高中数学人教A版选择性必修第二册构造法在导数中的应用含答案

构造法在导数中的应用导数关系构造函数的一些常见结构1.对于不等式f′(x)＋g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x).2.对于不等式f′(x)－g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x).特别地，对于不等式f′(x)>k，构造函数F(x)＝f(x)－kx.3.对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)·g(x).4.对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝eq\f(f（x）,g（x）).5.对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0，构造函数F(x)＝xn·f(x).6.对于不等式f′(x)＋f(x)>0，构造函数F(x)＝ex·f(x).7.对于不等式f′(x)＋kf(x)>0，构造函数F(x)＝ekx·f(x).一、利用f(x)与ex构造可导型函数例1f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)＞f(x)，对任意正实数a，下列式子一定成立的是()A.f(a)＜eaf(0) B.f(a)＞eaf(0)C.f(a)＜eq\f(f（0）,ea) D.f(a)＞eq\f(f（0）,ea)解：令g(x)＝eq\f(f（x）,ex)，则g′(x)＝eq\f(f′（x）ex－f（x）ex,（ex）2)＝eq\f(f′（x）－f（x）,ex)＞0.∴g(x)在R上为增函数，又a＞0，∴g(a)＞g(0)，即eq\f(f（a）,ea)＞eq\f(f（0）,e0).故f(a)＞eaf(0).总结(1)出现f′(x)－f(x)的形式，构造函数F(x)＝eq\f(f（x）,ex)；(2)出现f′(x)＋f(x)的形式，构造函数F(x)＝f(x)ex.二、利用f(x)与xn构造可导型函数例2已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________.解：构造F(x)＝eq\f(f（x）,x2)，则F′(x)＝eq\f(f′（x）·x－2f（x）,x3)，当x＞0时，xf′(x)－2f(x)＜0，可以推出当x＞0时，F′(x)＜0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减.∵f(x)为偶函数，x2为偶函数，∴F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增.根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1).总结(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝eq\f(f（x）,xn).三、利用f(x)与sinx，cosx构造可导型函数例3(多选)已知定义在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cosxf′(x)＋sinxf(x)＜0成立，则()A.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＞eq\r(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))B.eq\r(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))C.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＞eq\r(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))D.eq\r(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＞eq\r(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))解：根据题意，令g(x)＝eq\f(f（x）,cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则其导数g′(x)＝eq\f(f′（x）cosx＋sinxf（x）,cos2x)，又由x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且恒有cosxf′(x)＋sinxf(x)＜0，则有g′(x)＜0，即函数g(x)为减函数.由eq\f(π,6)＜eq\f(π,3)，则有geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＞geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，即eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))),cos\f(π,6))＞eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))),cos\f(π,3))，分析可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＞eq\r(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))；又由eq\f(π,6)＜eq\f(π,4)，则有geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＞geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))，即eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))),cos\f(π,6))＞eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))),cos\f(π,4))，分析可得eq\r(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＞eq\r(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))).总结f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；F(x)＝eq\f(f（x）,sinx)，F′(x)＝eq\f(f′（x）sinx－f（x）cosx,sin2x)；F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；F(x)＝eq\f(f（x）,cosx)，F′(x)＝eq\f(f′（x）cosx＋f（x）sinx,cos2x).四、构造具体函数例4若lnx－lny＜eq\f(1,lnx)－eq\f(1,lny)(x＞1，y＞1)，则()A.ey－x＞1 B.ey－x＜1C.ey－x－1＞1 D.ey－x－1＜1解：依题意，lnx－eq\f(1,lnx)＜lny－eq\f(1,lny)，令f(t)＝t－eq\f(1,t)(t≠0).则f′(t)＝1＋eq\f(1,t2)＞0，所以f(t)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增；又x＞1，y＞1，得lnx＞0，lny＞0，又lnx－eq\f(1,lnx)＜lny－eq\f(1,lny).则f(lnx)＜f(lny).又f(t)在(0，＋∞)上单调递增.则lnx＜lny，∴1＜x＜y，即y－x＞0，所以ey－x＞e0＝1，A正确，B不正确；又y－x－1无法确定与0的关系，故C、D不正确.总结不等式两边凑配成相同的形式，构造具体的函数利用单调性求解.跟踪训练1、若函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x).若f′(x)－3＜0恒成立，f(－2)＝0，则f(x)－3x＜6的解集为(D)A.(－∞，－2) B.(－2，2)C.(－∞，2) D.(－2，＋∞)解：令g(x)＝f(x)－3x－6，则g′(x)＝f′(x)－3＜0，所以函数g(x)在R上单调递减，g(－2)＝f(－2)－3×(－2)－6＝0，由g(x)＜0⇔g(x)＜g(－2)，则x＞－2.2、已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则()A．c<b<a B．b<c<aC．a<c<b D．a<b<c解：由题意得0<a<5，0<b<4，0<c<3.令f(x)＝eq\f(ex,x)(x>0)，则f′(x)＝eq\f(ex（x－1）,x2)，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，因为ae5＝5ea，所以eq\f(e5,5)＝eq\f(ea,a)，即f(5)＝f(a)，而0<a<5，故0<a<1.同理0<b<1，0<c<1，f(4)＝f(b)，f(3)＝f(c)．因为f(5)>f(4)>f(3)，所以f(a)>f(b)>f(c)，所以0<a<b<c<1.3、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则(A)A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3)C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2)解：根据题意，令g(x)＝x2f(x)，其导数g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，由题意可知，当x>0时，有g′(x)＝x(2f(x)＋xf′(x))>0恒成立，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，则有g(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝g(x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(－2)＝g(2)，且g(2)<g(3)，则有g(－2)<g(3)，即有4f(－2)<9f(3)．故选A．4、函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)＋eq\f(2,x)f(x)＞0，则不等式eq\f(（x＋2023）f（x＋2023）,3)＜eq\f(3f（3）,x＋2023)的解集为()A．{x|x＞－2020}B．{x|x＜－2020}C．{x|－2023＜x＜0}D．{x|－2023＜x＜－2020}解：根据题意，设g(x)＝x2f(x)(x＞0)，则导函数g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)．函数f(x)在区间(0，＋∞)上，满足f′(x)＋eq\f(2,x)f(x)＞0，则有x2f′(x)＋2xf(x)＞0，所以g′(x)＞0，即函数g(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．eq\f(（x＋2023）f（x＋2023）,3)＜eq\f(3f（3）,x＋2023)⇒(x＋2023)2·f(x＋2023)＜32f(3)⇒g(x＋2023)＜g(3)，则有0＜x＋2023＜3，解得－2023＜x＜－2020，即此不等式的解集为{x|－2023＜x＜－2020}．5、已知f(x)为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有(D)A．e2023f(－2023)<f(0)，f(2023)>e2023f(0)B．e2023f(－2023)<f(0)，f(2023)＜e2023f(0)C．e2023f(－2023)＞f(0)，f(2023)>e2023f(0)D．e2023f(－2023)＞f(0)，f(2023)＜e2023f(0)解：构造函数h(x)＝eq\f(f（x）,ex)，则h′(x)＝eq\f(f′（x）－f（x）,ex)<0，即h(x)在R上单调递减，故h(－2023)>h(0)，即eq\f(f（－2023）,e－2023)>eq\f(f（0）,e0)⇔e2023f(－2023)>f(0)；同理，h(2023)<h(0)，即f(2023)<e2023f(0)，故选D．6、函数f(x)的导函数f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，若f(ln2)＝2，则满足不等式f(x)>ex的x的范围是(C)A．x>1 B．0<x<1C．x>ln2 D．0<x<ln2由题意，对任意x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，即f′(x)－f(x)>0，令g(x)＝eq\f(fx,ex)，则g′(x)＝eq\f(f′xex－fxex,e2x)＝eq\f(f′x－fx,ex)>0，所以函数g(x)为单调递增函数，又因为不等式f(x)>ex，即g(x)>1，因为f(ln2)＝2，所以g(ln2)＝1，所以不等式的解集为x>ln2，故选C．7、f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)>f(x)，对任意正实数a，下列式子成立的是(B)A．f(a)<eaf(0) B．f(a)>eaf(0)C．f(a)<eq\f(f0,ea) D．f(a)>eq\f(f0,ea)令g(x)＝eq\f(fx,ex)，∴g′(x)＝eq\f(f′xex－fxex,ex2)＝eq\f(f′x－fx,ex)>0.∴g(x)在R上为增函数．又∵a>0，∴g(a)>g(0)，即eq\f(fa,ea)>eq\f(f0,e0)，即f(a)>eaf(0)．故选B．8、已知y＝f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且有f′(x)＋eq\f(fx,x)>0，则对于任意的a，b∈(0，＋∞)，当a>b时，有(B)A．af(a)<bf(b) B．af(a)>bf(b)C．af(b)>bf(a) D．af(b)<bf(a)解：f′(x)＋eq\f(fx,x)>0⇒eq\f(xf′x＋fx,x)>0⇒eq\f([xfx]′,x)>0，即[xf(x)]′x>0.∵x>0，∴[xf(x)]′>0，即函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数，由a，b∈(0，＋∞)且a>b，得af(a)>bf(b)，故选B．9、已知正数α，β满足eα＋eq\f(1,2β＋sinβ)>eβ＋eq\f(1,2α＋sinα)，则(C)A．2α－β＋1<2 B．lnα＋α<lnβ＋βC．eq\f(1,α)＋eq\f(1,β)>eq\f(4,α＋β) D．eq\f(1,eα)＋eq\f(1,α)>eq\f(1,eβ)＋eq\f(1,β)解：由题意，得eα－eq\f(1,2α＋sinα)>eβ－eq\f(1,2β＋sinβ)，构造函数f(x)＝ex－eq\f(1,2x＋sinx)，x>0，令g(x)＝2x＋sinx，则g′(x)＝2＋cosx>0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知－eq\f(1,2x＋sinx)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝ex－eq\f(1,2x＋sinx)在(0，＋∞)上单调递增，由f(α)>f(β)，可得α>β>0，对于A，由α>β，可得α－β＋1>1，所以2α－β＋1>2，故A错误；对于B，由α>β>0，可得lnα>lnβ，则lnα＋α>lnβ＋β，故B错误；对于C，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,α)＋\f(1,β)))(α＋β)＝2＋eq\f(α,β)＋eq\f(β,α)>2＋2eq\r(\f(α,β)·\f(β,α))＝4，所以eq\f(1,α)＋eq\f(1,β)>eq\f(4,α＋β)，故C正确；对于D，由α>β>0，可得eα>eβ>0，eq\f(1,α)<eq\f(1,β)，所以eq\f(1,eα)<eq\f(1,eβ)，所以eq\f(1,eα)＋eq\f(1,α)<eq\f(1,eβ)＋eq\f(1,β)，故D错误．10、已知a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(1,e)，c＝eq\f(ln3,3)，则a、b、c的大小关系为(C)A.b＜c＜a B.c＜a＜bC.a＜c＜b D.c＜b＜a解：设f(x)＝eq\f(lnx,x)，则f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，当0＜x＜e时，f′(x)＞0；当x＞e时，f′(x)＜0，则f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，则当x＝e时，f(x)max＝eq\f(lne,e)＝eq\f(1,e)，即b＞a，b＞c；a－c＝eq\f(ln2,2)－eq\f(ln3,3)＝eq\f(3ln2－2ln3,6)＝eq\f(ln8－ln9,6)＜0，则c＞a，所以b＞c＞a.11、已知a，b∈(0，3)，且4lna＝aln4，4lnb＝bln2，c＝log0.30.06，则(C)A.c＜b＜a B.a＜c＜bC.b＜a＜c D.b＜c＜a解：由已知得eq\f(lna,a)＝eq\f(ln4,4)＝eq\f(ln2,2)，eq\f(lnb,b)＝eq\f(ln2,4)＝eq\f(ln16,16)，可以构造函数f(x)＝eq\f(lnx,x)，则f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，又f(a)＝f(2)＝f(4)＞f(b)＝f(16)，结合a，b∈(0，3)，所以b＜a＝2，又c＝log0.30.06＝log0.3(0.2×0.3)＝log0.30.2＋1＞1＋log0.30.3＝2，所以b＜a＜c.12、若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为_(2，＋∞)__.解：令g(x)＝f(x)－x，∴g′(x)＝f′(x)－1.由题意知g′(x)>0，∴g(x)为增函数．∵g(2)＝f(2)－2＝0，∴g(x)>0的解集为(2，＋∞)．13、已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x＜0时，xf′(x)－f(x)＜0.若a＝eq\f(f（e）,e)，b＝eq\f(f（ln2）,ln2)，c＝eq\f(f（3）,3)，则a，b，c的大小关系是____c＜a＜b____.解设g(x)＝eq\f(f（x）,x)，则g′(x)＝eq\f(xf′（x）－f（x）,x2)，又当x＜0时，xf′(x)－f(x)＜0，所以g′(x)＜0，即函数g(x)在区间(－∞，0)内单调递减.因