2025-2026学年广东东莞外国语学校高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.2.用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有A.24 B.30 C.40 D.603.函数点处的切线方程为，则等于（）A. B. C.3 D.64.已知随机变量的分布列为，则（）A. B. C. D.5.已知为等差数列，为等比数列，，则（）A.4 B.7 C.8 D.156.定义在R上的偶函数，其导函数，当x≥0时，恒有，若，则不等式的解集为（）A.(,1) B.(∞,)∪(1,+∞)C.(,+∞) D.(∞,)7.某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（）A.720 B.1480 C.1080 D.14408.若实数a、b、c、d满足，则的最小值为（）A.2 B. C.4 D.8二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（）A.是函数的极值点B.是函数的极值点C.在区间上单调递增D.是函数的极值点10.已知，则下列描述正确的是（

）A.B.的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为C.被7整除所得的余数是4D.11.已知函数，其中，则（）A.若函数有且仅有1个零点，则B.若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是C.不存在，使函数存在唯一的极值点D.若对恒成立，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为_______.（用数字作答）13.的展开式中的系数为___________．14.已知函数，若过点可作曲线的3条切线，则实数的取值范围为______．四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数的单调区间以及极值；（2）求函数在上的最值.16.记的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长．17.如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且．（1）若，证明：平面；（2）若与平面所成角的正弦值为，求的值．18.某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：（1）求甲第2天选择羽毛球的概率；（2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；（3）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系.19.在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.（1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；（2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值；（3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围.

数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据导数的运算法则即可求解.解答过程：对于A，，故A错误，对于B，，故B错误，对于C，，故C正确，对于D，，故D错误．故选：C．2.用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有A.24 B.30 C.40 D.60答案：A解析：解答过程：试题分析：按偶数字在个位分类：个位只能是2或者4，十位在余下4个中选择，百位在余下3个中选择．所以答案是2×4×3=24，故选A．考点：主要考查分步计数原理的应用．点评：特别注意偶数其个位必定是偶数字．3.函数点处的切线方程为，则等于（）A. B. C.3 D.6答案：D解析：解答过程：由题意已知，可得.4.已知随机变量的分布列为，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据互斥事件的概率加法公式，可得答案.解答过程：由题意可得.故选：C.5.已知为等差数列，为等比数列，，则（）A.4 B.7 C.8 D.15答案：B解析：思路：设出公差与公比，由题中所给条件列方程组即可求出公差与公比，即可得解.解答过程：设的公差为，的公比为，则由题可知，有，解得或（舍去），则，因此.故选：B.6.定义在R上的偶函数，其导函数，当x≥0时，恒有，若，则不等式的解集为（）A.(,1) B.(∞,)∪(1,+∞)C.(,+∞) D.(∞,)答案：A解析：思路：由已知可得，即在上单调递减，再利用函数的奇偶性、单调性，求解题设不等式即可.解答过程：当时，，又，∴，即在上单调递减．∵是定义在R上的偶函数，∴是定义在R上的偶函数，由不等式，则有，∴，解得：．∴不等式的解集为．故选：A7.某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（）A.720 B.1480 C.1080 D.1440答案：D解析：思路：依题意，先考虑主治医师的两种分配方案，在每种方案中（注意平均分组），再考虑对应的实习医生的分配人数，最后将三个组合分配到3个乡镇即可.解答过程：由题意，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则主治医师的分配方案有2种，即“”或“”.当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为，再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为，最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为，根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为；当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为，再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为，最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为，根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为.根据分类加法计数原理，不同的分配方法种数为.故选：D.8.若实数a、b、c、d满足，则的最小值为（）A.2 B. C.4 D.8答案：A解析：思路：由已知得出点在函数的图象上，点在直线即上，函数的图象上与直线平行的切线到直线的距离即为的最小值，由此可得结论．解答过程：因为，所以点在函数的图象上，点在直线即上，当函数的图象过点的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，也即为的最小值，，由得，，到直线的距离为，所以，所以的最小值为2.二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（）A.是函数的极值点B.是函数的极值点C.在区间上单调递增D.是函数的极值点答案：BD解析：思路：由导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可.解答过程：由图可得，当，，单调递减，当，，单调递增，可知是函数的极值点，故A正确，不是函数的极值点，故B错误，当，，故在区间上单调递增，故C正确，不是函数的极值点，故D错误.10.已知，则下列描述正确的是（

）A.B.的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为C.被7整除所得的余数是4D.答案：ABC解析：思路：利用赋值法判断A；根据所有含的奇数次项的二项式系数和与所有含的偶数次项的二项式系数和相等，可判断B；根据被7整除得余数，可判断C；对两边求导，再赋值即可判断D.解答过程：对于A，令，得，令，得，故，A正确；对于B，所有含的奇数次项的二项式系数和，与所有含的偶数次项的二项式系数和相等，都为，故B正确；对于C，，故只需考虑被7整除得余数，因为，被7整除的余数为4，故C正确；对于D，，两边求导得，再令，得，故D错误.11.已知函数，其中，则（）A.若函数有且仅有1个零点，则B.若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是C.不存在，使函数存在唯一的极值点D.若对恒成立，则答案：ABD解析：思路：利用参变分离的思想，结合函数图象进行求解解答过程：对于A，显然0不是函数的零点，当时，令，变形为，令，，则，令得或，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，，作出的图象，如下：直线与其仅有一个公共点，则；对于B，，令，函数有且仅有2个极值点，故有2个变号零点，令得，显然0不是函数的零点，当时，变形为，令，则，令得，令得或，故在上单调递减，在上单调递增，，作出的图象，如下：直线与其交于两点，则，故，B正确；对于C，结合B的分析，显然当时，有且仅有一个变号零点，函数存在唯一的极值点，C错误；对于D，，即，当时，满足要求，当时，，变形为，令，结合A的分析，当x＞0时，，故，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为_______.（用数字作答）答案：12解析：解答过程：若AD同色，3种颜色（全部用完），有种，若BC同色，3种颜色（全部用完），有种，所以共有6+6=12种.13.的展开式中的系数为___________．答案：解析：思路：利用二项式定理展开式的通项公式可求答案.解答过程：二项式的展开式通项公式为，当时，，当时，，因此展开式中含的项为，故所求系数为.故24.14.已知函数，若过点可作曲线的3条切线，则实数的取值范围为______．答案：解析：思路：设出切点，写出切线方程，将点代入，参变分离，将原问题转化为直线与函数有三个交点，画出的草图，即可得出答案.解答过程：设切点为，因为函数，所以，则，所以切线方程为：，又切线方程过点，所以，化简得：，令，所以所以当或时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的极小值为，极大值为，的草图如下：过点可作曲线的3条切线等价于直线与函数有三个交点，则，所以.四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数的单调区间以及极值；（2）求函数在上的最值.答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值（2），解析：思路：(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值;(2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，即可求出最大值，而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值.（1）函数的定义域是.又，令，得，令，得，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以函数的极大值为，无极小值.（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，所以所以在上的最小值为.又因为，所以，所以函数在上的最小值为，即.16.记的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果；（2）根据三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，即可得结果.（1）因为，由正弦定理可得，则，又因为，则，可得，即，所以.（2）因为的面积为，可得，由余弦定理可得，即，可得，所以的周长为.17.如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且．（1）若，证明：平面；（2）若与平面所成角的正弦值为，求的值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据平行线等分线段定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.（1）如图连接交于点，连接因为且，所以，因为，所以，所以，所以，又因为平面，平面,所以平面（2）如图建立空间直角坐标系，则,，则,，因为，所以，所以，设平面的一个法向量，则，即，令，得，所以，解得或（舍）所以的值为.18.某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：（1）求甲第2天选择羽毛球的概率；（2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；（3）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系.答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）利用全概率公式计算求解即可.（2）利用贝叶斯公式计算求解即可.（3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得.（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为，则且两两互斥，依题意，，，且，由全概率公式得.（2）由贝叶斯公式，得所求概率为.（3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立，从而选择篮球的概率为，当时，由全概率公式，得的递推关系为，而，，化简得，.19.在平面直角坐标系中，如果将函数的