2025-2026学年甘肃省兰州市学府致远学校高一下册期中测试数学试题 含解析

/数学第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.已知，则（）A. B. C. D.4.已知，，若，则（）A.-1 B.-7 C.1 D.75.数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（）A.3 B.5 C.6 D.76.如图，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（）A. B.C. D.7.已知向量，满足，，且，则与的夹角（）A. B. C. D.8.在中，若，，则形状为（）A.等边三角形 B.等腰但不等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知一组数据为，且这组数据的众数为8，那么下列选项正确的是（）A.中位数是8 B.平均数是6C. D.10.下列各式的值为1的是（）A. B.C. D.11.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A.若，则有两解B.若是锐角三角形，则C.若，则为等腰三角形D.若是钝角三角形且，则实数k的取值范围为第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.___________．13.在中，若，则___________．14.两组各有4位同学，他们某周的课外运动时长（单位：）记录如下：A组5678B组689①设两组同学该周课外运动时长的平均数分别为，则__________；（填“”“”或“”）②设两组同学该周课外运动时长的方差分别为，则__________.（填“”“”或“<”）四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设是不共线的两个向量．（1）若，证明：A，B，C三点是否共线；（2）若与共线，求实数k的值．16.中国AI大模型正处于一个技术进步、市场规模增长的爆发式发展阶段．为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了200名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照、、、、进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求m的值；（2）现要再对关于“AI大模型的使用体验”进行问卷调查，如果按照年龄进行分层抽样，要抽取一个容量为20的样本，则年龄在内的用户要抽取多少人？（3）估计这200名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．17.已知向量．（1）当时，求实数的值．（2）当时，求向量与的夹角的余弦值．18.已知，且是锐角．（1）求的值；（2）求和的值；（3）求和的值．19.向量，函数．（1）求的最小正周期和单调减区间；（2）函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求的解析式，若，且，求的值．

数学第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：2.（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：.3.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用二倍角的余弦公式，即可求解.解答过程：由，得．4.已知，，若，则（）A.-1 B.-7 C.1 D.7答案：A解析：思路：根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.解答过程：由向量，，因为，可得，解得.5.数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（）A.3 B.5 C.6 D.7答案：D解析：解答过程：将数据从小到大排列：2，3，3，5，6，7，8，10，因为，不是整数，所以该组数据的第70百分位数为第6个数字，即7.6.如图，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：将用、表示，然后利用平面向量的减法可得出关于、的表达式.解答过程：因为为线段的中点，则，因为点是线段上靠近的三等分点，则，因此，.故选：A.7.已知向量，满足，，且，则与的夹角（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意可得，解得，因为，，所以.8.在中，若，，则形状为（）A.等边三角形 B.等腰但不等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案：A解析：解答过程：因为，且，所以.因为，由正弦定理得，因为sinB>0，所以因为，所以，所以.故为等边三角形．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知一组数据为，且这组数据的众数为8，那么下列选项正确的是（）A.中位数是8 B.平均数是6C. D.答案：ABD解析：思路：借助众数定义可得，再利用中位数与平均数定义计算即可得.解答过程：由这组数据的众数为8，故，则这组数据为，则这组数据中位数是8，平均数为，故A、B、D正确，C错误.10.下列各式的值为1的是（）A. B.C. D.答案：BC解析：思路：利用和差角公式、二倍角公式逐项求解判断.解答过程：对于A，，A不是；对于B，，B是；对于C，，C是；对于D，，D不是.故选：BC11.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A.若，则有两解B.若是锐角三角形，则C.若，则为等腰三角形D.若是钝角三角形且，则实数k的取值范围为答案：ABD解析：思路：利用正弦定理求，根据正弦函数性质，结合大边对大角判断判断A选项；利用正弦函数的单调性与诱导公式判断的大小判断B选项；利用正弦函数的单调性与对称性确定的关系判断C选项；根据三角形性质可得，结合大边对大角可得为钝角，根据余弦定理列方程求的范围判断D选项.解答过程：对于A选项，，根据正弦定理，，，，所以有两解，所以有两解，故A正确；对于B选项，若为锐角三角形，则，所以，，因为正弦函数在上为增函数，则，B正确；对于C选项，因为、，则、，因为，所以或或，若，则；若，则；若，则，这与的内角和定理矛盾.综上所述，为等腰或直角三角形，C错误；对于D选项，因为为的三边，所以，故，当时，最大边为，钝角三角形中最大角为钝角，由余弦定理，所以，化简得，解得，结合可得，D正确.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.___________．答案：1解析：思路：运用正弦的和角公式即可求解.解答过程.13.在中，若，则___________．答案：##解析：思路：已知边，角以及角的余弦值，可先由同角三角函数关系求出，再由正弦定理求出.解答过程：在△ABC中，因为，所以又因为，所以，由正弦定理，得，所以.14.两组各有4位同学，他们某周的课外运动时长（单位：）记录如下：A组5678B组689①设两组同学该周课外运动时长的平均数分别为，则__________；（填“”“”或“”）②设两组同学该周课外运动时长的方差分别为，则__________.（填“”“”或“<”）答案：①.②.解析：解答过程：易知两组同学该周课外运动时长的平均数分别为，所以；两组同学该周课外运动时长的方差分别为，，所以，因此.四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设是不共线的两个向量．（1）若，证明：A，B，C三点是否共线；（2）若与共线，求实数k的值．答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：（1）利用向量的线性运算及共线向量定理推理得证..（2）利用共线向量定理列式计算即得.（1）证明：由，得，，因此向量与共线，且有公共点，所以，B，C三点共线.（2）由与共线得存在实数，使得，即，而向量与不共线，则，解得，，所以实数k的值为.16.中国AI大模型正处于一个技术进步、市场规模增长的爆发式发展阶段．为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了200名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照、、、、进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求m的值；（2）现要再对关于“AI大模型的使用体验”进行问卷调查，如果按照年龄进行分层抽样，要抽取一个容量为20的样本，则年龄在内的用户要抽取多少人？（3）估计这200名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．答案：（1）（2）8人（3）岁解析：思路：（1）由频率分布直方图得所有矩形面积和为1，即可计算的值；（2）先计算年龄在内的频率，进而可估计样本中年龄在内的人数；（3）由频率分布直方图计算平均数，取各区间中点值乘以频率后再相加即可求解.（1）由频率分布直方图得所有矩形面积和为1，即，解得.（2）年龄在内的频率为，则抽取的样本中该区间人数为人.（3）设这200名中国AI大模型用户年龄的平均数为，由频率分布直方图计算平均数，即.故这200名中国AI大模型用户年龄的平均数为岁17.已知向量．（1）当时，求实数的值．（2）当时，求向量与的夹角的余弦值．答案：（1）（2）解析：（1）由已知，，，由有，解得．（2）由已知，，由有，解得，于是．18.已知，且是锐角．（1）求的值；（2）求和的值；（3）求和的值．答案：（1），（2），（3），解析：思路：（1）利用同角三角函数的关系式即可求出；（2）利用二倍角公式即可；（3）利用两角差的正切公式和两角和的正弦公式即可求出.（1），且是锐角，，.（2）根据二倍角公式可得，.（3）根据两角差的正切公式得，根据两角和的正弦公式得.19.向量，函数．（1）求的最小正周期和单调减区间；（2）函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求的解析式，若，且，求的值．答