人教一元二次方程的根与系数的关系暑假自学原卷版

添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群第05讲一元二次方程的根与系数的关系内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1利用一元二次方程根与系数的关系求值题型2通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值题型3利用一元二次方程根与系数的关系求参数题型4利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假题型5与一元二次方程根与系数有关的解答证明题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航韦达定理、两根之和、两根之积、对称式、判别式前提。1.理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能叙述两根之和、两根之积与系数的关系。2.能利用求根公式推导韦达定理，体会从特殊到一般的数学思想。3.能运用根与系数的关系求关于两根的对称式的值（如x12+x22、1x1+4.能根据已知一根和系数关系，求另一根及字母系数的值。学习重点：根与系数的关系：x1+x2=-ba，x1x2=ca（a≠0，∆≥学习难点：运用韦达定理解决含参数的方程问题，以及构造一元二次方程；注意使用前提（判别式非负）。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【易错提醒】前提是方程有实数根（Δ≥0）且a≠0。，，注意分母a与符号。即时即练1．方程的两个根为，，若，则．2．一元二次方程的两个根分别为、，则．知识点02一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程的两根为、，则①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数．②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．要点：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．【易错提醒】先验∆≥0。求x12+x22用(x1+x2)2-2x1x2；求|x1-x2|用即时即练1．已知关于的方程（为常数）．(1)求证：不论取何值时，该方程总有实数根；(2)若该方程的两个实数根、满足，求的值．2．已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根，(1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根．(2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？题型1利用一元二次方程根与系数的关系求值【例1】已知是一元二次方程的两根，且．【例2】若一元二次方程的两根分别是，则的值为；【技巧归纳】1.列韦达定理：，。2.变形目标式：如，。3.整体代入：代入已知值求解，注意检验判别式。【变式1-1】若是方程的两个根，则．【变式3】若关于的方程的两根分别是，，则的值为．题型2通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值【例3】设、是方程的两个实数根，则．【例4】已知，是关于的一元二次方程的两个根，则．【技巧归纳】1.非对称式对称化：将x12+2x2用韦达定理转化，如利用x12=-bx1-c降次，再整体代入。2.构造对称式：通过加减乘除凑出x1+x2和x1x2，整体代入求值。【变式1-1】若是关于的方程的两实数根，则的值为．【变式3】已知一元二次方程的两个根为，则的值为．题型3利用一元二次方程根与系数的关系求参数【例5】设、是方程的两个根，且，则．【例6】已知是关于的一元二次方程的两个实数根．若，则的值为．【技巧归纳】1.列韦达定理：，，代入已知条件（如x1=2x2）。2.联立解方程：用参数表示和与积，解方程组求参数。3.验判别式：确保Δ≥0，排除增根。【变式1-1】已知关于x的一元二次方程有实数根．(1)求实数k的取值范围；(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．【变式3】已知关于x的一元二次方程有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若两实数根分别为和，且，求m的值．题型4利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假【例7】对于一元二次方程下列说法：①若方程的两个根是和，则；②若是方程的一个根，则一定有成立；③若，则它有一个根是；④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例8】对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（

）①若，则；②若关于x的方程没有实数根，则；③代数式有最小值；④若关于x的方程的解为p和q，则的值为．A．1 B．2 C．3 D．4【技巧归纳】1.转化条件：将命题条件（如两根异号）转化为x1x2<0，再代入韦达定理。2.列不等式组：结合∆>0及韦达定理符号要求（如和为正、积为负）。3.验证反例：特殊值法快速判断假命题。【变式1-1】对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（

）A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④【变式3】在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法：①若，则；②若方程的两根之积为，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若是方程的一个根，则一定有成立．这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个题型5与一元二次方程根与系数有关的解答证明题【例9】已知：关于x的方程．(1)求证：方程必有两个不相等的实数根；(2)若是该方程的根，且，求p的值．【例10】已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根满足，求的值．【技巧归纳】1.设而不求：用韦达定理表示x1+x2、x1x2。2.变形目标：将求证式转化为含和与积的形式。3.代入消元：用参数表示后化简，推导出定值或恒等式，注意∆≥0。【变式1-1】已知关于的一元二次方程为．(1)求证：无论为何值，此方程一定有实数根；(2)若，是该方程的两个不同的根，且满足，求的值．【变式3】已知关于的一元二次方程（为常数）．(1)当时，该方程根的判别式_____；(2)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；(3)若该方程有两个实数根，且，求的值．一、单选题1．一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．2．已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（

）A． B． C． D．3．关于的方程的两个根满足，则的值为（

）A．5 B． C． D．14．已知实数、分别满足，，则的值为（

）A． B．2 C．或2 D．6或25．关于的一元二次方程（，，为常数，且，），下列说法：①若方程有两个不相等的实数根，则方程也有两个不相等的实数根；②若方程的一个根为，则必为方程的一个根；③若方程的两根之积为1，则．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题6．一元二次方程的两根为，，则______．7．已知菱形的两条对角线的长分别是方程的两个根，则该菱形的面积为_____．8．已知是方程的两个实数根，则的值为__________．9．已知a，b是方程的两个根，则的值________10．定义：我们把关于的一元二次方程与称作一对“友好方程”．如的“友好方程”是．那么一元二次方程的“友好方程”的两根之和为__________．三、解答题11．已知，是关于x的方程的两个根，求下列各式的值．(1)；(2)．12．若是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值．(1)；(2)．13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根和．(1)求实数的取值范围；(2)当和是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为，求的值．14．已知关于的方程．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程的两个实数根为，，求代数式的值．15．已知关于的一元二次方程有两个实数根．(1)求实数的取值范围；(2)若，是该方程的两个根