2025-2026学年广东佛山市新质高中联盟高二下册期中联考数学试题 含解析

/数学第Ⅰ卷（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，且，则a的取值范围是（）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量，，若，则|（）A.2 B. C.3 D.4.已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则（）A.4 B.8 C.-4 D.-85.若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.7.已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（）项.A.5 B.6 C.7 D.88.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求，我们先求得在处的切线方程为，再把代入切线方程，即得，类比上述方式，则（）．A.1.00025 B.1.00005 C.1.0025 D.10005二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导计算中，错误的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.记为等差数列的前n项和．已知，则（）A. B. C.为等差数列 D.为等比数列11.已知函数，，则（）A.在上单调递增B.当时，有且只有一个极值点C.若有两个极值点，则D.若有两个极值点，，则第Ⅱ卷（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列的前项和为，且，则__________.13.设函数，若函数在上是单调减函数，则k的取值范围是______．14.已知等差数列首项为2，公差为2，前n项和为，数列前n项和为，且满足．若对于任意，成立，则m的最小值为_____________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最值．16.已知数列中，，.（1）求证：数列为等差数列；（2）令的前项和为，求证.17.如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，．（1）求证：平面平面；（2）已知点满足，，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．18.已知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）等差数列满足，对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；（3）若数列，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列是等差数列．19.已知函数．（1）求的单调区间；（2）当时，判断的零点个数，并证明结论；（3）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

数学第Ⅰ卷（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，且，则a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因式分解得；可得，故集合；因为且，所以，解得.所以的取值范围是.2.已知为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：思路：根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解.解答过程：由复数，可得，则共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限.3.已知向量，，若，则|（）A.2 B. C.3 D.答案：D解析：思路：根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解.解答过程：因为向量，，且，所以，解得，所以，所以．4.已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则（）A.4 B.8 C.-4 D.-8答案：A解析：解答过程：由数列是首项为4，公比为的等比数列，得，由成等差数列，得，即，则，而，解得，所以.5.若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求出函数的导函数，依题意且，即可得到方程组，从而求出、的值，再利用导数求出函数的单调递增区间.解答过程：因为，所以，由已知得，解得，所以，所以，由，解得，所以函数的单调递增区间是.故选：C．6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：求出函数的定义域，由已知可得函数为奇函数.然后得到时，，根据导函数求得的单调性，并且可得极大值点，即可得出答案.解答过程：由题意可知，函数的定义域为.又，所以，函数为奇函数.当时，，则.设，则在上恒成立，所以，在上单调递增.又，，所以，根据零点存在定理可得，，有，且当时，有，显然，所以在上单调递增；当时，有，显然，所以在上单调递减.因为，所以C项满足题意.故选：C.7.已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（）项.A.5 B.6 C.7 D.8答案：D解析：思路：将题目所给递推式变形为，利用累加法和裂项相消法求出，进而求出，最后利用不等式组法求出数列的最大项.解答过程：由可得，当时，，当时，，，也满足，所以，，，由，即，解得，又因为，所以，则数列的最大项为第8项.8.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求，我们先求得在处的切线方程为，再把代入切线方程，即得，类比上述方式，则（）．A.1.00025 B.1.00005 C.1.0025 D.10005答案：A解析：思路：根据题意，设，求出切线，以直代曲计算即可.解答过程：设，可得，，曲线在点处的切线对应的函数为，因为与之间的距离比较小，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算，，故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导计算中，错误的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：BD解析：思路：根据导数的运算法则和求导法则逐项求导判断.解答过程：对于A：若，则y'=对于B：若y=cos1对于C：若y=x2对于D：若y=lnx10.记为等差数列的前n项和．已知，则（）A. B. C.为等差数列 D.为等比数列答案：ACD解析：思路：利用等差数列的基本量运算求出首项与公差，进而求得其通项，再根据选项代值检验，利用等差（比）数列的定义逐一判断即可.解答过程：设等差数列的公差为，由题意可得，解得，故.对于A，由通项易得，故A正确；对于B，因，而，即，故B错误；对于C，因，则，由，可得数列为等差数列，故C正确；对于D，因，则，由，可得为等比数列，故D正确.11.已知函数，，则（）A.在上单调递增B.当时，有且只有一个极值点C.若有两个极值点，则D.若有两个极值点，，则答案：ACD解析：思路：利用导数的正负来判断单调性和极值点，而极值点可以利用导数的零点来研究，对于，可用极值点偏移来证明即可.解答过程：对于A，由得：，当时，，所以在上单调递增，故A正确；对于B，当时，由，则，再令，则，由此可知：当时，，则在上递增，即，可得：在上也递增，当时，，则在上递减，即，可得：在上也递增，则判断是单调递增函数，没有极值点，故B错误；对于C，由有两个极值点，则有两个零点，即，则等价于函数与的图象有两个交点，可设曲线过点的切线方程为：当直线与切线重合时可知：，解得，再结合图象，可知：当，直线与曲线一定有两个交点，且这两个交点满足原函数有两个极值点的条件，故，故C正确；对于D，由有两个极值点，则有两个零点，则，要证明，只需要证明，即证明，由上面可知，则，而当时，，则在上递增，所以只需要证明，由，所以只需要证明，即证：，构造函数，则又令，则，则在上递减，即，所以当时，，即在上递减，因为所以，则得证，即，故D正确.故选：ACD.方法提示：方法点睛：（1）判断含参函数的极值点问题转化为导数的零点问题，然后再利用二阶导数继续分析判断或用构造直线与曲线相交问题，数形结合来研究参数的范围；（2）对于双变量不等式问题，利用极值点偏移方法来证明研究.第Ⅱ卷（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列的前项和为，且，则__________.答案：39解析：解答过程：由等比数列满足，可得等比数列的公比，根据等比数列的性质，可得也成等比数列，即，得，解得.13.设函数，若函数在上是单调减函数，则k的取值范围是______．答案：解析：思路：根据已知条件得恒成立，运用分离参数求最值即可.解答过程：解：∵定义域为，，在上是单调减函数，∴恒成立；∴，，∵，，，当且仅当时取等号.∴，∴，即：k的取值范围是．故答案为.14.已知等差数列首项为2，公差为2，前n项和为，数列前n项和为，且满足．若对于任意，成立，则m的最小值为_____________．答案：解析：思路：写出数列的通项公式，观察结构，利用分组求和写出，对于任意，成立，则最小值等于最大值，通过单调性求出最值.解答过程：由题可知，则，，==.设，.，当时，，单调递减，当时，，单调递增.则在时取得最大值.方法提示：数列求和要熟练运用裂项相消和累加法，正确运用对数运算法则避免符号错误，结合函数与导数分析数列的单调性.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最值．答案：（1）；（2），．解析：思路：（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解；（2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解.（1）因为，所以，由题意可知，，，，所以，解得，，，所以函数的解析式为，经检验适合题意，所以；（2）由（1）知，令，则，解得，或，当时，；当时，；所以在和上单调递增，在上单调递减，当时，取的极大值为，当时，取得极小值为，又，，所以，．16.已知数列中，，.（1）求证：数列为等差数列；（2）令的前项和为，求证.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）将已知递推式整理得到1an+1（2）先根据第一问的结论求出​的通项，代入目标数列通项裂项后，用裂项相消法求出前项和，再对结果放缩即可证明.（1）已知

​，且

a1=1≠0，由递推关系可知

a则该递推关系可整理为

1an+1因此数列是首项为1，公差为2的等差数列.（2）由（1）可得，所以，所以2n所以T=17.如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，．（1）求证：平面平面；（2）已知点满足，，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）先证明面，再证明平面平面.（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，计算平面和平面的法向量，由平面夹角的余弦值得的值，求直线与平面所成的角正弦值.（1）证明：等腰梯形中，，，延长，交于，则，，所以为等边三角形，所以，且，，平面，平面，所以面，又因为平面，则平面平面.（2）过作交于，以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，则取平面的法向量，，得，因为，所以，即，，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成的角正弦值为．18.已知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）等差数列满足，对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；（3）若数列，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列是等差数列．答案：（1），；（2）；（3）证明见解析.解析：思路：(1)根据递推公式及()，可得数列是等比数列，计算即可得的通项公式.(2)求出等差数列的通项公式，再结合(1)参数分离出得，构造数列并求其最大值即可得解.(3)已知的递推公式在当时两边同乘，再与运用已知递推公式作差即可得数列的通项公式推理作答.（1）因，即，则当时，，即，而当，则，即，于是有数列是以为公比，2为首项的等比数列，因此，，所以数列的通项公式是：，.（2）数列为等差数列且，则公差，，对于任意的，恒成立，即，亦即恒成立，令，则，当，2时，，当时，，于是得，，则，所以实数k的取值范围是.（3）对于任意的正整数n，，当时，，而，则，当时，，上式两边同时乘以得：，因此，，即，从而有，而也满足上式，则，，，所以数列是以为首项，公差为的等差数列.方法提示：思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求.19.已知函数．（1）求的单调区间；（2）当时，判断的零点个数，并证明结论；（3）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）答案见解析；（2）只有一个零点，证明见解