初中七年级数学《因式分解的引入与提取公因式法》教案

初中七年级数学《因式分解的引入与提取公因式法》教案

  一、教学指导思想与理论依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养为导向，秉承“以学生发展为本”的课程改革核心理念。数学教学不仅是知识的传授，更是思维方式的塑造和解决问题能力的培养。因式分解作为代数式恒等变形的关键枢纽，其教学价值远超技能训练本身。本设计立足于“单元整体教学”视角，将因式分解置于“整式”知识体系的宏观脉络中，强调其与整式乘法的互逆关系，帮助学生构建具有逻辑性和生长性的代数知识网络。同时，本设计积极践行“深度学习”理念，通过创设具有挑战性的现实与数学情境，引导学生经历“感知—归纳—抽象—应用—迁移”的完整认知过程，在探索公因式提取法则的过程中，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养。此外，设计中渗透跨学科联系，展现代数工具在简化实际问题模型、优化计算过程中的普适价值，拓宽学生的数学视野，培养其跨学科应用意识。

  二、教学背景分析

  （一）教材内容分析

  因式分解是“整式的乘除”单元的重要组成部分，是连接整式乘法与后续学习分式运算、一元二次方程、二次函数等内容的桥梁与关键节点。沪教版教材在七年级上册安排此内容，遵循了学生的认知发展规律。教材通常从具体数字的因数分解类比引入，通过几何图形面积的不同表示方法，直观揭示因式分解与整式乘法的互逆关系，进而聚焦于“提取公因式法”这一最基本、最核心的因式分解方法。本课时的内容具有奠基性，其掌握的扎实程度直接影响后续多种因式分解方法（如公式法、分组分解法）的学习，乃至整个代数变形能力的提升。因此，教学需在讲清算理、明晰概念本质的基础上，进行适度、有效的技能训练。

  （二）学生学情分析

  七年级学生已经系统地学习了有理数的运算、整式的概念以及整式的加减运算，并对整式的乘法（尤其是单项式乘多项式、多项式乘多项式）有了初步的掌握。他们的抽象逻辑思维正处于从具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期，具备了一定的观察、归纳和类比能力，但对于“互逆运算”这一抽象关系的理解，以及将多项式中各项的“公共部分”抽象为“公因式”并进行提取的逆向思维过程，仍可能存在思维障碍。部分学生可能将因式分解机械地理解为一种“拆项”或“分组”的技巧，而忽视其恒等变形的本质及其在简化运算、解决问题中的目的性。此外，学生在寻找公因式时，容易忽略系数部分的最大公约数，或对字母因式及其指数法则应用不熟练。因此，教学设计需提供充分的直观支撑和思维脚手架，引导学生完成从“正运算”（乘法）到“逆运算”（分解）的思维转换，深刻理解操作背后的数学原理。

  （三）教学重点与难点

  教学重点：1.理解因式分解的概念及其与整式乘法的互逆关系。2.掌握提取公因式法分解因式的步骤与规范。

  教学难点：1.准确、完整地识别多项式各项的公因式（特别是当公因式为多项式时）。2.理解因式分解作为一种恒等变形的目的与意义，而非孤立的技巧。3.克服正向乘法思维的定势，建立逆向分解的思维模式。

  三、教学目标

  基于以上分析，确立本课时教学目标如下：

  （一）知识与技能

  1.能用自己的语言阐述因式分解的意义，并能举例说明因式分解与整式乘法的互逆关系。

  2.能准确找出多项式各项的公因式（包括数字系数和字母因式）。

  3.能熟练、规范地运用提取公因式法将多项式分解因式。

  4.初步体会因式分解在简化数值计算、代数式求值等问题中的应用。

  （二）过程与方法

  1.经历从具体数字分解、几何图形面积关系到代数式变形的抽象过程，体会类比、从特殊到一般的数学思想方法。

  2.通过观察、比较、归纳多项式的结构特征，自主探究并概括提取公因式的方法与步骤，发展合情推理与归纳概括能力。

  3.在解决层次递进的问题串中，经历“尝试—辨析—修正—完善”的思维过程，提升代数运算的准确性和解决复杂问题的策略性。

  （三）情感态度与价值观

  1.通过感受因式分解带来的计算简便性，体验数学的简洁之美与力量之美，增强学习代数的兴趣和信心。

  2.在小组合作探究与交流中，培养勇于探索、严谨求实的科学态度和乐于分享、善于倾听的合作精神。

  3.通过了解因式分解在密码学、计算机图形学等领域的应用背景，体会数学的基础性和工具性价值，树立跨学科应用的意识。

  四、教学策略与方法

  为实现深度教学，本设计采用以下策略与方法：

  （一）情境创设策略：采用“双线并行”的情境引入。一是生活应用线，如通过计算特定图案面积优化材料裁剪；二是纯数学线，如通过简便计算激发认知冲突。两条线索共同指向“化繁为简”的核心思想。

  （二）概念建构策略：采用“类比迁移”与“变式辨析”相结合的方式。从学生熟知的整数因数分解、分配律逆用出发，搭建认知桥梁。通过正例、反例、易错例的辨析，不断修正和完善对因式分解概念及公因式内涵的理解。

  （三）探究学习策略：对于提取公因式法的法则，不直接灌输，而是设计“探究任务单”，引导学生在分析典型多项式的过程中，自主发现公因式的构成要素（系数、相同字母、最低次幂），并合作总结操作步骤。

  （四）分层递进策略：练习设计遵循“巩固基础—能力提升—拓展应用”的梯度。设置必做题、选做题和挑战题，满足不同层次学生的发展需求，让每个学生都能获得成功的体验和思维的进阶。

  （五）技术融合策略：恰当运用动态几何软件（如GeoGebra）展示图形面积分割，直观验证因式分解的恒等性；利用互动反馈系统即时收集学情，精准调整教学节奏。

  五、教学准备

  1.教师准备：精心设计的多媒体课件（含情境动画、探究指引、变式例题、分层练习）；GeoGebra动态演示文件；实物投影仪或同屏软件；课堂互动反馈工具（如投票器或在线互动平台）。

  2.学生准备：复习整式乘法的相关公式；预习教材相关内容；准备课堂练习本和导学案。

  3.环境准备：便于小组合作讨论的座位安排。

  六、教学过程实施

  （一）第一阶段：创设情境，孕伏新知——感受“分解”的必要（约10分钟）

  1.活动一：巧算激疑，唤醒旧知

  教师引导：“同学们，我们已学过多项式的乘法，它能把乘积形式化为和差形式。今天，我们先来挑战两个计算小能手题目。”

  问题呈现：

  （1）请快速计算：123

×

57

+

123

×

43

123\times57+123\times43

123×57+123×43。

  （2）已知a

=

2023

a=2023

a=2023，请计算a

2

+

a

a^2+a

a2+a的值。

  学生活动：独立计算。对于第（1）题，多数学生能迅速利用分配律逆运算（即提取公因数）得到123

×

(

57

+

43

)

=

123

×

100

=

12300

123\times(57+43)=123\times100=12300

123×(57+43)=123×100=12300。对于第（2）题，直接代入计算略显繁琐。

  教师追问：“第（1）题为什么算得快？用到了什么运算律的逆形式？第（2）题能否也像第（1）题那样，先进行变形，让计算变得更简单呢？”

  设计意图：从数字运算的简便计算入手，唤醒学生对“提取公因数”这一已有经验的记忆，并自然迁移到字母表示数的代数式运算中，制造认知冲突，激发探究“代数式是否也能先变形再求值”的欲望，为引入因式分解的应用价值做铺垫。

  2.活动二：形数结合，初识关系

  教师引导：“代数是抽象的，图形是直观的。让我们借助图形来理解一种新的代数变形。”

  问题呈现：如图，有一个由三个小矩形拼接成的大长方形。它们的边长如图所示（分别标为a

,

b

,

c

,

m

,

n

a,b,c,m,n

a,b,c,m,n）。请用两种不同的方法表示这个大长方形的总面积。

  学生活动：观察图形，小组讨论。方法一：整体看，长为(

m

+

n

)

(m+n)

(m+n)，宽为a

a

a，面积为a

(

m

+

n

)

a(m+n)

a(m+n)。方法二：分割看，三个小矩形面积分别为a

m

,

a

n

,

b

(

m

+

n

)

am,an,b(m+n)

am,an,b(m+n)…（此处可根据具体图形设计，关键是要得到像a

(

m

+

n

)

+

b

(

m

+

n

)

a(m+n)+b(m+n)

a(m+n)+b(m+n)这样的式子）。

  教师利用GeoGebra动态演示：拖动图形分割线，直观展示不同方法计算的是同一个图形的面积，因此对应的代数表达式是相等的。进而板书：a

(

m

+

n

)

+

b

(

m

+

n

)

=

(

a

+

b

)

(

m

+

n

)

a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)

a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)。

  教师引导：“从左到右看，这是乘法分配律的扩展应用。那么，从右向左看呢？我们把一个乘积形式的多项式(

a

+

b

)

(

m

+

n

)

(a+b)(m+n)

(a+b)(m+n)，写成了两个多项式相加的形式a

(

m

+

n

)

+

b

(

m

+

n

)

a(m+n)+b(m+n)

a(m+n)+b(m+n)。反过来，能否把左边这个和的形式a

(

m

+

n

)

+

b

(

m

+

n

)

a(m+n)+b(m+n)

a(m+n)+b(m+n)，重新写回乘积形式？”

  设计意图：通过几何背景，赋予代数式具体的几何意义，使学生直观理解两个代数式相等的本质。同时，明确点出“正向”是整式乘法，“逆向”就是本节课要研究的新问题——因式分解。形数结合降低了抽象概念的认知门槛，并深刻地揭示了因式分解与整式乘法的互逆关系。

  （二）第二阶段：抽象概括，建构概念——理解“因式分解”的意义（约15分钟）

  1.活动三：类比归纳，明确概念

  教师引导：“请类比我们学过的‘整数因数分解’（如12

=

3

×

4

12=3\times4

12=3×4），观察刚才得到的等式a

(

m

+

n

)

+

b

(

m

+

n

)

=

(

a

+

b

)

(

m

+

n

)

a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)

a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)的‘逆向’过程，你认为什么是多项式的‘因式分解’？试着和你的同桌讨论一下。”

  学生活动：小组讨论，尝试描述。可能会说出“把一个多项式变成几个整式相乘”、“像分解因数一样分解多项式”等。

  教师精讲与板书：

  （1）定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

  （2）要点辨析：

    •对象：一个多项式。

    •结果：几个整式的积（必须是乘积形式）。

    •范围：在指定数系内（通常是有理数范围），每个整式不能再分解为止。

  （3）关系：因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形过程。

  板书对比：

    整式乘法：(

a

+

b

)

(

m

+

n

)

⟶

a

(

m

+

n

)

+

b

(

m

+

n

)

(a+b)(m+n)\longrightarrowa(m+n)+b(m+n)

(a+b)(m+n)⟶a(m+n)+b(m+n)（积→和/差）

    因式分解：a

(

m

+

n

)

+

b

(

m

+

n

)

⟶

(

a

+

b

)

(

m

+

n

)

a(m+n)+b(m+n)\longrightarrow(a+b)(m+n)

a(m+n)+b(m+n)⟶(a+b)(m+n)（和/差→积）

  2.活动四：概念辨析，深化理解

  教师出示辨析题：判断下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？为什么？

  （1）x

2

−

4

=

(

x

+

2

)

(

x

−

2

)

x^2-4=(x+2)(x-2)

x2−4=(x+2)(x−2)（是）

  （2）(

x

+

2

)

(

x

−

2

)

=

x

2

−

4

(x+2)(x-2)=x^2-4

(x+2)(x−2)=x2−4（否，是整式乘法）

  （3）x

2

+

3

x

+

2

=

x

(

x

+

3

)

+

2

x^2+3x+2=x(x+3)+2

x2+3x+2=x(x+3)+2（否，结果不是积的形式）

  （4）a

2

+

2

a

b

+

b

2

=

(

a

+

b

)

2

a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

a2+2ab+b2=(a+b)2（是）

  （5）2

a

+

4

=

2

(

a

+

2

)

2a+4=2(a+2)

2a+4=2(a+2)（是）

  学生活动：独立思考后回答，并阐述理由。重点辨析（2）和（3），强化对变形方向和结果形式的理解。

  教师追问：“对于（5），数字‘2’算不算一个整式？”（明确单项式也是整式）“我们把‘2’叫做多项式2

a

+

4

2a+4

2a+4与因式a

+

2

a+2

a+2的什么？”（引出“公因式”的雏形）

  设计意图：通过类比和正反例辨析，帮助学生剥离非本质特征，抓住因式分解概念的核心要素。明确的对比板书，使学生将新知识清晰地锚定在已有的整式乘法知识框架中，形成完整的认知结构。对简单例子的追问，为下一环节探究“公因式”埋下伏笔。

  （三）第三阶段：探究方法，掌握技能——学习“提取公因式法”（约25分钟）

  1.活动五：探究发现，何为“公因式”

  教师引导：“我们看这个成功的因式分解：2

a

+

4

=

2

(

a

+

2

)

2a+4=2(a+2)

2a+4=2(a+2)。观察左边多项式2

a

2a

2a和4

4

4这两项，它们有什么公共的因数？这个公共的因数‘2’在变形中起到了什么作用？”

  学生回答：公共的因数是2。它被提到括号外面，括号里面是原多项式各项除以这个公因数后的结果。

  教师出示探究任务单：请分析以下多项式，找出各项的“公共部分”（公因式），并尝试完成分解。

  （1）3

x

+

6

y

3x+6y

3x+6y（公因式：3）

  （2）a

2

b

+

a

b

2

a^2b+ab^2

a2b+ab2（公因式：ab）

  （3）4

x

2

−

6

x

4x^2-6x

4x2−6x（公因式：2x）

  （4）−

12

x

3

y

2

+

8

x

2

y

3

−

4

x

2

y

2

-12x^3y^2+8x^2y^3-4x^2y^2

−12x3y2+8x2y3−4x2y2（公因式：4

x

2

y

2

4x^2y^2

4x2y2？符号？）

  学生活动：小组合作探究。重点讨论：公因式可以是数、字母，也可以是数与字母的乘积。如何确定系数部分？如何确定字母部分及其指数？

  师生共同归纳：

  （1）公因式的确定：

    •系数：取多项式各项系数的最大公约数。

    •字母：取多项式各项都含有的相同字母。

    •指数：取相同字母的最低次幂。

  （2）提取公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积形式。这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

  2.活动六：规范步骤，突破难点

  教师以(4)−

12

x

3

y

2

+

8

x

2

y

3

−

4

x

2

y

2

-12x^3y^2+8x^2y^3-4x^2y^2

−12x3y2+8x2y3−4x2y2为例，板演规范步骤：

  第一步：找公因式。

    系数：−

12

,

8

,

−

4

-12,8,-4

−12,8,−4的最大公约数是4

4

4。

    字母：各项都含有x

,

y

x,y

x,y。

    指数：x

x

x的最低指数是2

2

2，y

y

y的最低指数是2

2

2。

    故公因式为4

x

2

y

2

4x^2y^2

4x2y2。

  第二步：提公因式。

    将每一项都写成公因式与另一个因式的积：

    −

12

x

3

y

2

=

(

4

x

2

y

2

)

⋅

(

−

3

x

)

-12x^3y^2=(4x^2y^2)\cdot(-3x)

−12x3y2=(4x2y2)⋅(−3x)

    8

x

2

y

3

=

(

4

x

2

y

2

)

⋅

(

2

y

)

8x^2y^3=(4x^2y^2)\cdot(2y)

8x2y3=(4x2y2)⋅(2y)

    −

4

x

2

y

2

=

(

4

x

2

y

2

)

⋅

(

−

1

)

-4x^2y^2=(4x^2y^2)\cdot(-1)

−4x2y2=(4x2y2)⋅(−1)

  第三步：写结果。

    原式=4

x

2

y

2

⋅

[

(

−

3

x

)

+

(

2

y

)

+

(

−

1

)

]

4x^2y^2\cdot[(-3x)+(2y)+(-1)]

4x2y2⋅[(−3x)+(2y)+(−1)]

    =4

x

2

y

2

(

−

3

x

+

2

y

−

1

)

4x^2y^2(-3x+2y-1)

4x2y2(−3x+2y−1)

  教师强调关键点与易错点：

  （1）首项为负时，公因式符号宜为负：为使括号内第一项系数为正，常将负号一并提取。上例也可提−

4

x

2

y

2

-4x^2y^2

−4x2y2，则结果=−

4

x

2

y

2

(

3

x

−

2

y

+

1

)

-4x^2y^2(3x-2y+1)

−4x2y2(3x−2y+1)。两种结果本质一致，但后者括号内更简洁。

  （2）提取要彻底：必须检查括号内的多项式是否还有公因式。

  （3）勿漏“1”：某项与公因式完全相同时，提取后括号内该项是“1”，不是“0”。

  （4）多项式公因式：展示如2

a

(

x

−

y

)

+

3

b

(

x

−

y

)

2a(x-y)+3b(x-y)

2a(x−y)+3b(x−y)的例子，引导学生识别(

x

−

y

)

(x-y)

(x−y)作为一个整体看作公因式。

  3.活动七：初步演练，巩固方法

  学生练习（板演与巡堂结合）：

  （1）8

a

3

b

2

−

12

a

b

3

c

8a^3b^2-12ab^3c

8a3b2−12ab3c

  （2）−

2

m

3

+

4

m

2

−

2

m

-2m^3+4m^2-2m

−2m3+4m2−2m

  （3）3

x

(

y

−

z

)

−

2

(

z

−

y

)

3x(y-z)-2(z-y)

3x(y−z)−2(z−y)（难点：将(

z

−

y

)

(z-y)

(z−y)转化为−

(

y

−

z

)

-(y-z)

−(y−z)以出现公因式）

  教师组织互评：重点点评步骤的规范性、结果的正确性，特别是易错点的防范。

  设计意图：本阶段是技能形成的关键。通过探究任务驱动学生自主发现公因式的构成法则，变被动接受为主动建构。教师的规范板演和关键点强调，为学生提供了清晰的操作模板和思维警示。分层设置的练习题，从直接提取到需要符号变换，逐步增加思维含量，使技能训练落到实处。

  （四）第四阶段：分层应用，拓展思维——体会“因式分解”的价值（约20分钟）

  1.应用层次一：基础巩固，熟练技能

  必做题组：

  （1）找出下列各多项式的公因式：

    ①15

a

2

+

10

a

15a^2+10a

15a2+10a②4

x

y

2

−

6

x

2

y

3

4xy^2-6x^2y^3

4xy2−6x2y3③−

8

m

2

n

−

2

m

n

-8m^2n-2mn

−8m2n−2mn

  （2）用提取公因式法分解因式：

    ①6

p

(

p

+

q

)

−

4

q

(

p

+

q

)

6p(p+q)-4q(p+q)

6p(p+q)−4q(p+q)②12

x

y

z

−

9

x

2

y

2

12xyz-9x^2y^2

12xyz−9x2y2

    ③2

a

(

b

−

c

)

−

3

(

c

−

b

)

2a(b-c)-3(c-b)

2a(b−c)−3(c−b)④5

(

x

−

y

)

3

+

10

(

y

−

x

)

2

5(x-y)^3+10(y-x)^2

5(x−y)3+10(y−x)2

  2.应用层次二：综合应用，解决问题

  选做题组：

  （1）简便计算：2023

2

+

2023

×

2025

−

2024

×

2023

2023^2+2023\times2025-2024\times2023

20232+2023×2025−2024×2023（利用因式分解）

  （2）代数式求值：已知a

+

b

=

5

,

a

b

=

3

a+b=5,ab=3

a+b=5,ab=3，求a

2

b

+

a

b

2

a^2b+ab^2

a2b+ab2的值。

  （3）简单推理：证明：81

7

−

27

9

−

9

13

81^7-27^9-9^{13}

817−279−913能被45

45

45整除。（提示：将各数化为以3为底的幂，并提取公因式）

  3.应用层次三：跨学科联系，开阔视野

  挑战/拓展题组：

  （1）（联系物理）已知矩形面积公式为S

=

a

b

S=ab

S=ab。现有两个矩形，一个长为(

x

+

2

)

(x+2)

(x+2)，宽为x

x

x；另一个长为(

x

+

2

)

(x+2)

(x+2)，宽为3

3

3。用因式分解的方法，简洁地表示这两个矩形的总面积，并说明这种表示在比较面积大小或进行比例计算时的优势。

  （2）（联系编程思维）在计算机程序中，对多项式进行因式分解后，可以大幅减少在重复代入不同变量值时的乘法运算次数，提升效率。例如，计算f

(

x

)

=

6

x

3

+

9

x

2

+

3

x

f(x)=6x^3+9x^2+3x

f(x)=6x3+9x2+3x在多个x

x

x值时的结果。请将f

(

x

)

f(x)

f(x)分解因式，并说明如果需要计算x

=

1

,

10

,

100

,

1000

x=1,10,100,1000

x=1,10,100,1000时的函数值，分解后的形式如何节约计算步骤。

  学生活动：根据自身情况选择完成。教师巡视，对选做题和挑战题进行个别或小组指导。随后针对共性问题进行集中讲解。

  设计意图：分层练习设计尊重了学生的个体差异，确保全体学生掌握核心技能（层次一），同时为学有余力的学生提供发展空间（层次二、三）。将因式分解应用于简便计算、求值、证明，体现了其数学工具价值。跨学科联系的设计，打破了学科壁垒，让学生初步感知代数变形在优化实际计算、简化模型表达中的广泛应用，激发其深入学习的动力，完美体现跨学科视野。

  （五）第五阶段：反思总结，升华认知——构建知识体系（约10分钟）

  1.活动八：自主整理，构建网络

  教师引导：“请同学们回顾本节课的探索历程，用思维导图或关键词的形式，梳理你的收获。可以围绕以下几个问题：我们为何要学习因式分解？什么是因式分解？我们今天学到了哪种方法？它的关键步骤是什么？学习中需要注意什么？”

  学生活动：独立整理，然后小组交流，相互补充。教师请几位学生代表展示分享。

  2.师生共同总结升华：

  （1）意义层面：因式分解是代数恒等变形的重要工具，目的是化“和差”为“积”，便于简化计算、求解方程、分析性质等