2025-2026学年广东茂名市化州市高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学满分150分．考试时间120分钟．注意事项：一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.的虚部为（）A. B. C.1 D.23.已知函数是幂函数.则（）A. B.2 C. D.14.已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（）A. B. C.12 D.105.已知，，，则（）A. B.C. D.6.函数的零点所在的区间是（）A. B.C. D.7.和是关于的方程的两根，则（）A. B. C. D.8.函数，在上单调递增，求实数的取值范围（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选答案得相应分，错选和不选得0分．9.已知向量，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.已知复数z在复平面上对应的点为，则（）A. B. C. D.是纯虚数11.设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，（且），若，则（）A.的图象关于直线对称 B.C.函数恰有3个零点 D.三、填空题：本大题共3个小题，每个小题5分，共15分.12.已知一个圆锥的母线长为3，侧面积，则此底面半径为___________．13.在中，角、、的对边分别为、、．若，则的最大值为__________．四、解答题：本大题共5个小题，满分共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤14.在中，内角所对的边分别是，已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．15.（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱．（1）求圆锥的表面积和体积；（2）为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出最大值．16.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，若．（1）求△的面积；（2）若，求c．17.已知函数（1）求的单调区间；（2）解不等式；（3）设的最小值为，若正数满足，求的最小值．18.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．（1）求函数的解析式；（2）当，方程有解，求实数的取值范围；（3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．

数学满分150分．考试时间120分钟．注意事项：一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意，，又，所以，所以A选项正确.2.的虚部为（）A. B. C.1 D.2答案：C解析：解答过程：，则的虚部为，故选项C正确.3.已知函数是幂函数.则（）A. B.2 C. D.1答案：C解析：思路：根据函数是幂函数求参数，再求函数值即可.解答过程：因为函数是幂函数，所以，所以，所以，所以.故选：C.4.已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（）A. B. C.12 D.10答案：D解析：思路：求出梯形的面积，再利用斜二测画法直观图与原图形面积关系求解即得.解答过程：梯形中，，而，则梯形的高，因此梯形的面积，而在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的，所以原图形OABC的面积为.故选：D5.已知，，，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用分段法来确定正确答案.解答过程：，，，所以.故选：A6.函数的零点所在的区间是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由函数零点存在性定理求解即可.解答过程：，，函数在区间上有零点，故选：B.7.和是关于的方程的两根，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用二次函数根与系数的关系与两角和正切的计算即可.解答过程：由和是关于的方程的两根，则，，.故选：C8.函数，在上单调递增，求实数的取值范围（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据分段函数的性质可得函数在各段均单调递增，且在断点处右侧的函数值不小于左侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可；解答过程：解：因为在上单调递增，所以解得，即故选：B二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选答案得相应分，错选和不选得0分．9.已知向量，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：AC解析：思路：根据平面向量的坐标运算可判断A，根据两向量垂直的坐标表示可判断B，根据模长的坐标表示可判断C，根据两向量共线的坐标表示可判断D.解答过程：对于A，，所以，解得，故A正确；对于B，因为，所以，解得，故B错误；对于C，，解得，故C正确；对于D，因为，所以，解得，故D错误；故选：AC.10.已知复数z在复平面上对应的点为，则（）A. B. C. D.是纯虚数答案：CD解析：思路：根据题意得，分别求模、共轭复数、化简即可得到结果.解答过程：根据复数z在复平面上对应的点为，则，所以A错；，所以B错；，所以C正确；，所以D正确．故选：CD．方法提示：本题主要考查复数的基本概念的理解，属于基础题.11.设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，（且），若，则（）A.的图象关于直线对称 B.C.函数恰有3个零点 D.答案：AC解析：思路：对于A：根据偶函数以及对称轴的定义分析判断；对于B：根据奇函数定义分析可得，，即可得；对于C：分析函数的周期性，结合图象分析函数的零点；对于D：根据题意结合函数的周期性运算求解.解答过程：对于选项A：因为为偶函数，则，即，所以的图象关于直线对称，故A正确；对于选项B：因为为奇函数，则，即，可知的图象关于点对称，令可得，即，由，令可得，且，可得；由，令可得，即，又因为当时，，则，解得，故B错误；对于选项C：由可得，且，可得，即，可得，即，可知函数的一个周期为4，且当时，，据此可得函数的图象，如图所示：可知函数的零点个数即为函数与的交点个数，由图可知函数与的交点有3个，所以函数恰有3个零点，故C正确；对于选项D：因为，，，则，且函数的一个周期为4，所以，故D错误；故选：AC.三、填空题：本大题共3个小题，每个小题5分，共15分.12.已知一个圆锥的母线长为3，侧面积，则此底面半径为___________．答案：2解析：解答过程：设圆锥的底面圆半径为，由题意知：，所以.13.在中，角、、的对边分别为、、．若，则的最大值为__________．答案：解析：解答过程：由和余弦定理，可得，化简得，故是直角三角形，且，则，，由正弦定理，可得，又因，所以，所以，由可得

，故当，即​时，取最大值

1，此时取得最大值为.四、解答题：本大题共5个小题，满分共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤14.在中，内角所对的边分别是，已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用余弦定理代入计算解方程可得结果；（2）由正弦定理直接计算即可；（3）先由二倍角公式计算得出，再由两角和的正弦公式计算可得结果.（1）由可得，整理可得，即，解得；（2）易知，由可得；由正弦定理可得；（3）因为，；所以.15.（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱．（1）求圆锥的表面积和体积；（2）为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出最大值．答案：（1）=，（2）时，圆柱的侧面积最大，最大值为解析：思路：（1）先利用公式求解圆锥的表面积，然后求圆锥的高，再利用圆锥的体积公式求解圆锥的体积；（2）根据图形相似确定圆锥底面半径与高度的关系，再利用圆锥侧面积公式得到关于的表达式，根据范围得最值.（1）解：,，；（2）解：设圆柱底面圆半径为，显然，∽，∴，∴时，圆柱的侧面积最大，最大值为．16.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，若．（1）求△的面积；（2）若，求c．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用向量的数量积的坐标表示以及三角形的面积公式即可求得结果.（2）通过正弦定理即可求出结果.（1）因为且，两式联立得：，又因为，所以或（舍），故，由三角形面积公式得（2）因为，且由（1）知，设三角形的外接圆半径为R，由正弦定理得：，解得或（舍），所以17.已知函数（1）求的单调区间；（2）解不等式；（3）设的最小值为，若正数满足，求的最小值．答案：（1）单调递减区间为，单调递增区间为.（2）（3）解析：思路：（1）根据题意，分，和，三种情况讨论，求得的解析式，结合一次函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解；（3）由（1）中函数的单调性，求得，得到，将其代入化简，得到，结合基本不等式，即可求解.（1）当时，；当时，；当时，，所以，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当时，，解得，所以；当时，，解得，所以；当时，，解得，所以，综上可得：不等式的解集为.（3）由（1）知：函数的单调递减区间为，单调递增区间为，所以，即，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.18.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．（1）求函数的解析式；（2）当，方程有解，求实数的取值范围；（3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析；（2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围；（3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围．（1）设的最小正周期为，由题意得，得周期，所以，得，因为，所以，所以，因为的图象过点，所以，得，因为