2026版《金版教程》高考一轮复习数学第八章 考点测试46 随机事件的概率与古典概型

高考总复习首选用卷数学考点测试46随机事件的概率与古典概型基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567891011难度★★★★★★★★★★★★★对点事件的关系；和事件的概率对立事件的概率古典概型古典概型；对立事件的概率古典概型古典概型古典概型古典概型；分步乘法计数原理古典概型古典概型古典概型题号121314151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★★★★对点古典概型；组合的应用互斥事件的概率加法公式古典概型；排列组合的应用古典概型古典概型古典概型；排列组合的应用古典概型；组合的应用古典概型；棱柱的结构特征古典概型；等差数列高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，中等难度考点研读1.了解有限样本空间的含义2.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别3.了解两个互斥事件的概率加法公式4.理解古典概型及其概率计算公式5.会计算一些随机事件所包含的样本点数及事件发生的概率1．(2025·安徽阜阳高三模拟)已知某随机试验中，事件A，B，C发生的概率分别是eq\f(1,6)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，则下列说法正确的是()A．A∪B与C是互斥事件，且是对立事件B．A∪B∪C一定是必然事件C．B∪C的概率一定不超过eq\f(5,6)D．A∪B的概率一定等于eq\f(1,2)答案：C解析：因为事件A，B，C不一定两两互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)≤eq\f(1,2)，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)－P(BC)≤eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,6)，且P(A∪B∪C)≤1，所以A∪B∪C不一定是必然事件，无法判断A∪B与C是不是互斥事件，所以A，B，D说法错误．故选C.2．某市场一摊位的买菜员发现顾客来此摊位买菜后选择只用现金支付的概率为0.2，选择既用现金支付又用非现金支付的概率为0.1，且买菜后无赊账行为，则选择只用非现金支付的概率为()A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8答案：C解析：设事件A为“只用现金支付”，事件B为“只用非现金支付”，事件C为“既用现金支付又用非现金支付”，事件D为“买菜后支付”，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为P(A)＝0.2，P(C)＝0.1，所以P(B)＝0.7.故选C.3．(2025·陕西商洛高三模拟)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(1,10) D.eq\f(3,10)答案：D解析：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，样本点有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，共10个，抽到的2张卡片上的数都是奇数的样本点有{1，3}，{1，5}，{3，5}，共3个，所以抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为eq\f(3,10).故选D.4．(2024·山西太原高三一模)甲、乙两名同学要从A，B，C，D四个科目中分别选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为()A.eq\f(3,16) B.eq\f(3,8)C.eq\f(5,8) D.eq\f(3,4)答案：D解析：两人选取科目的方法共有4×4＝16种，科目完全相同的方法共有4×1＝4种，所以科目不完全相同的方法共有12种，故所求概率为P＝1－eq\f(4,16)＝eq\f(3,4).故选D.5．(2025·贵州贵阳高三模拟)将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)答案：A解析：将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球的样本点有(红1，白红2)，(白，红1红2)，(红2，白红1)，(白红2，红1)，(红1红2，白)，(白红1，红2)，则2个红球分别放入不同盒子中的样本点有(红1，白红2)，(红2，白红1)，(白红2，红1)，(白红1，红2)，所以由古典概型的概率公式，得所求概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).故选A.6．(2024·四川内江高三三模)口袋中装有质地和大小相同的6个小球，小球上面分别标有数字1，1，2，2，3，3，从中任取两个小球，则两个小球上的数字之和大于4的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,15)答案：A解析：记两个标有数字1的小球分别为A，a，两个标有数字2的小球分别为B，b，两个标有数字3的小球分别为C，c，从中任取两个小球的可能结果有Aa，AB，Ab，AC，Ac，aB，ab，aC，ac，Bb，BC，Bc，bC，bc，Cc，共15种情况，其中满足两个小球上的数字之和大于4的有BC，Bc，bC，bc，Cc，共5种情况，所以两个小球上的数字之和大于4的概率P＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).故选A.7．(2024·内蒙古包头高三三模)将2个a和3个b随机排成一行，则2个a不相邻的概率为()A．0.4 B．0.5C．0.6 D．0.7答案：C解析：2个a和3个b随机排成一行的样本空间为Ω＝{aabbb，ababb，abbab，abbba，baabb，babab，babba，bbaab，bbaba，bbbaa}，共10个样本点，其中2个a不相邻的样本点有ababb，abbab，abbba，babab，babba，bbaba，共6个，所以所求概率为P＝eq\f(6,10)＝0.6.故选C.8．(2025·河北邢台高三模拟)已知有四个不同的小球A，B，C，D，准备放入四个不同的盒子之中，则小球A，B放入同一个盒子中的概率为()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,2)答案：B解析：根据题意得四个不同的小球A，B，C，D放入四个不同的盒子中的全部情况有44种，而满足小球A，B放入同一个盒子中的情况有43种，所以小球A，B放入同一个盒子中的概率为eq\f(43,44)＝eq\f(1,4).故选B.9.(2025·湖南衡阳高三期末)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．顾名思义，它是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形(1600种以上)．七巧板的完整图案为一正方形，其是由如图的七块板组成的，即五块等腰直角三角形(两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)，一块正方形和一块平行四边形．现从这七块板中任取两块，则这两块板可以拼成梯形的概率为()A.eq\f(4,21) B.eq\f(1,3)C.eq\f(8,21) D.eq\f(3,7)答案：D解析：如图，对七块板进行编号，分别编号为1，2，3，4，5，6，7，则样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(6，7)，共21个，而两块板可以拼成梯形的样本点为(1，3)，(2，3)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，共9个，所以两块板可以拼成梯形的概率P＝eq\f(9,21)＝eq\f(3,7).故选D.10．(多选)某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则()A．P1·P2＝eq\f(1,6) B．P1＝P2＝eq\f(1,2)C．P1＋P2＝eq\f(5,6) D．P1＞P2答案：ACD解析：三辆车的出车顺序可能为123，132，213，231，312，321，共6种．方案一坐到“3号”车的出车顺序可能为132，213，231，共3种，所以P1＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)；方案二坐到“3号”车的出车顺序可能为312，321，共2种，所以P2＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).所以P1＞P2，P1·P2＝eq\f(1,6)，P1＋P2＝eq\f(5,6).故选ACD.11．(2024·陕西西安高三二模)从甲、乙、丙、丁4名同学中任选2人，则甲未被选中的概率为________．答案：eq\f(1,2)解析：甲未被选中，只需从其余3人中选2人，即有Ceq\o\al(2,3)种方法，从4人中选2人，共有Ceq\o\al(2,4)种方法，所以甲未被选中的概率为P＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2).12．(2025·八省联考)有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为________．答案：eq\f(3,56)解析：从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点数为Ceq\o\al(3,8)＝eq\f(8×7×6,3×2)＝56，因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，且要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，所以抽出的3张卡片上的数字之和应为18，则抽出的3张卡片上的数字的组合有8，7，3或8，6，4或7，6，5，共3种，所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18的样本点共3个，所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为eq\f(3,56).13．袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黄球的概率是eq\f(5,12)，得到黄球或绿球的概率也是eq\f(5,12)，则得到黄球的概率是__________．答案：eq\f(1,6)解析：设事件A，B，C，D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，则事件A，B，C，D两两互斥，根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＝\f(1,3)，,P（B∪C）＝\f(5,12)，,P（C∪D）＝\f(5,12)，,P（A∪B∪C∪D）＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＝\f(1,3)，,P（B）＋P（C）＝\f(5,12)，,P（C）＋P（D）＝\f(5,12)，,P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝1，))解得P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,4)，所以得到黄球的概率是eq\f(1,6).14．西安、洛阳、北京、南京和开封并称中国的五大古都．某旅游博主为领略五大古都之美，决定用两个月的时间游览完五大古都，且每个月只游览五大古都中的两个或三个(五大古都只游览一次)，则恰好在同一个月游览西安和洛阳的概率为________．答案：eq\f(2,5)解析：将古都分成2个、3个两组，再安排旅游顺序，故事件总数为Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)＝20，其中恰好在同一个月游览西安和洛阳的事件数为(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3))Aeq\o\al(2,2)＝8，所以恰好在同一个月游览西安和洛阳的概率为eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).15．(2025·安徽阜阳高三模拟)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为1，2，3，x，4，5，5，6，则这8个点数的中位数为4的概率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)答案：D解析：由题意，当x＝1，2，3时，8个点数的中位数为3.5；当x＝4时，8个点数的中位数为4；当x＝5，6时，8个点数的中位数为4.5，则8个点数的中位数为4的概率为eq\f(1,6).故选D.16．(2025·广西柳州高三模拟)现有7张分别标有1，2，3，4，5，6，7的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为a，剩下的2张卡片数字之和为b，则a≥3b的概率为()A.eq\f(5,7) B.eq\f(2,7)C.eq\f(4,7) D.eq\f(3,7)答案：D解析：因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以a＋b＝28，故a＝28－b，而a≥3b，所以28－b≥3b，解得b≤7，所以求b≤7的概率即可．从7张卡片中抽取2张，样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(1，7)，(2，6)，(2，7)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(6，7)，共21个，且设b≤7的概率为P，符合题意的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，共9个，所以P＝eq\f(9,21)＝eq\f(3,7).故选D.17．现将0～9十个数字填入下方的金字塔中，要求每个数字都使用一次，第一行的数字为a，第二行的数字中最大的数字为b，第三行的数字中最大的数字为c，第四行的数字中最大的数字为d，则满足a<b<c<d的填法的概率为()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,15) D.eq\f(2,5)答案：C解析：第四行：d＝9，可选位置有4个，其余位置任取3个数字，共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,9)种情况；第三行：取剩下6个数字中最大的数字为c，可选位置有3个，其余位置任取2个数字，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)种情况；第二行：取剩下3个数字中最大的数字为b，可选位置有2个，其余位置任取1个数字，共有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)种情况；第一行：最后1个数字为a，所有满足a<b<c<d的填法共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,9)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)种情况，位置不限的情况共有Aeq\o\al(10,10)种，故满足a<b<c<d的填法的概率为P＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,9)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2),Aeq\o\al(10,10))＝eq\f(2,15).18．(2025·广西南宁高三模拟)某盒中有12个大小相同的球，分别标号为1，2，…，12，从盒中任取3个球，则这3个球的标号之和被3除的余数为2的概率是________．答案：eq\f(18,55)解析：从12个球中任取3个球有Ceq\o\al(3,12)＝220种不同的方法，1到12中能被3整除的有3，6，9，12；除3余1的有1，4，7，10；除3余2的有2，5，8，11，取出的3个球的标号之和被3除余2的情况有：①标号被3除余数为1的球2个和标号被3整除的球1个，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)＝24种；②标号被3除余数为1的球1个和标号被3除余数为2的球2个，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)＝24种；③标号被3除余数为2的球1个和标号被3整除的球2个，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)＝24种，则所求概率P＝eq\f(24＋24＋24,220)＝eq\f(18,55).19.(2025·上海浦东高三模拟)如图ABCDEF－A′B′C′D′E′F′为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中随机选取两条，则它们共面的概率是________．答案：eq\f(6,11)解析：由题意知，共面的情况可分四类，①两条对角线在同一个侧面，因为有6个侧面，所以共有6组；②两条对角线相交且交点在正六棱柱的顶点上，因为有12个顶点，所以共有12组；③两条对角线相交且交点在对角线延长线上，如图所示，