊥AB，∴∠OCB＝90°，∴∠OCD+∠CFO＝90°，∴∠ODC+∠CFO＝90°，∵EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF，又∠CFO＝∠EFD，∴∠EDF＝∠CFO，∴∠ODC+∠EDF＝90°，即∠ODE＝90°，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：①∵BE：：3，设，∴DE＝3x，由（1）可知∠ODE＝90°，OB＝OD＝5，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2＝OD2+DE2，∴，解得：，∴BE＝5，∴，∴∠DOE＝60°，又OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴BD＝OD＝OB＝5；②∵，，∴．【点评】本题主要考查了切线的判定定理，扇形的面积公式，勾股定理的应用，等边三角形的面积计算公式等知识，熟练掌握：经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线．21．（2023•秦淮区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l与△ABC的外接圆相切于点B，D是l上一点，DC＝DB．（1）求证：DC与△ABC的外接圆相切；（2）若DC＝AB＝4，则BC的长是．【分析】（1）设AB中点为O，连接OC，如图，利用圆周角定理得到AB是△ABC的外接圆的直径，再根据切线的性质得到∠ABD＝90°，然后证明∠OCD＝90°，即OC⊥DC，从而根据切线的判定定理得到结论；（2）连接OD交BC于E点，如图，先利用勾股定理计算出OD＝2，再证明OD垂直平分BC，则根据垂径定理得到BE＝CE，然后利用面积法求出BE，从而得到BC的长．【解答】（1）证明：设AB中点为O，连接OC，如图，∵∠ACB＝90°，∴AB是△ABC的外接圆的直径，即点O为△ABC的外接圆的圆心．∵直线l与⊙O相切于点B，∴AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，∵DC＝DB，∴∠DBC＝∠DCB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．∴∠OCD＝∠OCB+∠DCB＝∠OBC+∠DBC＝∠OBD＝90°，即OC⊥DC，又∵点C在⊙O上，∴DC与⊙O相切，即DC与△ABC的外接圆相切；（2）解：连接OD交BC于E点，如图，∵DC＝AB＝4，∴OB＝2，BD＝4，∴OD＝＝2，∵OB＝OC，DB＝DC，∴OD垂直平分BC，∴BE＝CE，∵BE•OD＝OB•BD，∴BE＝＝，∴BC＝2BE＝．故答案为：．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．22．（2023•宝应县二模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点D，连接CD，已知∠BOC＝∠ACD，OD＝CD．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若AO＝20，求线段AD、AC、弧CD围成的阴影部分的面积．【分析】（1）由OD＝CD，得∠DOC＝∠DCO，进而结合∠AOB＝90°，∠BOC＝∠ACD，推证∠ACO＝90°，所以AB是⊙O的切线；（2）易证△COD是等边三角形，所以∠AOC＝60°；解直角三形，得OC＝10，，由直角三角形与扇形面积差求阴影部分面积．【解答】（1）证明：∵OD＝CD，∴∠DOC＝∠DCO，∵∠AOB＝90°，∴∠DOC+∠BOC＝90°，∵∠BOC＝∠ACD，∴∠DCO+∠ACD＝90°，即∠ACO＝90°，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵OD＝OC，OD＝CD，∴OD＝OC＝CD，∴△COD是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴，即，∴OC＝10，∴，∴，∴，∴图中阴影部分面积＝．【点评】本题考查切线的判定定理、等边三角形的判定和性质、解直角三角形、扇形面积计算等；运用等边三角形知识，求得特殊角，利用解直角三角形知识求得相关线段是解题关键．23．（2023春•江阴市期中）如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，点D是的中点，过点D的直线垂直直线AC于点E，与AB的延长线交于点G，弦AF⊥AE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝5，AF＝6，求AG的长．【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及平行线的性质，可得AE∥OD，进而得到OD⊥EG，再根据切线的判定方法进行判断即可；（2）由垂径定理可得DE＝AH＝3，由勾股定理可求出AE，再根据相似三角形的性质可求出AB，进而得出半径，由相似三角形可求出BG，进而求出AG．【解答】（1）证明：如图，连接DO并延长交AF于点H，连接DB，∵点D是的中点，∴＝，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AE，又∵AE⊥EG，∴OD⊥EG，∵OD是⊙O的半径，∴EG是⊙O的切线；（2）解：∵AE⊥AF，OD⊥EG，AE⊥EG，∴四边形AEDH是矩形，∴DH⊥AF，∴DE＝AH＝HF＝AF＝3，在Rt△ADE中，DE＝3，AD＝5，∴AE＝＝4，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°＝∠AED，∵∠EAD＝∠DAB，∴△EAD∽△DAB，∴＝，即＝，∴AB＝，∴OD＝OA＝OB＝AB＝，∵OD∥AE，∴△GOD∽△GAE，∴＝，即，解得GB＝，∴AG＝AB+BG＝+＝．【点评】本题考查切线的判定和性质，相似三角形的性质以及垂径定理勾股定理，掌握切线的判定方法，勾股定理、垂径定理以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．一十四．三角形的内切圆与内心（共1小题）24．（2023•姑苏区校级开学）如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，BI⊥OI，AC＝14，BC＝13，△ABC内切圆半径为（）A．4 B． C． D．【分析】延长BI交⊙O于点D，连接OB，OD，AI，OD交AC于点E，利用圆周角定理，以及内心是三角形三条角平分线的交点，证明△ADI是等腰三角形，过点I作IG⊥BC，IM⊥AC，IN⊥AB，证明△AED≌△BGI（AAS），得到，利用切线长定理，求出AB的长，过点C作CH⊥AB，连接IC，设AH＝x，利用勾股定理，求出△ABC的高，进而求出△ABC的面积，再利用△ABC的面积等于△ABC的周长与内切圆半径乘积的一半，求出内切圆的半径即可．【解答】解：延长BI交⊙O于点D，连接OB，OD，AI，OD交AC于点E，则：∠DAC＝∠DBC，∵I是△ABC内心，∴∠ABD＝∠DBC，∠CAI＝∠BAI，∴∠DAC＝∠DBA，∴∠DAC+∠CAI＝∠DBA+∠BAI，即：∠DAI＝∠AID，∴AD＝DI，∵OD＝OB，OI⊥BD，∴DI＝BI，∴AD＝BI，∵∠ABD＝∠DBC，∴，∴OD⊥AC，，过点I作IG⊥BC，IM⊥AC，IN⊥AB，则：∠BGI＝∠AED＝90°，∵AD＝BI，∠DAC＝∠DBC，∴△AED≌△BGI（AAS），∴，∴CG＝BC﹣BG＝13﹣7＝6，∵I是△ABC内心，∴CM＝CG＝6，BN＝BG＝7，AN＝AM＝AC﹣CM＝14﹣6＝8，∴AB＝AN+BN＝7+8＝15，如图2：过点C作CH⊥AB，连接IC，设AH＝x，则：BH＝15﹣x，∴CH2＝AC2﹣AH2＝AB2﹣BH2，即：142﹣x2＝132﹣（15﹣x）2，解得：，∴，∴，设⊙I的半径为r，则：IG＝IM＝IN＝r∴，即：，解得：r＝4；故选：A．【点评】本题考查三角形的内切圆和内心，熟练掌握内心是三角形角平分线的交点，合理的添加辅助线是解题的关键．一十五．正多边形和圆（共3小题）25．（2022秋•无锡期末）若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（