2025-2026学年江西赣州市厚德外国语学校等校高二下册4月训练数学试题 含解析

/数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.数列的通项公式可以是（）A. B.C. D.2.已知，则（）A.8 B. C.2 D.3.在等差数列中，，则（）A.6 B.8 C.10 D.124.已知奇函数，则（）A. B. C. D.5.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若函数，则曲线在点处的曲率是（）A. B. C. D.6.某公益组织发起捐款活动，第1天捐款100元，从第2天开始，每日捐款额比前一天捐款额的2倍少80元.若第天的捐款额不低于2000元，则的最小值是（）A.6 B.7 C.8 D.97.已知函数是的导函数，的图象关于点中心对称，则（）A.3 B.4 C.5 D.68.已知数列满足，若，则整数的取值个数是（）A.5 B.4 C.3 D.2二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数求导正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.若数列的前项和为，且，则下列结论一定正确的是（）A.若，则是等比数列B.若是等比数列，则C.若，则是等比数列D.若是等比数列，则是等比数列11.已知函数的公切线为，则的值可能是（）A.2 B. C.3 D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为__________.13.设等差数列的前项和分别为，且，则__________.14.已知，则__________，__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，该汽车的速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系式为.（1）求该汽车在这段时间里的平均速度；（2）求该汽车在第时的瞬时加速度，并说明它的意义.16.在数列中，.（1）证明：是等差数列.（2）求数列的前项和.17.在数列中，，且.（1）证明是等差数列，并求的通项公式；（2）给定正整数，设函数，求.18.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线经过点的切线方程；（3）若曲线与曲线存在公共点，且在公共点处有公切线，求的值.19.设数列的前项和为，且，若，记数列的前项和为.（1）求的通项公式；（2）求；（3）记集合，若的子集个数为8，求的取值范围.

数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.数列的通项公式可以是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：分子：，规律为.分母：，规律为.所以通项可以为2.已知，则（）A.8 B. C.2 D.答案：D解析：解答过程：由导数定义.已知.故.3.在等差数列中，，则（）A.6 B.8 C.10 D.12答案：A解析：解答过程：数列为等差数列，设等差数列的公差为.，，即；，得.4.已知奇函数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：借助奇函数性质计算可得，再利用导数运算可得，即可得解析式，即可得的值.解答过程：由该函数为奇函数，则，即，即有，即，故，则，则，解得，故，则.5.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若函数，则曲线在点处的曲率是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据曲率定义，代入求解即可.解答过程：已知，，.则，，得.所以曲率.6.某公益组织发起捐款活动，第1天捐款100元，从第2天开始，每日捐款额比前一天捐款额的2倍少80元.若第天的捐款额不低于2000元，则的最小值是（）A.6 B.7 C.8 D.9答案：C解析：解答过程：设第天捐款数额为，由题意可知，可知，即数列是以20为首项，以2为公比的等比数列，则，得，可得，化简得，因，且是递增数列，故的最小值为8，此时.7.已知函数是的导函数，的图象关于点中心对称，则（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：B解析：解答过程：已知，所以.因为的图象关于点中心对称.所以根据中心对称性质可得对任意实数恒成立.对求导得，即所以导函数的函数图像关于对称，即，解得.此时，因为的图象关于点中心对称，所以，解得.故.8.已知数列满足，若，则整数的取值个数是（）A.5 B.4 C.3 D.2答案：C解析：思路：结合题目条件逐项逆推即可得.解答过程：由题意可得，若，当为偶数时，，当为奇数时，；由，则为偶数时，，当为奇数时，，不符，故舍去；故，则为偶数时，，当为奇数时，，不符，故舍去；故，则为偶数时，，当为奇数时，；若，则为偶数时，，当为奇数时，不符，故舍去；若，则为偶数时，，当为奇数时，不符，故舍去；故或，若，则为偶数时，，当为奇数时，；若，则为偶数时，，当为奇数时，，故舍去；综上可得：或或，故整数的取值个数是个.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数求导正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：ABD解析：思路：借助导数运算法则逐项计算即可得.解答过程：对A：，故A正确；对B：，故B正确；对C：，故C错误；对D：，故D正确.10.若数列的前项和为，且，则下列结论一定正确的是（）A.若，则是等比数列B.若是等比数列，则C.若，则是等比数列D.若是等比数列，则是等比数列答案：BC解析：思路：举出反例可得A、D；借助等比数列性质计算可得B；借助与关系及等比数列定义计算可得C.解答过程：对A：取数列，可取，满足题意，但此时该数列不是等比数列，故A错误；对B：设该数列公比为，则，，，则，故B正确；对C：当时，，则，即，当时，即，故数列是以为首项，为公比的等比数列，故C正确；对D：取等比数列，有，，，此时、、不成等比数列，故D错误.11.已知函数的公切线为，则的值可能是（）A.2 B. C.3 D.答案：CD解析：思路：设出切点，求导，利用导数几何意义得到切线方程，得到，，联立求出或，从而得到切线方程，求得答案.解答过程：设与相切于点，，故切线斜率，在点处的切线方程为，即，故，设与相切于点，，则，所以，解得，在处的切线方程为，即，故，所以，将代入上式得，整理得，解得或，当时，切线方程为，此时，所以；当时，切线方程为，故，，所以；综上所述：或3.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为__________.答案：解析：思路：借助瞬时速度定义计算即可得.解答过程：.13.设等差数列的前项和分别为，且，则__________.答案：解析：思路：利用等差数列前项和性质可得、，利用等差中项性质可得，即可得，代入计算即可得解.解答过程：，同理可得，则.14.已知，则__________，__________.答案：①.②.解析：思路：令，可得，再利用二项式的展开式的通项公式计算即可得空一；令，求导后令即可得空二.解答过程：令，则，对，有，则，故；令，则，则，即.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，该汽车的速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系式为.（1）求该汽车在这段时间里的平均速度；（2）求该汽车在第时的瞬时加速度，并说明它的意义.答案：（1）（2），说明在第附近，汽车的速度每秒大约减少.解析：思路：（1）借助定积分计算即可得；（2）借助速度函数求导计算即可得，结合瞬时加速度定义可说明其意义.（1），即该汽车在这段时间里的平均速度为；（2），则，即该汽车在第时的瞬时加速度为，说明在第附近，汽车的速度每秒大约减少.16.在数列中，.（1）证明：是等差数列.（2）求数列的前项和.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）将变形可得，即可得证；（2）由（1）中所得可得通项公式，即可得的通项公式，再借助等差数列与等比数列求和公式分组求和即可得解.（1）由，则，即，又，故数列是以为首项，为公差的等差数列；（2）由数列是以为首项，为公差的等差数列，则，故，则17.在数列中，，且.（1）证明是等差数列，并求的通项公式；（2）给定正整数，设函数，求.答案：（1）证明见解析，（2）解析：思路：（1）通过递推式变形证明为等差数列，求其通项后用累加法得通项.（2）代入通项化简，逐项求导后用错位相减法求和，代入得.（1）由递推式，变形得.令，则，且，故是首项为，公差为的等差数列.由等差数列通项公式得：，即.当时，，当时，，当时，，满足上式.因此数列的通项公式为.（2）已知，将代入得：，化简得，所以，整理得，即.令，则，两式相减得.将代入：，计算得，故.所以.18.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线经过点的切线方程；（3）若曲线与曲线存在公共点，且在公共点处有公切线，求的值.答案：（1）（2）或（3）解析：思路：（1）借助导数几何意义计算即可得；（2）设出切点坐标，借助导数几何意义可求出切点，即可得切线方程；（3）设公共点坐标为，则有，，解出即可得.（1），则，又，故曲线在点处的切线方程为，整理得；（2）设切点为，由，则切线方程为，整理得，则有，即，解得或，若，则切线方程为，即为；若，则切线方程为，即为；综上可得：曲线经过点的切线方程为或；（3）设公共点坐标为，由，则，，则，有，整理得，令，则在上单调递增，又，故，则.19.设数列的前项和为，且，若，记数列的前项和为.（1）求的通项公式；（2）求；（3）记集合，若的子集个数为8，求的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）借助与的关系及等比数列定义计算