2026版《金版教程》高考一轮复习数学第六章 考点测试35　圆及其方程

高考总复习首选用卷数学考点测试35圆及其方程基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910111213难度★★★★★★★★★★★★★★对点圆的弦长问题圆的一般方程圆与圆的位置关系圆的切线问题直线与圆的位置关系与圆有关的轨迹问题圆的公切线直线与圆位置关系中的最值问题圆与圆的位置关系直线与圆位置关系中的最值问题直线与圆、圆与圆的位置关系点与圆的位置关系圆的弦长问题题号14151617181920212223难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★对点圆的标准方程；直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆位置关系中的最值问题直线与圆、圆与圆的位置关系与圆有关的最值问题直线与圆的位置关系直线与圆位置关系中的最值问题直线与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系圆的弦长问题高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，中等难度考点研读1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系3.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题4．初步了解用代数方法处理几何问题的思想1．直线l：y＝x被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝3截得的弦长为()A．1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：由题意得圆心(3，1)到直线l：y＝x的距离为d＝eq\f(|3－1|,\r(2))＝eq\r(2)，故直线l：y＝x被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝3截得的弦长为2eq\r(（\r(3)）2－（\r(2)）2)＝2.故选B.2．若圆x2－2x＋y2＝0与圆C关于直线x＋y＝0对称，则圆C的方程为()A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2－2y＝0C．x2＋y2＋2y＝0 D．x2＋y2－2x＝0答案：C解析：圆x2－2x＋y2＝0的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1，0)，半径为r＝1.因为(1，0)关于直线x＋y＝0对称的点为(0，－1)，所以圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝1，即x2＋y2＋2y＝0.故选C.3．两圆x2＋y2－1＝0与x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是()A．内切 B．外离C．外切 D．相交答案：D解析：由题意可得两圆的标准方程分别为x2＋y2＝1和(x－2)2＋(y＋1)2＝9，则两圆圆心分别为(0，0)和(2，－1)，半径分别为r1＝1和r2＝3，则圆心距为d＝eq\r(（2－0）2＋（－1－0）2)＝eq\r(5)，则|r1－r2|<eq\r(5)<|r1＋r2|，所以两圆相交．4．(2025·江苏南航苏州附属中学高三开学考试)已知直线l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1及圆C：x2＋y2－6x－2y＋2＝0，则“a＝8”是“直线l与圆C相切”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝8的圆心C(3，1)，半径为2eq\r(2)，由直线l：x＋y－a＝0(a≠0)与圆C相切，得eq\f(|3＋1－a|,\r(2))＝2eq\r(2)，而a≠0，解得a＝8，所以“a＝8”是“直线l与圆C相切”的充要条件．故选C.5．(2025·江苏南京中华中学高三期初调研)设直线l：x＋my－6＝0与圆C：x2＋y2－4x－4y＝0相交于M，N两点，若eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))＝0，则m＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D．1答案：C解析：如图所示，由已知圆C：x2＋y2－4x－4y＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝8，可得圆心C(2，2)，半径r＝2eq\r(2)，又eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))＝0，所以CM⊥CN，即△CMN为等腰直角三角形，所以圆心C到直线l的距离d＝eq\f(\r(2),2)r＝2，即d＝eq\f(|2＋2m－6|,\r(1＋m2))＝2，解得m＝eq\f(3,4).故选C.6．(2025·广西南宁三中高三适应性测试)已知曲线C：x2＋y2＝1，设曲线C上任意一点A与定点B(3，0)连线的中点为P，则动点P的轨迹方程为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,16) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,16)答案：B解析：设P(x，y)，A(x0，y0)，因为P为AB的中点，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0,2)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))又因为点A在曲线x2＋y2＝1上，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝1，所以(2x－3)2＋4y2＝1，所以动点P的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4).故选B.7．若直线x＋my＋1＝0是⊙C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)与⊙C2：(x－2)2＋(y－2)2＝4的公切线，则实数r的值为()A.eq\f(34,13) B.eq\f(17,12)C.eq\f(12,7) D.eq\f(9,2)答案：A解析：已知⊙C1的圆心是C1(1，－2)，半径是r；⊙C2的圆心是C2(2，2)，半径是2.由题意知，直线x＋my＋1＝0是⊙C1和⊙C2的公切线，所以2＝eq\f(|2＋2m＋1|,\r(1＋m2))，解得m＝－eq\f(5,12)，则有r＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,12)))＋1)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,12)))\s\up12(2)))＝eq\f(34,13).故选A.8．已知A(0，－2)，B(2，0)，点P为圆C：x2＋y2－2x－8y＋13＝0上任意一点，则△PAB面积的最大值为()A．5 B．5－2eq\r(2)C.eq\f(5,2) D．5＋2eq\r(2)答案：D解析：圆C：x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心C(1，4)，半径r＝2，直线AB的方程为y＝x－2，于是圆心C到直线AB：x－y－2＝0的距离d＝eq\f(|1－4－2|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(5\r(2),2)，而点P在圆C上，因此点P到直线AB距离的最大值为eq\f(5\r(2),2)＋2，又|AB|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，所以△PAB面积的最大值为S＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)＋2))＝5＋2eq\r(2).故选D.9．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝r2与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的是()A．a(x1－x2)－b(y1－y2)＝0B．2ax1＋2by1＝a2＋b2C．x1＋x2＝aD．y1＋y2＝2b答案：BC解析：由题意得，圆C2的方程可化为x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入可得2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以A错误，B正确；由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以C正确，D错误．故选BC.10．(多选)(2025·辽宁鞍山高三第一次质量检测)已知直线l：kx－y＋k＝0，圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，P(x0，y0)为圆C上任意一点，则下列说法正确的是()A．xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)的最大值为5B.eq\f(y0,x0)的最大值为eq\f(2\r(5),5)C．直线l与圆C相切时，k＝±eq\f(\r(3),3)D．圆心C到直线l的距离的最大值为4答案：BC解析：圆C的方程可化为(x－3)2＋y2＝22，所以圆C的圆心为C(3，0)，半径r＝2.|OC|＝3，P(x0，y0)是圆上的点，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)的最大值为(3＋2)2＝25，A错误；如图所示，当直线OP的斜率大于零且与圆相切时，eq\f(y0,x0)最大，此时|OP|＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)，且kOP＝tan∠POC＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，B正确；直线l：kx－y＋k＝0，若直线l与圆C相切，则圆心C(3，0)到直线l的距离为2，即eq\f(|3k＋k|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝±eq\f(\r(3),3)，C正确；圆心C(3，0)到直线l的距离d＝eq\f(|3k＋k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k|,\r(1＋k2))，当k＝0时，d＝0，当k≠0时，d＝eq\f(|4k|,\r(1＋k2))＝eq\f(4,\r(1＋\f(1,k2)))<4，D错误．故选BC.11．(多选)(2025·湖南永州高三第一次模拟)已知点A(－2，0)，B(1，0)，圆C：x2＋y2－4x＝0，则()A．圆M：x2＋(y－1)2＝1与圆C公共弦所在直线的方程为3x－y＝0B．直线y＝k(x－3)与圆C总有两个交点C．圆C上任意一点M都有|MA|＝2|MB|D．b是a，c的等差中项，直线l：ax＋2by＋c＝0与圆C交于P，Q两点，当|PQ|最小时，直线l的方程为x＋y＝0答案：BCD解析：对于A，两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程为y＝2x，A错误；对于B，y＝k(x－3)过定点(3，0)，而(3，0)在圆C：x2＋y2－4x＝0的内部，所以直线y＝k(x－3)与圆C总有两个交点，B正确；对于C，设M(x，y)，由|MA|＝2|MB|，可得eq\r(（x＋2）2＋y2)＝2eq\r(（x－1）2＋y2)，化简可得x2＋y2－4x＝0，所以满足条件的点M的轨迹就是圆C，C正确；对于D，因为b是a，c的等差中项，所以2b＝a＋c(a，c不同时为0)，所以直线l：ax＋2by＋c＝0可化为ax＋(a＋c)y＋c＝0，即a(x＋y)＋c(y＋1)＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))则直线l过定点N(1，－1)，圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2，0)，当CN与直线l垂直时，|PQ|最小，此时kCN·kl＝－1，即eq\f(0＋1,2－1)·kl＝－1，得kl＝－1，所以当|PQ|最小时，直线l的方程为x＋y＝0，D正确．故选BCD.12．(2024·湖南邵阳三模)写出满足“点(3，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0外部”的一个m的值为________．答案：4(答案不唯一，满足1<m<5即可)解析：圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5－m，则5－m>0，即m<5.由点(3，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0外部，得32＋(－2)2－2×3＋4×(－2)＋m>0，解得m>1，所以1<m<5，可取m＝4.13．(2024·江苏南京三模)已知圆O：x2＋y2＝2，过点M(1，3)的直线l交圆O于A，B两点，且|AB|＝2，则直线l的方程为____________．答案：x＝1或4x－3y＋5＝0解析：若直线l的斜率不存在，则l的方程为x＝1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x2＋y2＝2，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))所以|1－(－1)|＝2＝|AB|，符合题意；若直线l的斜率存在，设l的方程为y－3＝k(x－1)，所以圆心(0，0)到直线l的距离d＝eq\f(|3－k|,\r(1＋k2))，由eq\f(|AB|2,4)＋d2＝2及|AB|＝2，得d＝1，解得k＝eq\f(4,3)，所以直线l的方程为y－3＝eq\f(4,3)(x－1)，即4x－3y＋5＝0.综上，直线l的方程为x＝1或4x－3y＋5＝0.14．(2024·广东汕头三模)已知圆M经过A(2，0)，B(0，2)，C(2，4)三点，则圆M的标准方程为____________；若直线AB关于直线y＝a对称的直线与圆M有公共点，则a的取值范围是____________．答案：(x－2)2＋(y－2)2＝4[1－eq\r(2)，1＋eq\r(2)]解析：设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＋2D＋F＝0，,4＋2E＋F＝0，,4＋16＋2D＋4E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－4，,F＝4，))所以圆M的方程为x2＋y2－4x－4y＋4＝0，即圆M的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.由题意知，直线AB的斜率为kAB＝eq\f(2－0,0－2)＝－1，所以直线AB：y＝－x＋2，与直线y＝a的交点为(2－a，a)，所以直线AB关于直线y＝a对称的直线的斜率为1，故对称直线的方程为y－a＝1×(x－2＋a)，即x－y－2＋2a＝0，由(x－2)2＋(y－2)2＝4知，圆心为(2，2)，半径为2，因为对称直线与圆M有公共点，所以eq\f(|2－2－2＋2a|,\r(1＋1))≤2，解得1－eq\r(2)≤a≤1＋eq\r(2)，即a的取值范围为[1－eq\r(2)，1＋eq\r(2)]．15．已知点M，N在圆O：x2＋y2＝4上，点P(6＋2cosθ，2sinθ)，θ∈R，则使得△PMN是面积为3eq\r(3)的等边三角形的点P的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：A解析：设MN的中点为E，由正三角形的面积公式可知eq\f(\r(3),4)|MN|2＝3eq\r(3)⇒|MN|＝2eq\r(3)，由正三角形及圆的对称性可知PE⊥MN，OE⊥MN，则O，P，E三点共线，而|PE|＝eq\f(|MN|,2)×eq\r(3)＝3，|OE|＝eq\r(4－3)＝1，因为P(6＋2cosθ，2sinθ)，所以点P在以A(6，0)为圆心，2为半径的圆上，由圆与圆的位置关系可知|PE|min＝3，当且仅当点P的坐标为(4，0)时取得，此时E(1，0)，即满足条件的点P只有一个．故选A.16．(2025·贵州贵阳第一中学高三第一次联考)已知圆C1：x2＋y2－2x－2y＝0，设其与x轴、y轴的正半轴分别交于点M，N.已知另一圆C2的半径为2eq\r(2)，且与圆C1外切，则|C2M|·|C2N|的最大值为()A．20 B．20eq\r(2)C．10 D．10eq\r(2)答案：A解析：对于圆C1：x2＋y2－2x－2y＝0，整理可得C1：(x－1)2＋(y－1)2＝2，可知圆心为C1(1，1)，半径为eq\r(2).令x＝0，则y2－2y＝0，解得y＝0或y＝2，即N(0，2)；令y＝0，则x2－2x＝0，解得x＝0或x＝2，即M(2，0)．因为C1与C2外切，则|C1C2|＝eq\r(2)＋2eq\r(2)＝3eq\r(2)，可知点C2(x，y)的轨迹是以C1为圆心，3eq\r(2)为半径的圆，则点C2的轨迹方程为(x－1)2＋(y－1)2＝18，可得|C2M|2＋|C2N|2＝[(x－2)2＋y2]＋[x2＋(y－2)2]＝2[(x－1)2＋(y－1)2]＋4＝40，则|C2M|·|C2N|≤eq\f(|C2M|2＋|C2N|2,2)＝20，当且仅当|C2M|＝|C2N|＝2eq\r(5)时，等号成立，所以|C2M|·|C2N|的最大值为20.故选A.17．(多选)(2024·江西南昌二中高三二模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－1)2＋y2＝2的动弦AB，圆C2：(x－a)2＋(y－eq\r(2))2＝8，则下列说法正确的是()A．当圆C1和圆C2存在公共点时，实数a的取值范围为[－3，5]B．△ABC1的面积的最大值为1C．若原点O始终在动弦AB上，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))不是定值D．若动点P满足四边形OAPB为矩形，则点P的轨迹长度为2eq\r(3)π答案：ABD解析：对于A，圆C1：(x－1)2＋y2＝2的圆心为(1，0)，半径为eq\r(2)，圆C2：(x－a)2＋(y－eq\r(2))2＝8的圆心为(a，eq\r(2))，半径为2eq\r(2)，当圆C1和圆C2存在公共点时，2eq\r(2)－eq\r(2)≤|C1C2|≤2eq\r(2)＋eq\r(2)，所以eq\r(2)≤eq\r(（a－1）2＋（\r(2)）2)≤3eq\r(2)，解得－3≤a≤5，所以实数a的取值范围为[－3，5]，A正确；对于B，S△ABC1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×sin∠AC1B＝sin∠AC1B≤1，当∠AC1B＝eq\f(π,2)时，△ABC1的面积取最大值1，B正确；对于C，当弦AB垂直于x轴时，不妨设A(0，－1)，B(0，1)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0＋1×(－1)＝－1，当弦AB不垂直于x轴时，设弦AB所在直线的方程为y＝kx，与圆C1：(x－1)2＋y2＝2联立，得(1＋k2)x2－2x－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝eq\f(－1,1＋k2)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2x1x2＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)×eq\f(－1,1＋k2)＝－1，综上，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－1，恒为定值，C错误；对于D，设P(x0，y0)，OP的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)，\f(y0,2)))，由四边形OAPB为矩形，可知该点也是AB的中点，且|AB|＝|OP|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))，又|AB|＝2eq\r(2－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)－1))\s\up12(2)＋\f(yeq\o\al(2,0),4))))，所以2eq\r(2－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)－1))\s\up12(2)＋\f(yeq\o\al(2,0),4))))＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))，化简得(x0－1)2＋yeq\o\al(2,0)＝3，所以点P的轨迹是以(1，0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆，其周长为2eq\r(3)π，D正确．故选ABD.18．(2025·湖北部分市州高三上期末联考)若A，B为曲线x2＋y2＝2|x|＋2|y|上任意两点，则A，B两点间距离的最大值为________．答案：4eq\r(2)解析：由题意可得，曲线关于x轴、y轴、原点对称，当x>0，y>0时，曲线方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆心C1(1，1)，r1＝eq\r(2)；当x>0，y<0时，曲线方程化为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，圆心C2(1，－1)，r2＝eq\r(2)；当x<0，y>0时，曲线方程化为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，圆心C3(－1，1)，r3＝eq\r(2)；当x<0，y<0时，曲线方程化为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，圆心C4(－1，－1)，r4＝eq\r(2)；当x＝0时，y＝0或y＝±2；当y＝0时，x＝0或x＝±2.作出曲线，如图所示．曲线上任意两点间距离的最大值为|C1C4|＋r1＋r4＝eq\r([1－（－1）]2＋[1－（－1）]2)＋2eq\r(2)＝4eq\r(2).19．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2eq\r(2)，则直线l的斜率的取值范围是________．答案：[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]解析：圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，则圆心坐标为(2，2)，半径为3eq\r(2).由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2eq\r(2)可得，圆心到直线l：ax＋by＝0的距离d≤3eq\r(2)－2eq\r(2)＝eq\r(2)，即eq\f(|2a＋2b|,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，则a2＋b2＋4ab≤0①，若b＝0，不符合题意，故b≠0，则①可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(2)＋1＋eq\f(4a,b)≤0，由于直线l的斜率k＝－eq\f(a,b)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(2)＋1＋eq\f(4a,b)≤0可化为k2＋1－4k≤0，解得k∈[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]．20．已知A(2，0)，点P为直线x－y＋5＝0上的一点，点Q为圆x2＋y2＝1上的一点，则|PQ|＋eq\f(1,2)|AQ|的最小值为________．答案：eq\f(11\r(2),4)解析：设M(x，0)，Q(x1，y1)，令eq\f(1,2)|AQ|＝|MQ|，则eq\f(1,2)eq\r(（x1－2）2＋yeq\o\al(2,1))＝eq\r(（x－x1）2＋yeq\o\al(2,1))⇒xeq\o\al(2,1)＋eq\f(（4－8x）,3)x1＋yeq\o\al(2,1)＝eq\f(4－4x2,3)①，又xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝1，当x＝eq\f(1,2)时，①式恒成立，即eq\f(1,2)|AQ|＝|MQ|恒成立，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))⇒|PQ|＋eq\f(1,2)|AQ|＝|PQ|＋|MQ|.如图，当P，Q，M三点共线，且PM垂直于直线x－y＋5＝0时，|PQ|＋|MQ|有最小值，为|PM|，即点M到直线x－y＋5＝0的距离，为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋5)),\r(2))＝eq\f(11\r(2),4).21.(2024·福建厦门高三二模)如图，⊙O的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))沿弦BC对称，恰好经过原点O，此时直线y＝－x＋m与这两段弧有4个交点，则实数m的取值范围为________．答案：(eq\r(3)－1，2eq\r(2)－2)解析：因为圆O的劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))关于弦BC对称的图形恰好经过坐标原点O，所以B(－eq\r(3)，－1)，C(eq\r(3)，－1)，当直线y＝－x＋m过点C(eq\r(3)，－1)时，将C(eq\r(3)，－1)代入y＝－x＋m，得m＝－1＋eq\r(3)，由对称性可知，圆弧eq\o(BOC,\s\up8(︵))对应的圆的圆心在y轴上，设为T(0，t)，则|OT|＝|TC|，所以eq\r(02＋t2)＝eq\r(（0－\r(3)）2＋（t＋1）2)，解得t＝－2，且劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))对应的圆的半径为2，故对称后的劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))所在的圆的方程为x2＋(y＋2)2＝4，当直线y＝－x＋m与对称后的劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))相切时，得eq\f(|－2－m|,\r(2))＝2，所以m＝2eq\r(2)－2或m＝－2eq\r(2)－2(舍去)，结合图形可知，当－1＋eq\r(3)<m<2eq\r(2)－2时，直线y＝－x＋m与两段弧有4个交点．故实数m的取值范围为(eq\r(3)－1，2eq\r(2)－2)．22．(2024·江西红色十校高三联考)月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见．某学习小组通过单光源实验来演示月球背面．由光源点A(0，－2)射出的两条光线与⊙O：x2＋y2＝1分别相切于点M，N，称两射线AM，AN上切点上方部分的射线与优弧eq\o(MN,\s\up8(︵))上方所夹的平面区域(含边界)为圆O的“背面”．若以点B(a，2)为圆心，r为半径的圆处于⊙O的“背面”，则r的最大值为________．答案：11－4eq\r(6)解析：如图，设过点A的切线方程为y＝kx－