因式分解法课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册第二十五章

一元二次方程25.2降次——解一元二次方程25.2.3因式分解法学习目标12会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程.在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想．目录1423巩固练习典例分析复习引入合作探究56当堂检测课堂小结7布置作业1复习引入一元二次方程概念相关概念解法应用只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程.使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.直接开平方法...降次配方法转化公式法应用2.当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为

.的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.1.式子

可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“

”表示，1复习引入

当Δ>0时，方程

；

当Δ=0时，方程

；

当Δ<0时，方程

.b2−4acΔ有两个不相等的实数根有两个相等的实数根无实数根

3.用哪种方法解下列方程比较合适？(1)(x−2)2=4；(2)x2+4x=5；

(3)x2+x=1；配方法公式法直接开平方法1复习引入2合作探究问题

根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs后的离地高度(单位：m)约为10x−5x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面?2合作探究分析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即

.

将方程的左边分解因式，得

.

所以

.

因此，方程10x−5x2=0的两个根是

.

对于这两个根，x1=0表示物体抛离地面的时刻，即在0s时

物体被抛出，此刻物体的高度是0m；而x2=2表示物体在抛离地

面2s时落回地面.10x−5x2=0x(10−5x)=0如果ab=0，那么a=0或b=0.x=0或10−5x=0x1=0，x2=2请大家解这个方程.你认为哪种解法更简单？2合作探究10x−5x2=0解：

x(10−5x)=0，

x=0或10−5x=0，x1=0，x2=2.思考

解方程10x−5x2=0时，二次方程是如何降为一次的?降次

在上述解法中，由10x−5x2=0到x=0或10−5x=0的过程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.2合作探究思考

归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：一移

将方程化为等号一边为0的形式；二分

将方程左边因式分解；三化

至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程；四解

两个一元一次方程的解就是原方程的解．10x−5x2=0解：

x(10−5x)=0，

x=0或10−5x=0，x1=0，x2=2.2合作探究思考

学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗?解法降次方法变形结果方程的根适用范围配方法公式法因式分解法

先配方再开方(x+n)2=p(p≥0)

所有一元二次方程直接代入求根公式(x−a)(x−b)=0因式分解ax2+bx+c=0(Δ≥0)x1=a，x2=b所有一元二次方程部分一元二次方程3典例分析

解：(1)左边分解因式，得(x−2)(x+1)=0.于是x−2=0或x+1=0，即

x1=2，x2=−1.

3典例分析中考演练（2026山东）若关于x的一元二次方程(x−2)(x−m)=0的一个根是10，则另一个根是________．2分析：

(x−2)(x−m)=0，x−2=0或x−m=0，

解得

x1=2，x2=m，

∵方程的一个根是10，∴m=10，

∴方程的另一个根为2．3典例分析中考演练（2026江苏连云港）解方程

x(x−1)=8x−8．解：

x(x−1)=8x−8，

x(x−1)−8(x−1)=0，(x−8)(x−1)=0，x−8=0或x−1=0，∴x1=8，x2=1．4巩固练习1.直接说出下列方程的根.(1)x(x+2)=0；

(1)x1=0，x2=−2；

(2)(x−2)(x+1)=0；

(2)x1=2，x2=−1；(3)(3y+6)(2y−4)=0；

(3)y1=−2，y2=2；

(4)(x−5)2=0.(4)x1=x2=5.2.小明同学解方程：2(x−2)=(x−2)2的过程如下：

小明：两边同除以(x−2)，得2=x−2，第一步

则x=4．第二步你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第____步开始出现错误；并写出你的解答过程．4巩固练习(x−2)可能为0，等式两边不能同时除以值可能为0的式子，直接除以(x−2)会漏掉x=2这个根．解：小明的解法不正确，从第一步开始出错．

正确解答过程如下：

2(x−2)=(x−2)2，

移项，得

2(x−2)−(x−2)2=0，

提取公因式，得(x−2)(2−x+2)=0，

整理得(x−2)(4−x)=0，

则

x−2=0或4−x=0，

解得

x1=2，x2=4．4巩固练习4巩固练习

4巩固练习快速核对答案4巩固练习4.如图，把小圆形场地的半径增加5m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为9:4.求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为r，

根据题意得4π(r+5)2=9πr2.

变形得

4(r+5)2−9r2=0.

因式分解得(2r+10+3r)(2r+10−3r)=0.

所以

5r+10=0或10−r=0.

所以

r1=−2(舍去)，r2=10.答：小圆形场地的半径为10m.5当堂检测1.方程(x+1)(x−1)=0的根是

．

方程

x(x+4)=0的根是

．

方程(3−x)(x−3)=0的根是

．

方程2(x+3)(x+4)=0的根是

．x1=−1，x2=1x1=0，x2=−4x1=x2=3x1=−3，x2=−42.已知方程x2−9x+14=0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（

）

A．4 B．5 C．6 D．7D5当堂检测3.若实数k、b是一元二次方程(x+3)(x−1)=0的两个根，且k<b，则一次函数y=kx+b的图象不经过（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限C5当堂检测5当堂检测3.用因式分解法解方程：(1)5x2=6x；(2)(m+1)2=4(m+1)；

解：

(m+1)2=4(m+1)，(m+1)2−4(m+1)=0