2026版《金版教程》高考一轮复习数学单元质量测试（一）

高考总复习首选用卷数学单元质量测试(一)基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★★对点交集运算存在量词命题的否定不等式的性质必要不充分条件的判断；不含参数的一元二次不等式的解法；分式不等式含参数的一元二次不等式的解法基本不等式的实际应用充要条件的判断利用基本不等式求最值三个二次的关系不等式的性质题号111213141516171819难度★★★★★★★★★★★★★★★★对点利用基本不等式比较大小由并集的结果求参数的取值范围由含有量词的命题的真假求参数的取值范围；一元二次不等式的恒成立问题利用基本不等式求最值作差法比较大小；利用基本不等式求最值交集、补集运算；由充分不必要条件求参数的取值范围；由交集结果求参数的取值范围由含有量词的命题的真假求参数的取值范围利用基本不等式求最值集合的新定义问题eq\a\vs4\al()时间：120分钟eq\a\vs4\al()满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2025·广东八校高三上开学联考)已知集合M＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)<2x<8))))，N＝{－3，－2，－1，0，1，eq\r(2)，eq\r(3)}，则M∩N＝()A．{－1，0，1}B．{－2，－1，0，1}C．{－2，－1，0，1，eq\r(2)}D．{－2，－1，0，1，eq\r(2)，eq\r(3)}答案：D解析：由eq\f(1,8)<2x<8，可得2－3<2x<23，因为y＝2x在R上为增函数，所以－3<x<3，则M＝{x|－3<x<3}，故M∩N＝{－2，－1，0，1，eq\r(2)，eq\r(3)}．故选D.2．(2024·广西南宁三中、柳州高级中学高三一模)已知命题p：∃x∈R，lgx＋x≥3，则綈p为()A．∀x∈R，lgx＋x<3 B．∃x∈R，lgx＋x<3C．∀x∈R，lgx＋x≥3 D．∃x∈R，lgx＋x≤3答案：A解析：由题意知命题p：∃x∈R，lgx＋x≥3为存在量词命题，其否定为全称量词命题：∀x∈R，lgx＋x<3.故选A.3．若m>n>0，p<q<0，则一定有()A.eq\f(m,q)>eq\f(n,p) B.eq\f(m,q)<eq\f(n,p)C.eq\f(m,p)>eq\f(n,q) D.eq\f(m,p)<eq\f(n,q)答案：B解析：由m>n>0，p<q<0，可得|m|>|n|>0，|p|>|q|>0，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n,p)))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,q)))，而eq\f(m,p)，eq\f(m,q)，eq\f(n,p)，eq\f(n,q)均为负数，所以eq\f(n,p)>eq\f(m,q).而eq\f(m,p)与eq\f(n,q)的大小无法比较．故选B.4．(2024·陕西商洛模拟)已知x∈R，则“x2－x>0”是“eq\f(x＋1,x－2)>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：因为x2－x>0，解得x>1或x<0，eq\f(x＋1,x－2)>0，即(x＋1)(x－2)>0，解得x>2或x<－1，所以“x2－x>0”是“eq\f(x＋1,x－2)>0”的必要不充分条件．故选B.5．若a<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是()A．{x|x>5a或x<－a}B．{x|x>－a或x<5a}C．{x|－a<x<5a}D．{x|5a<x<－a}答案：B解析：依题意x2－4ax－5a2＝(x－5a)(x＋a)>0，由于a<0，故5a<－a，所以原不等式的解集为{x|x>－a或x<5a}．故选B.6．(2024·广东韶关二模)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W＝(长＋4)×(宽＋4)，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，估算平整完这块场地所需的最少费用是()A．10000元 B．10480元C．10816元 D．10818元答案：C解析：设矩形场地的长为x米，则宽为eq\f(10000,x)米，W＝(x＋4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10000,x)＋4))＝4x＋eq\f(40000,x)＋10016≥2eq\r(4x·\f(40000,x))＋10016＝10816，当且仅当4x＝eq\f(40000,x)，即x＝100时，等号成立．所以平整完这块场地所需的最少费用是1×10816＝10816元．故选C.7．(2025·江苏苏州部分学校高三模拟)命题p：x0为x3－3x－1＝0的根，命题q：若x0＝2cosθ，则cos3θ＝eq\f(1,2)，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：因为cos3θ＝cos(2θ＋θ)＝cos2θcosθ－sin2θsinθ＝(2cos2θ－1)cosθ－2sin2θcosθ＝2cos3θ－cosθ－2(1－cos2θ)cosθ＝4cos3θ－3cosθ，由命题p：x0为x3－3x－1＝0的根，则xeq\o\al(3,0)－3x0－1＝0，又x0＝2cosθ，则8cos3θ－6cosθ－1＝0，所以4cos3θ－3cosθ＝eq\f(1,2)，故cos3θ＝eq\f(1,2)，故由p推得出q，所以充分性成立；若x0＝2cosθ且cos3θ＝eq\f(1,2)，则cos3θ＝4cos3θ－3cosθ＝eq\f(1,2)，所以8cos3θ－6cosθ－1＝0，即xeq\o\al(3,0)－3x0－1＝0，所以x0为x3－3x－1＝0的根，故由q推得出p，即必要性成立．所以p是q的充要条件．故选C.8．已知a＞0，b＞0，定义H(a，b)＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋22－b，\f(9,a)＋2b))，则H(a，b)的最小值是()A．5 B．6C．8 D．1答案：A解析：由定义H(a，b)＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋22－b，\f(9,a)＋2b))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(H（a，b）≥a＋22－b，,H（a，b）≥\f(9,a)＋2b，))所以2H(a，b)≥a＋22－b＋eq\f(9,a)＋2b＝a＋eq\f(9,a)＋22－b＋2b≥2eq\r(a·\f(9,a))＋2eq\r(22－b·2b)＝6＋4＝10，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,a)，,22－b＝2b，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1))时取等号．所以H(a，b)≥5，即H(a，b)的最小值为5.二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．(2024·福建莆田锦江中学高三第一次阶段考试)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，则下列结论中正确的是()A．a>0B．不等式bx＋c<0的解集为{x|x<－4}C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,4)或x>\f(1,3)))))D．a＋b＋c>0答案：AD解析：对于A，D，由ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，得ax2＋bx＋c＝a(x－3)(x－4)＝a(x2－7x＋12)，故a>0，b＝－7a，c＝12a，a＋b＋c＝6a>0，故A，D正确；对于B，由bx＋c<0，解得x>eq\f(12,7)，故B错误；对于C，cx2－bx＋a<0，即12ax2＋7ax＋a<0，解得－eq\f(1,3)<x<－eq\f(1,4)，故C错误．故选AD.10．已知a，b为正实数，则下列命题为真命题的是()A．若a2－b2＝1，则a－b＜1B．若eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，则a－b＜1C．若ea－eb＝1，则a－b＜1D．若lna－lnb＝1，则a－b＜1答案：AC解析：对于A，当a2－b2＝1时，(a－b)(a＋b)＝1，∵a＞0，b＞0，∴0＜a－b＜a＋b，∴a－b＝eq\f(1,a＋b)＜1，故A为真命题；对于B，当eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1时，不妨取a＝3，b＝eq\f(3,4)，满足条件，但a－b＝eq\f(9,4)＞1，故B为假命题；对于C，由ea－eb＝1，可得ea－b＋b－eb＝eb(ea－b－1)＝1，∵b＞0，∴eb＞1，∴ea－b－1＜1，即ea－b＜2，∴a－b＜ln2＜lne＝1，故C为真命题；对于D，不妨取a＝e2，b＝e，满足条件，但a－b＝e2－e＞1，故D为假命题．故选AC.11．(多选)(2025·河北省级联考高三上期末)已知正数a，b满足2a＋b＝8，则下列说法正确的是()A．ab≤8 B．4a2＋b2≤32C．4<a＋b<8 D．16<a2＋3b<24答案：AC解析：对于A，因为正数a，b满足2a＋b＝8，所以8＝2a＋b≥2eq\r(2ab)，当且仅当2a＝b＝4时，等号成立，所以ab≤8，故A正确；对于B，因为正数a，b满足2a＋b＝8，所以eq\f(（2a）2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝16，当且仅当2a＝b＝4时，等号成立，所以4a2＋b2≥32，故B不正确；对于C，因为正数a，b满足2a＋b＝8，所以0<2a<8，0<b<8，可得0<a<4，且b＝8－2a，所以a＋b＝a＋8－2a＝8－a∈(4，8)，故C正确；对于D，由C项分析可知，a2＋3b＝a2＋3(8－2a)＝a2－6a＋24＝(a－3)2＋15，0<a<4，当a＝3时，a2＋3b＝15，当a＝0时，a2＋3b＝24，所以15≤a2＋3b<24，故D不正确．故选AC.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12．已知集合A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＜x＜4))))，B＝{x|ax－1≥0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围为________．答案：[1，＋∞)解析：A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)<x<4))))＝{1，2，3}．∵A∪B＝B，∴A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不满足A⊆B，舍去；当a＞0时，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,a)))))，要使A⊆B，则eq\f(1,a)≤1，解得a≥1；当a＜0时，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,a)))))，此时eq\f(1,a)＜0，不满足A⊆B，舍去．综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)．13．(2025·湖南永州高三月考)已知p：∀x∈R，2x>m(x2＋1)，q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若p真q假，则实数m的取值范围为________．答案：(－∞，－2)解析：2x>m(x2＋1)等价于mx2－2x＋m<0，因为p为真命题，所以不等式mx2－2x＋m<0恒成立，易知m＝0时，不满足题意，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,4－4m2<0，))解得m<－1；因为q为假命题，所以方程x2＋2x－m－1＝0无实数解，所以4＋4(m＋1)<0，解得m<－2.综上，实数m的取值范围为(－∞，－2)．14．(2024·江西重点中学协作体高三一模)已知正数x，y满足x＋y＝6，若不等式a≤eq\f(x2,x＋1)＋eq\f(y2,y＋2)恒成立，则实数a的取值范围是________．答案：(－∞，4]解析：因为x＋y＝6，所以t＝eq\f(x2,x＋1)＋eq\f(y2,y＋2)＝eq\f(（x＋1）2－2（x＋1）＋1,x＋1)＋eq\f(（y＋2）2－4（y＋2）＋4,y＋2)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)－2＋y＋2＋eq\f(4,y＋2)－4＝3＋eq\f(1,x＋1)＋eq\f(4,y＋2)，所以t＝3＋eq\f(1,x＋1)＋eq\f(4,y＋2)＝3＋eq\f(x＋1＋y＋2,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)＋\f(4,y＋2)))＝eq\f(32,9)＋eq\f(y＋2,9（x＋1）)＋eq\f(4（x＋1）,9（y＋2）)≥eq\f(32,9)＋2eq\r(\f(y＋2,9（x＋1）)×\f(4（x＋1）,9（y＋2）))＝4，当且仅当y＝4，x＝2时，等号成立，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x＋1)＋\f(y2,y＋2)))eq\s\do7(min)＝4，所以a≤4，即实数a的取值范围是(－∞，4]．四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)已知a＞1，b＞1，M＝eq\f(a2,a－1)＋eq\f(b2,b－1)，N＝eq\f(b2,a－1)＋eq\f(a2,b－1).(1)试比较M与N的大小；(2)分别求M，N的最小值．解：(1)M－N＝eq\f(a2,a－1)－eq\f(b2,a－1)＋eq\f(b2,b－1)－eq\f(a2,b－1)＝－eq\f(（a－b）2（a＋b）,（a－1）（b－1）)，因为a＞1，b＞1，所以a＋b＞0，a－1＞0，b－1＞0，(a－b)2≥0，所以－eq\f(（a－b）2（a＋b）,（a－1）（b－1）)≤0，所以M≤N.(2)因为M＝eq\f(a2,a－1)＋eq\f(b2,b－1)＝eq\f([（a－1）＋1]2,a－1)＋eq\f([（b－1）＋1]2,b－1)＝a－1＋eq\f(1,a－1)＋b－1＋eq\f(1,b－1)＋4≥2eq\r(（a－1）×\f(1,a－1))＋2eq\r(（b－1）×\f(1,b－1))＋4＝8，当且仅当a＝b＝2时取等号，又由(1)M≤N，所以M，N的最小值都是8.16．(2024·江苏镇江高三期中)(本小题满分15分)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,2－x)≥1))))，B＝{x|x2－2x－m2＋1<0}．(1)若m＝2，求(∁RA)∩B；(2)若________，求实数m的取值范围．在以下两个条件中任选一个补充在第(2)问中，并给出解答．①x∈A是x∈B的充分不必要条件；②A∩B＝B.解：(1)eq\f(2,2－x)≥1，eq\f(2,2－x)－1＝eq\f(x,2－x)≥0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（x－2）≤0，,x≠2，))解得0≤x<2，∴A＝{x|0≤x<2}．当m＝2时，由x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3，∴B＝{x|－1<x<3}．∴∁RA＝{x|x<0或x≥2}，(∁RA)∩B＝{x|－1<x<0或2≤x<3}．(2)若选①：x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB.由x2－2x－(m－1)(m＋1)<0，得(x＋m－1)(x－m－1)<0，显然m≠0，否则B＝∅；当m>0时，B＝{x|1－m<x<m＋1}，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m<0，,m＋1≥2，))解得m>1；当m<0时，B＝{x|m＋1<x<1－m}，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1<0，,1－m≥2，))解得m<－1.综上，实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．若选②：A∩B＝B，则B⊆A.(ⅰ)若m＝0，则B＝∅，符合题意；(ⅱ)若m>0，则B＝{x|1－m<x<m＋1}，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥0，,m＋1≤2，))解得0<m≤1；(ⅲ)若m<0，则B＝{x|m＋1<x<1－m}，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≥0，,1－m≤2，))解得－1≤m<0.综上，实数m的取值范围为[－1，1]．17．(2025·湖北武汉高三阶段考试)(本小题满分15分)设命题p：∀x∈[－1，1]，x2－2x－3＋m<0；命题q：∃x∈[0，1]，使2x－2≥m2－3m.(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p，q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．解：(1)若p为真命题，即∀x∈[－1，1]，x2－2x－3＋m<0，则对于x∈[－1，1]，m<(－x2＋2x＋3)min即可．由于x∈[－1，1]，(－x2＋2x＋3)min＝0，所以实数m的取值范围是(－∞，0)．(2)若q为真命题，即∃x∈[0，1]，使2x－2≥m2－3m，则对于x∈[0，1]，(2x－2)max≥m2－3m即可．由于x∈[0，1]，2x－2∈[－2，0]，所以m2－3m≤0，解得m∈[0，3]，由于p，q有且只有一个是真命题，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,m<0或m>3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥0，,0≤m≤3，))解得m≤3.所以实数m的取值范围是(－∞，3]．18．(2024·西藏林芝第一中学高三三模)(本小题满分17分)已知a，b，c均为正实数，且a＋3b＋4c＝12.(1)求abc的最大值；(2)求证：eq\f(a＋6,a)＋eq\f(b＋2,b)＋eq\f(c＋6,c)≥11.解：(1)abc＝eq\f(1,12)a·3b·4c≤eq\f(1,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋3b＋4c,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,12)×64＝eq\f(16,3)，当且仅当a＝3b＝4c，即a＝4，b＝eq\f(4,3)，c＝1时，等号成立．所以abc的最大值为eq\f(16,3).(2)证明：eq\f(a＋6,a)＋eq\f(b＋2,b)＋eq\f(c＋6,c)＝1＋eq\f(6,a)＋1＋eq\f(2,b)＋1＋eq\f(6,c)＝3＋eq\f(6,a)＋eq\f(2,b)＋eq\f(6,c)＝3＋eq\f(1,12)(a＋3b＋4c)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,a)＋\f(2,b)＋\f(6,c)))＝3＋eq\f(1,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(36＋\f(18b,a)＋\f(24c,a)＋\f(2a,b)＋\f(8c,b)＋\f(6a,c)＋\f(18b,c)))≥3＋eq\f(1,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(36＋2\r(\f(18b,a)·\f(2a,b))＋2\r(\f(24c,a)·\f(6a,c))＋2\r(\f(8c,b)·\f(18b,c))))＝11，当且仅当eq\f(18b,a)＝eq\f(2a,b)，eq\f(24c,a)＝eq\f(6a,c)，eq\f(8c,b)＝eq\f(18b,c)，即a＝3，b＝1，c＝eq\f(3,2)时，等号同时成立．19．(2024·贵州遵义二模)(本小题满分17分)设集合Hn＝{(x1，x2，…，xn)|xi＝0或1，i＝1，2，…，n}，Hn中的元素a＝(a1，a2，…，an)，b＝(b1，b2，…，bn)，定义：a⊕b＝(a1－b1)4＋(a2－b2)4＋…＋(an－bn)4.若M为Hn的k元子集，∀x∈Hn，∃y∈M，使得x⊕y≤3，则称M为Hn的k元最优子集．(1)若a，b∈H5，a⊕b＝4，且a＝(1，0，1，1，0)，试写出两个不同的b；(2)当n＝7时，集