2025-2026学年江苏扬州市高邮市高二下册期中学情调研测试数学试题 含解析

/数学一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，向量，且，则（）A.5 B.1 C.-1 D.-52.若，则（）A.3 B.4 C.5 D.63.已知函数，则（）A.2 B.0 C.-1 D.14.已知，若不能构成空间的一个基底，则（）A. B. C. D.5.有五名同学排成一排，其中甲、乙两人不能在一起的排法数是（）A.120 B.72 C.36 D.126.设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（）A. B. C. D.7.如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.8.已知为定义在上的奇函数，为其导函数，当时，，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为正整数，且，则下列等式正确的是（）A.B.C.D.10.已知函数，则（）A.当时，的单调减区间为B.当时，对任意，都有C.当时，在上的值域为D.若有三个不同的零点，则11.如图，在长方体中，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，且平面，则下列说法正确的是（）A.异面直线与所成角的余弦值为B.点到棱中点的距离为定值C.与平面所成角的正切值为4时，D.的最小值为14三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知，则在上的投影向量为__________.（用坐标表示）.13.已知函数在处取得极大值，则实数的值为__________.14.若存在使得成立，则的最大值为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点.（1）设，试用向量表示；（2）求线段的长度.16.某植物园大门有编号共5个检票口，现有一行6人需进园游玩.（1）若每人随机选择一个检票口进园，则6人共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）（2）若6人中有一老人需由家人A陪同进园，所有人随机选择检票口，且每个检票口均有人选择，则6人共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）（3）若6人均在1号检票口排队依次进园，其中两个小孩既不能排在队首，也不能排在队尾，则6人共有多少种不同的进园方法？（用数字作答）17.已知函数，曲线在处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）函数的导函数为，求函数在区间上的最小值.18.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面.（1）求证：；（2）已知点为线段上的动点（不与重合），①当点为线段的中点时，求直线与平面所成角的余弦值；②当平面与平面的夹角最小时，试确定点的位置.19.已知.（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）讨论函数是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；（3）当时，求证.

数学一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，向量，且，则（）A.5 B.1 C.-1 D.-5答案：A解析：解答过程：因为，所以，解得2.若，则（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：C解析：思路：根据排列数公式计算即可.解答过程：由，得，解得（舍去）.故选：C.3.已知函数，则（）A.2 B.0 C.-1 D.1答案：D解析：解答过程：因为，所以，所以.4.已知，若不能构成空间的一个基底，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：空间中三个向量不能构成基底的充要条件是三个向量共面，即存在实数使得，代入坐标得方程组：，代入第二个方程：，代入第一个方程得.5.有五名同学排成一排，其中甲、乙两人不能在一起的排法数是（）A.120 B.72 C.36 D.12答案：B解析：思路：先求出五名同学排成一排的所有排列情况，再求出甲、乙两人排在一起的排列情况，最后用总的排列情况减去甲、乙两人排在一起的排列情况，可得甲、乙两人不能在一起的排法数.解答过程：五名同学排成一排的所有排列情况为种，甲、乙两人排在一起的排列情况为种，所以甲、乙两人不能在一起的排法数为.6.设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值.解答过程：令，即，解得，代入曲线方程求得，故切点为，斜率为1的切线方程为，两平行直线和的距离为，所以的最小值为.7.如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据四点共面，求得；再建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离的求解公式，计算即可.解答过程：根据题意，因为平面，且满足，故，解得；以为坐标原点，建立如下空间直角坐标系：故，则，则在上的投影为，又，故点到直线的距离.8.已知为定义在上的奇函数，为其导函数，当时，，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：构造函数，通过研究的奇偶性与单调性求解不等式.解答过程：令，因为为定义在上的奇函数，则，所以为定义在上的偶函数.当时，，，由已知，所以，则在上单调递减，则对于不等式，当时，，不等式可化为，即，又在上单调递减，解得；当时，，不等式可化为，即，由为偶函数，则在上单调递增，解得，所以不等式的解集为．二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为正整数，且，则下列等式正确的是（）A.B.C.D.答案：BC解析：解答过程：因为，所以A错误；因为，所以B正确；因为，所以C正确；因为，而即，所以D错误.10.已知函数，则（）A.当时，的单调减区间为B.当时，对任意，都有C.当时，在上的值域为D.若有三个不同的零点，则答案：ACD解析：思路：求出具体函数，利用导数求解单调性判断A，举反例判断B，利用导数求解函数值域判断C，将零点问题转化为交点问题，再利用导数求解函数的单调性与最值，最后求解参数范围判断D即可.解答过程：对于A，当时，，可得，令，得到，则的单调减区间为，故A正确，对于B，由题意得，则，令，则，与不符，故B错误，对于C，当时，由题意得，而，令，而，当时，，此时在上单调递增，且，则，即，则在上单调递增，且，，则，可得在上的值域为，故C正确，对于D，由题意得，若有三个不同的零点，则有三个不同的解，即有三个不同的解，即与有三个不同的交点，而，令，，令，，则在上单调递减，在上单调递增，而，，可得，故D正确.11.如图，在长方体中，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，且平面，则下列说法正确的是（）A.异面直线与所成角的余弦值为B.点到棱中点的距离为定值C.与平面所成角的正切值为4时，D.的最小值为14答案：ABD解析：思路：建立空间直角坐标系，选项A根据异面直线所成角的空间向量坐标公式求解；根据已知条件求出点坐标的表达式，代入空间两点间距离公式求解选项B；选项C根据线面角的正切值得出点坐标，验证等式；选项D根据空间向量的数量积公式求出，结合点的坐标求出最值.解答过程：以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，设异面直线与所成角为，，选项A正确；设点，因为平面，又平面，所以，，，，，则，即，的中点为，，选项B正确；与平面所成角即为，，所以，，点为四边形内部，所以，，选项C错误；，因为，，因为，的最小值为，选项D正确三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知，则在上的投影向量为__________.（用坐标表示）.答案：解析：解答过程：向量，则，，所以在上的投影向量为13.已知函数在处取得极大值，则实数的值为__________.答案：2解析：思路：函数在处取得极大值，先由导数等于，求出参数的可能值，利用求极值的方法分别判断哪一个值符合题意，从而得到的值.解答过程：由题意可知，，函数的定义域为，求导得，因为函数在处取得极大值，所以有，即，整理得，解得或，当时，，当时，，解得或，则在和上是单调递增函数；当时，，解得，则在上是单调递减函数；故在处取得极小值，不满足题意；当时，，当时，，解得或，则在和上是单调递增函数；当时，，解得，则在上是单调递减函数；故在处取得极大值，满足题意；因此.14.若存在使得成立，则的最大值为__________.答案：解析：思路：同构变形，构造函数，得到，代入变形，构造函数，求出最值，得到答案.解答过程：，设，则，因为，所以，在上恒成立，故在上单调递增，故，，所以，令，，故，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，最大值为，所以的最大值为四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点.（1）设，试用向量表示；（2）求线段的长度.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据空间向量的加减运算求解即可；（2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解，（1）.（2）依题意，，则.16.某植物园大门有编号共5个检票口，现有一行6人需进园游玩.（1）若每人随机选择一个检票口进园，则6人共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）（2）若6人中有一老人需由家人A陪同进园，所有人随机选择检票口，且每个检票口均有人选择，则6人共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）（3）若6人均在1号检票口排队依次进园，其中两个小孩既不能排在队首，也不能排在队尾，则6人共有多少种不同的进园方法？（用数字作答）答案：（1）15625（2）120（3）288解析：思路：（1）利用分步乘法计数原理列式计算.（2）利用相邻问题捆绑法列式计算.（3）利用特殊元素法，结合分步乘法计数原理列式计算.（1）依题意，每人均有5种选法，由分步乘法计数原理知，共种选法.（2）依题意，将老人和家人A视为一个整体与另外4人排列，共有种选法.（3）依题意，将两个小孩先排在中间任意两个位置上，有种；再将剩余4人任意排在其余4个位置上，有种，由分步乘法计数原理知，共有种排法.17.已知函数，曲线在处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）函数的导函数为，求函数在区间上的最小值.答案：（1）（2）当时，的最小值为；当时，的最小值为解析：思路：（1）利用导数求切线斜率，并代入切点求参数；（2）对函数求导并令导数为零，以求得的根对进行分类讨论.（1）由题知，则，得，，将点代入切线方程得，故.（2）由（1）知，令，令，得或，①当时，若，，单调递减，故函数在区间上的最小值为；②当时，若，，单调递减，若，单调递增，故函数在区间上的最小值为；综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为.18.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面.（1）求证：；（2）已知点为线段上的动点（不与重合），①当点为线段的中点时，求直线与平面所成角的余弦值；②当平面与平面的夹角最小时，试确定点的位置.答案：（1）证明见解析（2）①；②为的中点解析：思路：（1）建立空间直角坐标系，利用数量积为得到线线垂直；（2）①求出平面的一个法向量为，利用数量积公式求出，从而得到直线与平面所成角的正弦值，利用同角关系式求出直线与平面所成角的余弦值.②设，求出平面的一个法向量，利用数量积公式求出，设平面与平面的夹角为，则，要使夹角最小，即最大，需要分母最小，从而得到平面与平面的夹角余弦值最大，即平面与平面的夹角最小，此时为的中点.（1）平面平面，四边形为正方形，，如图，以为正交基底建立空间直角坐标系，则，，.（2）①为的中点，，，∵平面的一个法向量为，，∴直线与平面所成角的正弦值为，∴直线与平面所成角的余弦值为.②设，，设平面的一个法向量为，，，，，，取，则，∴平面的一个法向量为，，设平面与平面的夹角为，则，要使夹角最小，即最大，需要分母最小，当，即时，平面与平面的夹角余弦值最大，即平面与平面的夹角最小，此时为的中点.19.已知.（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）讨论函数是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；（3）当时，求证.答案：（1）（2）当时，无极值点；当时，函数的极小值点为，无极大值点