2025-2026学年辽宁沈阳第二中学高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学第I卷（58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则的虚部是（）A. B. C. D.2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（）A.2π B.4π C.2 D.13.已知，则（）A. B. C. D.4.已知，则（）A. B. C. D.5.已知，则（）A. B. C. D.6.在中，，，，则（）A. B.若是的中线，则C.若是的高，则 D.若是的角平分线，则7.记的内角的对边分别为，若，，则（）A. B. C. D.8.已知平面向量、、满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分.9.下列化简正确的是（）A.B.C.D.10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则是锐角三角形C.若，，，则有两解D.若的面积为S，且，则11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若将图象向左平移个单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为4B.若，则的最小值为1C.若在内无零点，则的取值范围为D.若在内单调递减，则的取值范围为第Ⅱ卷（92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中是三角形的三边，是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．13.若复数和复数满足，，，则________.14.在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.15.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）求的对称轴方程；（3）若方程在有且仅有一个实根，求实数的取值范围．16.已知向量，．（1）若且，求x的值；（2）记，R．①求的单调增区间；②若任意，均满足，求实数m的取值范围．17.某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时．（1）求B点到D点的距离BD；（2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求的值；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．（3）若，当的周长最小时，求的值．19.如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中点，且，，（1）求；（2）求；（3）设，分别为边，上的动点，线段交于，且四边形的面积为面积的，求的取值范围.

数学第I卷（58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则的虚部是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用复数的乘法运算及共轭复数的概念计算即可解答过程：易知，所以，虚部为．故选：A．2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（）A.2π B.4π C.2 D.1答案：A解析：解答过程：设外接圆的半径为，因为，，由正弦定理，，解得，故外接圆的周长为.3.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：借助完全平方公式及二倍角公式可得，结合原式计算即可得解.解答过程：由，故，故，故，即.4.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用不等式即可.解答过程：如图，角的终边与单位圆圆交于点，单位圆与轴正半轴交于点，过作轴，交角的终边于点，则，，则，扇形的面积为，，由三者的大小关系可知，，即，因，则，即.故选：C5.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：．6.在中，，，，则（）A. B.若是的中线，则C.若是的高，则 D.若是的角平分线，则答案：BD解析：思路：利用余弦定理求解判断A；利用数量积运算律求解判断B；利用三角形面积列式求解判断CD.解答过程：对于A，由余弦定理，得，A错误；对于B，由是的中线，得，则，B正确；对于C，由是的高，得，则，C错误；对于D，由是的角平分线，得，由，得，则，D正确.7.记的内角的对边分别为，若，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可.解答过程：因为，则由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根据正弦定理得，所以，因为为三角形内角，则，则.故选：C.8.已知平面向量、、满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：不等式，两边平方得到关于实数的不等式，进而得到，再利用模长公式将转化为，再利用不等式即可得解.解答过程：由，两边平方得又，且对任意实数恒成立，即恒成立，所以，即，所以，即.由，知，所以,当且仅当与同向时取等号.故选：B方法提示：关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用对任意实数恒成立，求得，再利用求最值，考查了转化思想与运算能力.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分.9.下列化简正确的是（）A.B.C.D.答案：AC解析：解答过程：A选项，由，得，即，故A正确；B选项，，故B错误；C选项，，故C正确；D选项，，故D错误.10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则是锐角三角形C.若，，，则有两解D.若的面积为S，且，则答案：AD解析：思路：根据余弦定理和正弦定理和面积公式，判断选项.解答过程：对于A，由，可得，由正弦定理可得，所以A正确；对于B，由正弦定理得，所以，所以C为锐角，但A，B可能为钝角，不能确定为锐角三角形，故B错误；对于C，已知，，，根据正弦定理可知，解得，所以无解，C错误；对于D，若的面积为S，因为，则，所以，则，由于，则，故D正确.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若将图象向左平移个单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为4B.若，则的最小值为1C.若在内无零点，则的取值范围为D.若在内单调递减，则的取值范围为答案：BD解析：思路：根据图象平移重合、函数值相等、给定区间单调性等条件，利用三角函数性质建立关于的方程或不等式求解，再结合的取值确定的范围或最值判断各选项.解答过程：对于A选项，函数的图象向左平移个单位长度，所得的函数的原图象重合，故为最小正周期的整数倍，所以，整理得，，故的最小值为8，故A错误；对于B选项，由于，，所以，即或，所以或，所以的最小值为1，故B正确；对于C选项，由已知得，整理得，，当时，，当时，，故的取值范围为，故C错误.对于D选项，由于在内单调递减，由于函数在内单调递减，则满足，解得，，当时，；故D正确.第Ⅱ卷（92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中是三角形的三边，是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．答案：##解析：思路：由“三斜求积”公式求解三角形的面积即可.解答过程：因为，所以，故13.若复数和复数满足，，，则________.答案：解析：思路：根据题意，利用复数模的运算性质，准确化简、运算，即可求解.解答过程：因为，，，由复数模的运算性质，可得，所以，所以，又由，所以.14.在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________.答案：解析：思路：利用正弦定理，化简已知条件，得到；再根据正弦定理和余弦定理，将目标式化为关于的三角函数，进而求三角函数的最大值即可.解答过程：因为，由正弦定理可得：，又，，则因为，当且仅当时，取得最大值，最大值为，也即的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.15.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）求的对称轴方程；（3）若方程在有且仅有一个实根，求实数的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由图象可得出的值以及函数的最小正周期，可求出的值，结合以及的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式；（2）由可解得函数的对称轴方程；（3）由可得，由求出的取值范围，数形结合可得出关于的不等式，解之即可.（1）由图可知，函数的最小正周期为，又，所以，所以，因为，可得，所以，则，因为，故，因此.（2）由可得，故函数的对称轴方程为.（3）由可得，即，由可得，令，则，如下图所示：因为方程在有且仅有一个实根，则，解得，即实数的取值范围是.16.已知向量，．（1）若且，求x的值；（2）记，R．①求的单调增区间；②若任意，均满足，求实数m的取值范围．答案：（1）（2）①单调增区间为，Z；②解析：思路：（1）根据向量平行的坐标表示列等式，结合三角恒等变换求解即可.（2）①先将化简，再利用正弦函数图象的性质求解即可；②恒成立问题转化为求函数的最值问题，再分离参数进而求出取值范围.（1）由，则，即，解法1：所以，由于，所以，所以，则．解法2：所以，即，因为与不能同时为零，所以，．因为，所以．（2）①由，得，Z，所以的单调增区间为,Z.②因为，所以，所以当，即时，；当，即时，．因为恒成立，所以恒成立，所以，因此，即m的取值范围为．17.某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时．（1）求B点到D点的距离BD；（2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．答案：（1）50海里（2）小时.解析：思路：（1）利用正弦定理解三角形计算即可；（2）利用余弦定理解三角形计算即可.（1）由题意知：，，，所以，在中，由正弦定理可得：即，所以(海里)；（2）在中，，，，由余弦定理可得：，所以海里，所以需要的时间为(小时).18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求的值；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．（3）若，当的周长最小时，求的值．答案：（1）；（2）（3）解析：思路：（1）运用正弦定理边角转化，三角函数的辅助角公式，结合三角形内角的范围求解；（2）利用正弦定理和三角恒等变换，把面积的取值范围转化为求角的正切值的取值范围，根据正切函数的单调性进行求解；（3）利用余弦定理用单一变量来表示三角形的周长，结合基本不等式进行求解.（1），由正弦定理可得，因为，所以代入可得，即，因为，所以，化简可得，即，解得，因为，所以，因此，即.（2）由正弦定理可得，即，所以，S△因为，所以，代入可得S△因为为锐角三角形，，所以，即0<2π3−所以，即，所以33即的面积的取值范围为．（3）由余弦定理可得，因为，代入可得，化简可得，因此，当且仅当，即时等号成立，因此当的周长最小时，的值为．19.如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中点，且，，（1）求；（2）求；（3）设，分别为边，上的动点，线段交于，且四边