2025-2026学年广东惠州市惠阳区第五中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学满分150分，时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.下列导数运算正确的有（）A. B.C. D.2.等比数列中，与的等差中项为80，若，则（）A. B. C.2 D.83.今天是星期五，天以后是星期（）A.一 B.日 C.五 D.六4.某中学第一党支部拟选4名党员到三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（）种A.12 B.24 C.36 D.725.若数列满足，，则（）A.466 B.1024 C.2044 D.40486.如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（）A.20 B.24 C.48 D.727.假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.8.若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（）A.所有可能的安排方法有64种B.若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种C.若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种D.若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去A医院，则不同的安排方法有18种10.已知数列的前项和为，且an+1=aA. B. C. D.11.某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（）A.甲队积分为9分的概率为B.四支球队的积分总和可能为15分C.丙队积分为3分的概率为D.甲队胜2场且乙队胜2场的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，14题第一空2分，第二空3分．12.已知两个随机事件，若，，则_______.13.的展开式中含的项的系数是80，则实数的值为________.14.已知函数fx=lnx+1x+ax，x四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值.16.甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球．（1）若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，①求取出的2个球中至少有一个红球的概率；②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率；（2）若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率．17.生命在于运动。某市开展“学生体质健康提升工程”系列活动，举行一年一度的春季中学生运动会。某校决定从6名运动员(含甲、乙运动员)中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲、乙两人都不入选；（2）甲、乙两人必须入选，且跑中间两棒；（3）甲不跑第一棒乙不跑第四棒.18.已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是，的等差中项.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.19.设函数的定义域为，且的导函数在上的图象是一条连续不断的曲线，已知，且对于任意，都有．（1）判断函数的单调性，并证明：对于任意，都有（2）若在上单调递增，且数列满足．（i）证明：数列单调递减；（ii）记为数列的前项和，证明：对于任意，都有．

数学满分150分，时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.下列导数运算正确的有（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：解答过程：选项A，因为是常数，所以，故A错误；选项B，，故B正确；选项C，，故C错误；选项D，，故D错误，2.等比数列中，与的等差中项为80，若，则（）A. B. C.2 D.8答案：D解析：解答过程：与的等差中项为80，则有，又，解得，等比数列中，，所以.3.今天是星期五，天以后是星期（）A.一 B.日 C.五 D.六答案：D解析：思路：利用二项展开式求出除以7的余数为1可得所求结果.解答过程：因为故除以7的余数为1，故今天是星期五，天以后是星期六.故选：D.4.某中学第一党支部拟选4名党员到三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（）种A.12 B.24 C.36 D.72答案：C解析：解答过程：从4名党员中选出2人作为一组，剩余2人各成一组，分组方法数为组合数.将分好的3组全排列，对应3个不同的社区，排列方法数为.根据分步乘法计数原理，总安排方法数为种.5.若数列满足，，则（）A.466 B.1024 C.2044 D.4048答案：C解析：解答过程：由题设，且，所以是首项、公比均为2的等比数列，则，所以，则.6.如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（）A.20 B.24 C.48 D.72答案：D解析：解答过程：如图所示，首先涂A，剩下BCDE只有3种颜色可供选择，若BD不同色则CE必同色，反之亦然，即BD或CE同色，以颜色为主分类计数，按颜色的多少分两类：第一类：用3种不同颜色时，则区域BD必同色，区域CE也必同色，故共有种，第二类：用4种不同颜色时，若区域BD同色有种，若区域CE同色有种故用四种颜色有种，由加法原理得不同的涂色方法数共有种，D正确.7.假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对选项逐一分析判断即可.解答过程：对A：由，故，故A正确；对B：成立的条件为，为相互独立事件，故B错误；对C：，，成立的条件为，故C错误；对D：，若，则，成立的条件为，为相互独立事件，故D错误.8.若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求得，令，得到，得出在上单调递减，根据题意，转化为在存在零点，列出不等式组，即可求解.解答过程：由函数，可得，其中，令，可得，所以在上为单调递减函数，要使得函数在上有最大值，则函数在上有极大值，则存在，使得在上单调递增，在上单调递减，即有零点，所以，解得，所以实数的取值范围为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（）A.所有可能的安排方法有64种B.若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种C.若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种D.若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去A医院，则不同的安排方法有18种答案：ACD解析：思路：A选项，根据分步计数原理计算出答案；B选项，先从4所医院选择2所，再安排三名专家，利用分步计数原理计算出答案；C选项，先从4所医院选择3所，再进行全排列得到C正确；D选项，再C选项的基础上，计算出每所医院去一人，甲去A医院的安排方法，从而计算出答案.解答过程：A选项，甲、乙、丙三人均有4种选择，故所有可能的安排方法有种，A正确；B选项，先从4所医院选择2所，有种选择，再将三名专家分到两所医院，有种选择，则不同的安排方法有种，B错误；C选项，先从4所医院选择3所，有种选择，再将三名专家和三所医院进行全排列，有种选择，则不同的安排方法有种，C正确；D选项，由C选项可知，三名专家选择三所医院，每所医院去一人，共24种选择，若甲去A医院，从所医院中选两所，和剩余两名专家进行全排列，共有种选择，故不同的安排方法有种，D正确.故选：ACD10.已知数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.答案：ACD解析：思路：利用先求，进而求解.解答过程：由题意得：，即，当时，，故A正确；，故C正确；当时，由得：，所以，即，所以，所以，即，当时，，所以，故B错误；由，所以，故D正确.11.某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（）A.甲队积分为9分的概率为B.四支球队的积分总和可能为15分C.丙队积分为3分的概率为D.甲队胜2场且乙队胜2场的概率为答案：ABD解析：思路：甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，结合独立事件的概率公式判断A；选项B举例说明；选项C分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解；选项D分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解.解答过程：甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，所以概率为，选项A正确；四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，即甲得9分，乙、丙、丁各得2分，四支球队的积分总和为15分，选项B正确；丙队积3分的情况为胜1平0负2或者胜0平3负0，胜1平0负2的概率为，胜0平3负0的概率为，丙队积分为3分的概率为，选项C错误；若甲胜乙，甲队以胜1场，乙队以负1场，甲还需对丙丁胜1场，乙需对丙丁全胜，概率为，若乙胜甲，乙队以胜1场，甲队以负1场，乙还需对丙丁胜1场，甲需对丙丁全胜，概率为，若甲乙平，甲需对丙、丁全胜，乙需对丙、丁全胜，概率为，甲队胜2场且乙队胜2场的概率为选项D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，14题第一空2分，第二空3分．12.已知两个随机事件，若，，则_______.答案：解析：思路：根据条件概率公式求解即可.解答过程：，.故答案为.13.的展开式中含的项的系数是80，则实数的值为________.答案：1解析：思路：根据二项展开式通项，结合的系数求解即可.解答过程：展开式的通项公式，令，得，依题意有，解得.故114.已知函数，若，则的最小值为___________，若在上为单调函数，则的取值范围为___________．答案：①.②.解析：思路：（1）用求导数的方法，利用函数的单调性求函数最值；（2）根据题意，分函数为增函数和减函数两类情况讨论求解.解答过程：当时，，所以，令，解得，由有：，由有：，所以在单调递减，在单调递增，所以fx由在上为单调函数，所以f′x=1x−1x2当在恒成立时，即，令，所以a≥gx恒成立，又gx=1x2所以，所以，当在恒成立，即，即，又，所以所以，所以，综上a∈四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值.答案：（1）（2）单调增区间为，，单调减区间为；极大值为，极小值为.解析：思路：（1）利用导数求出切线的斜率，即可写出切线方程；（2）利用列表法求出单调区间和极值.（1）函数的定义域为R.导函数.所以，，所以函数在点处的切线方程为，即.（2）令，解得：或.列表得：x13+2+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的单调增区间为，；单调减区间为；的极大值为，极小值为.16.甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球．（1）若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，①求取出的2个球中至少有一个红球的概率；②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率；（2）若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率．答案：（1）①；②（2）解析：思路：（1）①设“所取到的2个球中至少有一个红球”为事件，结合古典概型的概率公式和对立事件的概率公式，可求解；②由缩小样本空间求条件概率的方法可求得所求概率；（2）设“从甲袋中取到红球”为事件，“从乙袋中随机取2个球，取到的2个球中恰有1个红球”为事件，根据条件概率公式及全概率公式，可得所求概率.（1）①设“所取到的2个球中至少有一个红球”为事件，则表示取到的2个球全是白球，由题可知，，所以，即取出的2个球中至少有一个红球的概率为；②第1次取到白球，则在第1次取球后，甲袋中有2个红球，2个白球，所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为.（2）设“从甲袋中取到红球”为事件，则.设“从乙袋中随机取2个球，取到的2个球中恰有1个红球”为事件，则，.所以.17.生命在于运动。某市开展“学生体质健康提升工程”系列活动，举行一年一度的春季中学生运动会。某校决定从6名运动员(含甲、乙运动员)中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲、乙两人都不入选；（2）甲、乙两人必须入选，且跑中间两棒；（3）甲不跑第一棒乙不跑第四棒.答案：（1）24；（2）24；（3）252.解析：思路：（1）甲、乙两人都不入选，则剩下的4人参加，对这4个排列即可（2）分2步进行分析：第一步，分析甲、乙两人必须入选且跑中间两棒的安排方法，第二步，在剩下的4人选2人，跑第一棒和第四棒，由分步计数原理计算即可，（3）分两类：一类是甲跑第四棒，另一类若甲不跑第四棒，依据排列组合公式计算第一种情况的排列数目，由分类计数原理计算可得答案解答过程：解：(1)甲、乙两人都不入选，则剩下的4人参加，对这4个排列进行全排列，则共有（2）根据题意，分两步进行：首选，甲、乙两人必须入选且跑中间两棒，则甲、乙两人的排法有种，其次，在剩下的4人选2人，跑第一棒和第四棒，有种，所以分步计算原理可得甲、乙两人必须入选，且跑中间两棒共有种（3）根据题意分两种情况：一种是若甲跑第四棒，此时只需在剩下的5人中任选3人，安排在第一、二、三棒即可，有种安排方法，另一种是若甲不跑第四棒，此时第四棒由除甲、乙外的另外4人中选1人跑，有种，第一棒从除甲之外的4人中选1人跑，有有种，在剩下的4人中任选2人，安排在第二、三棒，有，则共有，所以分类计数原理可得甲不跑第一棒乙不跑第四棒共有种18.已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是，的等差中项.（1）求数列和的