初中九年级数学下册（北师大版）圆章节完全知识清单

初中九年级数学下册（北师大版）圆章节完全知识清单一、圆的定义与相关概念【基础】【高频考点】1、圆的定义（静态与动态）：在平面内，线段绕其固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。固定的端点叫做圆心，线段的长叫做半径。从集合的观点看，圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合。定点称为圆心，定长称为半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。以点为圆心的圆记作“”，读作“圆”。2、圆的有关概念【重要】：（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最长的弦，且直径等于半径的倍。（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以、为端点的弧记作，读作“圆弧”或“弧”。（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（5）优弧与劣弧：大于半圆的弧叫做优弧（通常用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧。（6）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。（7）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。★注意：仅仅长度相等的弧不一定是等弧，必须在同圆或等圆的前提下，且能完全重合。（8）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。3、易错点辨析【难点】：（1）直径是弦，但弦不一定是直径，只有经过圆心的弦才是直径。（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆。（3）等弧只存在于同圆或等圆中。二、点与圆的位置关系【基础】【高频考点】1、位置关系分类：设的半径为，点到圆心的距离为，则有：（1）点在圆外；（2）点在圆上；（3）点在圆内。2、判定方法【重要】：点与圆的位置关系是由点到圆心的距离与半径的大小关系来决定的。这既是性质，也是判定方法。3、拓展与应用：两点确定无数个圆，这些圆的圆心在线段的垂直平分线上；不在同一直线上的三个点确定一个圆。三、圆的对称性【基础】1、旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合，这是圆特有的性质。2、中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心。3、轴对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线（或者说直径所在的直线）。圆有无数条对称轴。★注意：对称轴是直线，不能说“直径是圆的对称轴”。四、垂径定理及其推论【核心考点】【★★★★★】1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（包括优弧和劣弧）。★几何语言表述：如图，在中，直径弦于点，则，，（弧），（弧）。2、垂径定理的推论【难点】：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。3、常用辅助线模型【解题技巧】：（1）过圆心作弦的垂线，构造直角三角形（弦的一半、弦心距、半径构成直角三角形）。（2）连接圆心和弦的端点，构造半径。（3）在圆中解决弦长、弦心距、半径等问题时，常利用勾股定理建立方程求解。设半径为，弦长为，弦心距为，则有。4、考点与考向：（1）利用垂径定理求弦长、半径或拱形桥问题。（2）垂径定理与勾股定理结合求解。（3）分类讨论思想：当弦的位置不确定时（如在圆心的同侧或异侧），需要分类讨论两条弦之间的距离。五、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【核心考点】【★★★★】1、定理【重要】：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。2、推论【高频考点】：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。简称“知一推三”。3、运用本定理的前提条件：必须强调“在同圆或等圆中”。4、弧的度数：圆心角的度数与它所对弧的度数相等。六、圆周角定理及其推论【核心考点】【★★★★★】1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。★注意：顶点必须在圆上，两边必须与圆相交。2、圆周角定理【最重要】：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。3、圆周角定理的推论【高频考点】：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。★这是证明垂直和构造直角三角形的重要依据。（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。4、圆内接四边形性质【重要】：（1）圆内接四边形的对角互补。（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。5、解题思路：（1）遇到圆周角，可尝试连接圆心，构造圆心角，利用倍半关系解题。（2）遇到直径，常构造直径所对的圆周角，得到直角三角形。（3）在圆中，常通过等弧、等弦转换角相等。七、确定圆的条件与外心【基础】1、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心【重要】：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。4、外心的性质【难点】：（1）外心到三角形三个顶点的距离相等（等于外接圆的半径）。（2）锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部。八、直线与圆的位置关系【基础】【高频考点】1、直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。2、判定方法：设的半径为，圆心到直线的距离为，则有：（1）直线与圆相交（有两个公共点）；（2）直线与圆相切（有一个公共点）；（3）直线与圆相离（无公共点）。3、切线的判定定理【核心考点】：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。★判定切线的方法【解题步骤】：（1）连半径，证垂直（直线与圆有公共点时）。（2）作垂直，证半径（不确定直线与圆是否有公共点时）。4、切线的性质定理【核心考点】：圆的切线垂直于过切点的半径。★常用辅助线：见切线，连切点，得垂直。5、切线长定理【重要】：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。★常用结论：如图，是的两条切线，则，，平分，且点与圆心连线垂直平分切点弦。九、三角形的内切圆与内心【重要】1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。3、内心的性质【难点】：（1）内心到三角形三边的距离相等（等于内切圆的半径）。（2）内心一定在三角形的内部。（3）面积法求内切圆半径：，其中为三角形面积，为半周长，为内切圆半径。（4）直角三角形内切圆半径公式：（其中、为直角边，为斜边）。十、圆与圆的位置关系（拓展视野）1、设两圆的半径分别为和，圆心距为，则：（1）外离；（2）外切；（3）相交；（4）内切；（5）内含（）；（6）同心圆（且）。十一、正多边形与圆【基础】1、把一个圆分成等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正边形。2、正边形的中心：正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。3、正边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。4、正边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。中心角。5、正边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。6、正多边形的有关计算：常将正边形分割成个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的顶角即为中心角。十二、弧长与扇形面积【高频考点】【★★★】1、弧长公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式为：。★注意：公式中的表示圆心角的度数，不带单位。2、扇形面积公式【重要】：（1）已知圆心角和半径：。（2）已知弧长和半径：。★注意：扇形面积公式与弧长公式的联系：。3、圆锥的侧面积和全面积【高频考点】：（1）圆锥的侧面展开图是一个扇形。（2）设圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积公式：。（3）圆锥的全面积公式：。★重要关系：圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，即。圆锥的母线长等于侧面展开图扇形的半径。十三、圆幂定理（补充拓展，高频压轴题）【难点】1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。即：如图，弦与相交于点，则。2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：如图，是的切线，是割线，则。3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。即：如图，是的两条割线，则。十四、本章常用数学思想与方法【总结提升】1、数形结合思想【最重要】：利用圆心角、圆周角、弦心距等几何量之间的关系，结合图形性质，转化为代数方程求解。2、分类讨论思想【高频易错】：（1）点与圆的位置关系不确定时（如点在圆内或圆外）。（2）两条弦在圆心的同侧或异侧时。（3）两圆相切（内切或外切）或相交（圆心在公共弦的同侧或异侧）时。3、转化思想：将圆周角问题转化为圆心角问题；将不规则图形面积转化为规则图形的和差；将圆锥侧面积转化为扇形面积。4、方程思想：在垂径定理、切线的计算中，常常通过设未知数，利用勾股定理或相似三角形对应边成比例建立方程。5、辅助线技巧总结【解题宝典】：（1）有关弦的问题，常作弦心距。（2）有关直径的问题，常构造直径所对的圆周角。（3）有关切线的问题，常连接圆心与切点。（4）有关三角形内切圆的问题，常连接内心与顶点、内心与切点。（5）证明两线段相等，常利用在同圆中弦相等或弧相等。十五、中考考点预测与题型分析【应考策略】1、选择题与填空题【基础】：主要考查圆的基本概念、点与圆、直线与圆的位置关系判断、圆心角与圆周角的关系、垂径定理的简单计算、正多边形与圆、弧长与扇形面积的计算。2