2025-2026学年江西吉水县第二中学等校高一下册素养阶段训练数学试题 含解析

/数学一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.化简(

)A. B. C. D.2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（）A. B.C. D.3.在中，，，，则为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形4.为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得,在点处测得树顶的仰角为,树高约为米，则（）.A.米 B.米 C.米 D.米5.将函数的图像上各点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的一半，然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图像，则函数（）A. B.C. D.6.已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（）A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形7.当时，曲线与的交点个数为（）A.3 B.4 C.6 D.88.已知向量，且，若向量满足，则的最大值为（）A.3 B. C.1 D.二、选择题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（）A.，，，有两解B.，，，有一解C.，，，无解D.，，，有两解10.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.当时，在上的投影向量为11.已知函数且，，则（）A.B.的值可能为C.的取值范围是D.关于x的方程至多有13个不同的根三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知，则________.13.已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量是______．14.已知点为的内心，，则__________．四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知（1）求；（2）解关于的不等式．16.已知．（1）若，求的坐标；（2）若，求与的夹角．17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．（1）若，求的周长；（2）求的最大值．18.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式，并求出其对称轴；（2）若方程在上恰有三个不相等的实数根，，，求的取值范围和的值.19.在中，为的中点，在边上，交于；且，设，.（1）试用，表示；（2）已知，，.①若，求的余弦值；②已知在上，且，若，求的范围.

数学一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.化简(

)A. B. C. D.答案：D解析：解答过程.2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据终边相同角的定义，逐一分析各个选项，即可得答案.解答过程：由题意，选项A、B中，角度与弧度混用，单位不统一，故A、B错误；选项C：与终边相同，含义相同，故C正确；选项D：当时，与终边不同，故D错误.故选：C3.在中，，，，则为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形答案：C解析：思路：根据余弦定理求出的值，进而判断三角形的类型.解答过程：由余弦定理得，又在中，，则为钝角，所以为钝角三角形.4.为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得,在点处测得树顶的仰角为,树高约为米，则（）.A.米 B.米 C.米 D.米答案：C解析：思路：先通过直角三角形的三角函数求出的长度，再在中用正弦定理即可求出.解答过程：在中，，因为，所以米，又因为，所以，根据正弦定理：，即，又因为，所以.5.将函数的图像上各点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的一半，然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图像，则函数（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据正弦型函数的平移、伸缩变换法则求解即可.解答过程：将函数的图像上各点向左平移个单位可得，将所得各点的横坐标缩短到原来的一半，然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍可得.故选：A.6.已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（）A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形答案：B解析：思路：根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得.解答过程：由几何意义知，对应向量在的角平分线上，由，即的角平分线与边垂直，所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形.故选：B7.当时，曲线与的交点个数为（）A.3 B.4 C.6 D.8答案：B解析：思路：分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可.解答过程：与在上的函数图象如图所示，由图象可知，两个函数图象交点的个数为4个.故选：B.8.已知向量，且，若向量满足，则的最大值为（）A.3 B. C.1 D.答案：A解析：思路：由，平方得到，再结合数量积的定义得到求解即可.解答过程：因为，所以，又，所以所以，所以，所以，所以（是向量与的夹角）.所以，所以，所以，所以的最大值为3.故选：A.二、选择题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（）A.，，，有两解B.，，，有一解C.，，，无解D.，，，有两解答案：BC解析：思路：根据题意，结合正弦定理，以及的值，逐项分析判断，即可求解.解答过程：对于A，由正弦定理，可得，因为，可得，则三角形有一解，故A错误；对于B，因为，所以，则三角形有一解，故B正确；对于C，因为，所以，则三角形无解，故C正确；对于D，因为，所以，则三角形无解，故D错误.10.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.当时，在上的投影向量为答案：ACD解析：思路：根据向量共线的坐标运算求解判断A；根据向量垂直的坐标运算求解判断B；根据数量积的坐标运算求解判断C；根据投影向量公式求解判断D.解答过程：由，得，解得，A正确；由，得，解得，B错误；由，得，解得，所以，C正确；当时，，，所以在上的投影向量为，D正确．故选：ACD．11.已知函数且，，则（）A.B.的值可能为C.的取值范围是D.关于x的方程至多有13个不同的根答案：ACD解析：解答过程：对于A，的图象如图所示.由图可知，，A正确.对于B，由图可知，，，则，，当且仅当，时，等号成立.因为，所以，B错误.对于C，设，则.由，得，得，因为，，所以的取值范围是，C正确.对于D，令，则至多有5个不同的根，此时，有5个不同的根.设这5个不同的根从小到大分别为，，，，，则.由图可知，均有5个不同的根，，，均有1个根，所以关于x的方程至多有13个不同的根，D正确.三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知，则________.答案：##0.6解析：思路：根据诱导公式，化简整理，即可得答案.解答过程：因为，所以.13.已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量是______．答案：解析：解答过程：由题意，所以在方向上的投影数量为.14.已知点为的内心，，则__________．答案：解析：思路：先根据三角形内心向量性质得出向量关系，再根据向量表示唯一性确定值．解答过程：点为的内心，即为角平分线交点，如下图所示，的角平分线交于，则，，故，，，，．故．四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知（1）求；（2）解关于的不等式．答案：（1）（2）且解析：思路：（1）根据三角函数的诱导公式化简，代入求解即可；（2）根据（1）中的及化简不等式得到，解三角不等式即可.（1）依题意，，且，所以，又因为，，；，；所以；所以；（2）由（1）知，，；所以；又，所以，即，解得，且；所以原不等式的解集为且.16.已知．（1）若，求的坐标；（2）若，求与的夹角．答案：（1）或（2）解析：思路：（1）设，结合向量的模长公式求解即可；（2）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可.（1）因为，设，则，解得．因此或．（2）由已知可得，因为，则，可得，．17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．（1）若，求的周长；（2）求的最大值．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）利用三角形面积公式求得，再由余弦定理求出，即得周长；（2）由正弦定理求得，代入条件推得，利用正弦函数的值域求得的最大值，并验证即得.（1）因为，所以，由余弦定理得，所以，又，，所以，即，故的周长为．（2）由正弦定理得，所以，又，，所以．当时，即，此时，，解得，或，，故时，取得最大值．18.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式，并求出其对称轴；（2）若方程在上恰有三个不相等的实数根，，，求的取值范围和的值.答案：（1）；（2）；解析：思路：（1）根据函数的图象，求得，正弦型函数的性质，即可求解；（2）根据题意，转化为函数与的图象在上有三个不同的交点，画出函数在上的图象，结合图象，得到得范围，且的值，即可求解.（1）解：由函数的图象，可得，且，解得，所以，即，将点代入的解析式得，即，可得，解得，因为，可得，所以.令，则，所以函数的对称轴为直线.（2）解：由方程在上恰有三个不相等的实数根，即方程在上恰有三个不相等的实数根，即函数与的图象在上有三个不同的交点，设交点的横坐标分别为，函数在上的图象，如下图所示：由图象得，实数满足，即实数的取值范围为，再由图像的对称性，可得x1故tanx19.在中，为的中点，在边上，交于；且，设，.（1）试用，表示；（2）已知，，.①若，求的余弦值；②已知在上，且，若，求的范围.答案：