2025-2026学年甘肃省平凉市静宁县文萃中学第二下册5月阶段检测数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点与点关于（）A.轴对称 B.轴对称C.平面对称 D.平面对称2.已知，则函数在处的瞬时变化率为（）A.1 B.0 C. D.23.若，则（）A.7 B.11 C.22 D.294.已知函数的极值为，则实数（）A. B. C. D.5.已知，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.6.函数的单调递减区间为，则（）A. B.1 C. D.7.如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（）A. B.C. D.8.已知函数，则的极小值为（）A.2 B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知空间向量，且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.10.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则11.若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（）A.当时，方盒的容积最大 B.方盒的容积没有最小值C.方盒容积的最大值为 D.方盒容积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知两点与，则________________．13.已知向量，且，则________________．14.已知函数，若成立，则实数t的取值范围为_____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知函数，（1）求a的值;（2）求函数的极小值.16.已知向量．（1）若，求实数k；（2）若向量与所成角为锐角，求实数k的取值范围．17.已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最值．18.如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为在上，在上，且．（1）求向量的坐标；（2）求与所成角的余弦值．19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求实数的取值范围.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点与点关于（）A.轴对称 B.轴对称C.平面对称 D.平面对称答案：D解析：思路：根据空间两点关于坐标平面对称的特点，若两点关于平面对称，则它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数。观察已知两点坐标可得，它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数，故两点关于平面对称。解答过程：点与点关于平面对称，故选：D．2.已知，则函数在处的瞬时变化率为（）A.1 B.0 C. D.2答案：C解析：解答过程：依题意，所以函数在处的瞬时变化率为．3.若，则（）A.7 B.11 C.22 D.29答案：A解析：思路：计算的坐标，再利用数量积的坐标运算求出.解答过程：由，得，所以.故选：A．4.已知函数的极值为，则实数（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用导数分析函数的单调性，确定函数的极值点，利用极值点的函数值为，求参数的值.解答过程：由题目条件可得：函数的定义域为，．当时，在上恒成立，所以在上单调递增，无极值；，当，令，得；令，得．所以函数在区间上单调递增，在上单调递减．则是函数的极大值点，故，解得．故选：A5.已知，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用投影向量公式进行求解解答过程：，故在上的投影向量为．故选：D．6.函数的单调递减区间为，则（）A. B.1 C. D.答案：B解析：思路：根据的单调递减区间为，而的定义域为，的一个极值点为1，利用即可得解，然后再代入验证是否满足题意即可.解答过程：，因为的单调递减区间为，而的定义域为，所以的一个极值点为1，所以，解得．所以，，令，，解得，所以的单调递减区间为，符合题意，综上，故选：B．7.如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：结合空间向量基本定理，根据空间向量线性运算法则计算可得.解答过程：依题意，又，所以，.故选：C8.已知函数，则的极小值为（）A.2 B. C. D.答案：D解析：解答过程：函数的定义域为，令，解得，列表如下，20单调递减极小值单调递增所以的极小值为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知空间向量，且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：根据空间向量的模的坐标公式即可判断A；根据空间向量共线定理即可判断B；根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标公式即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D.解答过程：对于A，，，故A正确；对于B，，设，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD.10.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：AD解析：思路：根据题意，利用导数研究函数的单调性，构造函数即可判断AB，构造函数即可判断CD.解答过程：令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，故A正确，B错误；令，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以当时，，即，故C错误，D正确.故选：AD11.若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（）A.当时，方盒的容积最大 B.方盒的容积没有最小值C.方盒容积的最大值为 D.方盒容积的最大值为答案：ABC解析：思路：将方盒容积表示为关于的函数的形式，利用导数可求得单调性、最值点和最值，由此可得结果.解答过程：由题意知：方盒的底面为边长为的正方形，高为，其中，则方盒的容积为，，则当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，无最小值，ABC正确，D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知两点与，则________________．答案：解析：解答过程：根据空间中点到点的距离公式，.13.已知向量，且，则________________．答案：##解析：解答过程：，解得.14.已知函数，若成立，则实数t的取值范围为_____________．答案：解析：思路：由函数解析式可知函数是奇函数，利用导数可判断函数在上单调递增，利用函数单调性可知等价于，解出不等式即可求得实数t的取值范围.解答过程：由题得函数的定义域为，因为，所以函数是奇函数．又恒成立，所以函数在上单调递增；不等式等价于，所以，即，解得．所以实数t的取值范围为．故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知函数，（1）求a的值;（2）求函数的极小值.答案：（1）（2）极小值解析：思路：（1）求导函数，结合解方程即可；（2）令进而分析单调性，即可求出极值．（1）由题意可得，故，（2）由（1）得，所以，令，解得，因为当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得极小值．16.已知向量．（1）若，求实数k；（2）若向量与所成角为锐角，求实数k的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用向量垂直的坐标表示求解；（2）将问题转化为两个向量的数量积为正且不共线求解.（1）因为，所以，因为，则，解得；（2）因为向量与所成角为锐角，所以，且与不同向共线．由（1）知，，若向量与同向共线，则存在，使得，即，可得1−k=−λk=3故，解得且，即的取值范围为．17.已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最值．答案：（1）；（2），．解析：思路：（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解；（2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解.（1）因为，所以，由题意可知，，，，所以，解得，，，所以函数的解析式为，经检验适合题意，所以；（2）由（1）知，令，则，解得，或，当时，；当时，；所以在和上单调递增，在上单调递减，当时，取的极大值为，当时，取得极小值为，又，，所以，．18.如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为在上，在上，且．（1）求向量的坐标；（2）求与所成角的余弦值．答案：（1），（2）解析：解答过程：（1）由题意可得，，，，故，.（2）由（1）可知，，所以，，，所以，故与所成角的余弦值为.19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求实数的取值范围.答案：（1）答案见详解（2）解析：思路：（1）求得可得，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性；（2）根据题意结合（1）中单调性分析可得，构建，利用导数判断其单调性，进而解不等式.（1）因为的定义域为，且，若，则，可知在定义域内单调递减；若，令，解得，当，；当，；可知在内单调递增，在内单调递减；综上所述：若，在定义域内单调递减；若，在内单调递增，在内单调递减.（2）因为，若，在定义域内单调递减，且，不合题意；若，在内单调递增，在内单调递减.则，令，则，令，