2025-2026学年广东深圳平湖中学高三下册高考考前适应性考试数学试题 含解析

/数学试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，且，则（）A.6 B. C. D.2.若集合，，且，则的值为（）A.4 B.2或4 C.或4 D.或43.函数的值域为（）A. B. C. D.4.已知等比数列的公比为q，且，，则（）A.3 B.2 C.1 D.5.某乡村合作社优化农产品种植结构，持续扩大蔬菜种植面积，统计该合作社近5年的蔬菜种植面积（单位：亩）依次为8，10，13，16，20，且这5年的总利润为142.5万元，由这5年的数据求得年利润（单位：万元）与满足线性回归方程，则当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为（）A.60万元 B.65万元 C.70万元 D.75万元6.已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（）A. B. C. D.7.若球与球的体积之比为，表面积之比为，且棱长为1的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.8.已知面积为的正方形的顶点都在双曲线上，点是上与点，，，都不重合的动点，记，，，的斜率分别为，，，，若的虚轴长的取值范围为，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A. B.在复平面内对应的点位于第二象限C. D.10.若，则的值可能是（）A. B. C. D.11.已知圆与曲线，则（）A.，恒有公共点B.当时，，恰有2个公共点C.当时，，在时的公共点有3个D.当时，直线与有3个公共点的充要条件是直线与圆相交三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中的第5项的系数为______．13.已知抛物线的焦点为，若点为在第一象限内的一点，且，则直线的斜率为________．14.已知数列中，为正整数，且，，，则当的值最大时，满足的的值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记的内角，，的对边分别为，，，已知，且．（1）求；（2）若点为的中点，且，求．16.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若当时，，求的取值范围．17.如图，四棱柱的所有棱长都为，三棱锥是正三棱锥．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．18.某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次．（1）若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望；（2）若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止．①求至少发射3次的概率；②定义为第次发射成功的概率，是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19.已知点，分别是椭圆的左、右顶点，且的离心率为．（1）求的方程；（2）若点是上与，不重合的点，直线，与直线分别交于点，，求的最小值；（3）若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心恒在定直线上．

数学试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，且，则（）A.6 B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为向量，，，所以，解得，故．2.若集合，，且，则的值为（）A.4 B.2或4 C.或4 D.或4答案：C解析：解答过程：当时，满足；当时，因为，所以，此时，满足．3.函数的值域为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意，分和两种情况讨论求解即可.解答过程：当时，；当时，，所以的值域为．4.已知等比数列的公比为q，且，，则（）A.3 B.2 C.1 D.答案：A解析：解答过程：由题意得：，又，解得.5.某乡村合作社优化农产品种植结构，持续扩大蔬菜种植面积，统计该合作社近5年的蔬菜种植面积（单位：亩）依次为8，10，13，16，20，且这5年的总利润为142.5万元，由这5年的数据求得年利润（单位：万元）与满足线性回归方程，则当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为（）A.60万元 B.65万元 C.70万元 D.75万元答案：C解析：解答过程：由已知得，，因为点在回归直线上，所以，得，即,所以当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为万元．6.已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用偶函数的导数为奇函数求解即可解答过程：当时，，因为为偶函数，所以，当时两边求导得，所以，，所以的图象在处的切线方程为，即7.若球与球的体积之比为，表面积之比为，且棱长为1的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设球与球的半径分别为，，球的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，所以，，所以，因为棱长为1的正方体的所有顶点都在球的表面上，所以，则，所以球的表面积为.8.已知面积为的正方形的顶点都在双曲线上，点是上与点，，，都不重合的动点，记，，，的斜率分别为，，，，若的虚轴长的取值范围为，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：通过令，，，以及虚轴的取值范围得到的取值范围，从而得到的取值范围.解答过程：因为面积为的正方形的顶点都在双曲线上，由对称性，正方形的中心必定是坐标原点，不妨令，，，，则，即，由已知得，则，，设，则，，相减得，所以，又，，，，所以，所以，故B正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A. B.在复平面内对应的点位于第二象限C. D.答案：BC解析：解答过程：对于A，，故A错误；对于B，，在复平面内对应的点为，位于第二象限，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，，故D错误，10.若，则的值可能是（）A. B. C. D.答案：ACD解析：思路：通过解分式不等式，根据指数函数，对数函数以及三角函数性质逐项分析即可.解答过程：由，解得：或，对于A，因为，所以，由，故A正确；对于B，由，故B错误；对于C，由，故C正确；对于D，由，故D正确．11.已知圆与曲线，则（）A.，恒有公共点B.当时，，恰有2个公共点C.当时，，在时的公共点有3个D.当时，直线与有3个公共点的充要条件是直线与圆相交答案：ABD解析：思路：由得，代入圆，把公共点个数转化为关于的方程根的个数．注意圆上的点满足，所以只需讨论的情况．解答过程：由得，代入圆：，化简得.当时，由得，将点代入，成立，因此点为公共点，恒成立，选项A正确.下面讨论时的公共点．令则时公共点个数等于方程的正根个数．对于B选项，当时，，若，则．若，令，则，则，因为二次函数的最小值为所以恒成立．故在上单调递增．又所以方程在内有且仅有一个正根．再加上公共点，共有个公共点，故B选项正确．对于C选项，当时，此时令，则的两个根为因此在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又且所以在时只有一个正根，公共点不是个，故C选项错误．对于D选项，当时，曲线为直线与有个公共点，等价于方程有个不同实根．设则，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又因此方程有个不同实根的充要条件是另一方面，直线与圆相交的充要条件是圆心到直线的距离小于半径，即等价于，所以D选项正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中的第5项的系数为______．答案：240解析：思路：由二项式定理通项公式即可求解.解答过程：展开式通项公式为所以展开式中的第5项的系数为．13.已知抛物线的焦点为，若点为在第一象限内的一点，且，则直线的斜率为________．答案：解析：思路：设，根据焦半径公式得，进而求得，再计算斜率即可.解答过程：由已知得，设，所以，根据焦半径公式得，解得，代入得，解得，所以直线的斜率为．14.已知数列中，为正整数，且，，，则当的值最大时，满足的的值为________．答案：66解析：思路：根据题意列举求得最大为11，进而得，，再结合分组求和的方法，分和两种情况讨论求解即可.解答过程：由题意得，，，，的可能取值如图所示，由图可知最大为11，由，则或16，因为，所以，所以，当时，，解得，当时，，满足条件的不存在，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记的内角，，的对边分别为，，，已知，且．（1）求；（2）若点为的中点，且，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意得，再结合余弦定理得，再结合求解即可；（2）结合（1）得，再根据余弦定理求解即可.（1）解：因为所以，由余弦定理得，整理得，所以，因为，所以，所以（2）解：由（1）知，所以，因为，所以，在中由余弦定理得16.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若当时，，求的取值范围．答案：（1）在上单调递增（2）解析：思路：（1）求导得，再构造函数，研究其性质得，进而得即可判断单调性；（2）根据题意得，进而转化为，再构造函数，研究其最大值即可求得答案.（1）解：因为，定义域为，所以，设，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，所以在上单调递增．（2）解：由，得，即，因为在上单调递增，所以，即，设，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，即的取值范围是．17.如图，四棱柱的所有棱长都为，三棱锥是正三棱锥．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证.（2）以正的中心为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解.（1）在所有棱长都为的四棱柱中，四边形是菱形，则，设，则为的中点，连接，由三棱锥是正三棱锥，得，则，而平面，因此平面，而平面，所以平面平面.（2）依题意，三棱锥是所有棱长均为的正三棱锥，取正中心，连接，则平面，且，在平面内过作，以为原点，以直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次．（1）若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望；（2）若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止．①求至少发射3次的概率；②定义为第次发射成功的概率，是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）的分布列为1234期望为（2）①；②存在；解析：思路：（1）依题意，确定的取值可能为1，2，3，4，分别求出其对应的概率，列出分布列，利用数学期望公式计算即可；（2）①记第次发射成功为事件，第次发射失败后修复成功为事件，至少发射3次为事件，则，根据概率乘法公式求解；②第次发射成功有2种情形：第次、第次发射成功，或第次发射成功，第次发射失败且发射失败后修复成功，第次发射成功，则，再构造等比数列求解.（1）由题知，的所有可能取值分别为1，2，3，4，则，，所以的分布列为1234．（2）①记第次发射成功为事件，第次发射失败后修复成功为事件，则，，，记至少发射3次为事件，则，所以．②第次发射成功有2种情形：第次、第次发射成功，或第次发射成功，第次发射失败且发射失败后修复成功，第次发射成功，所以，设，则，所以，解得，或，因为，，所以时，是等比数列，所以．19.已知点，分别是椭圆的左、右顶点，且的离心率为．（1）求的方程；（2）若点是上与，不重合的点，直线，与直线分别交于点，，求的最小值；（3）若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心恒在定直线上．答案：（1）（2）6（3）证明见解析解析：思路：（1）根据条件求解即可.（2）设直线求出的坐标，然后得到函数，利用基本不等式解决最