2025-2026学年辽宁省朝阳市高二下册5月期中数学试题 含解析

/数学第Ⅰ卷（客观题，共58分）一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1.已知，数列的项数为（）A. B. C. D.2.若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（）A.-6 B.6 C.3 D.-33.已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（）A. B. C. D.4.如图，有一个盛水的容器，高为，其可看作两个完全相同的圆台，将面积较大的底面去掉后对接而成.现将容器从底部放水，且任意相等的时间间隔内所放水的体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是（）A. B.C. D.5.为公差不为0的等差数列的前项和，若，且，则（）A.12 B.15 C.16 D.186.数列满足，则（）A. B. C.4 D.7.已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为372，则写错之前这个数为（）A.64 B. C.100 D.8.已知定义在上的偶函数，其导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则使得成立的的取值范围为（）A. B.C. D.二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）9.有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，结果得到列联表如下：则（）性别男生女生合计不愿报名参加答题活动206080愿意报名参加答题活动80

合计100

参考公式：，其中.附表：0.10.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.828A.当时，有的把握认为参与答题意愿与性别无关.B.当时，有的把握认为参与答题意愿与性别有关.C.当时，根据小概率值的独立性检验，认为参与答题意愿与性别有关联.D.当时，根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断参与答题意愿与性别有关联.10.已知数列的通项公式为，前项和为，前项积为.则下列结论中正确的是（）A.使的项有2项B.满足的的值共有6个C.既有最小值，又有最大值D.有最小值，无最大值11.三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（）A.当时，拐点处的切线方程为B.若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是C.对任意实数，直线与曲线有唯一公共点D.存在等差数列，使第II卷（主观题，共92分）三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分）12.已知数列中，前n项和，求的通项公式为______.13.已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式恒成立，则实数的最小值______.14.已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为__________.四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知函数且（1）讨论函数的单调性；（2）若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标.16.某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量（库仑）与使用时间（小时）的散点图，其中为正整数.（1）利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）在（1）的条件下，（i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）；（ii）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由.参考公式.参考数据：记4512.021.5520.20285-4.2545.073.4217.已知函数fx（1）求函数的单调性；（2）若且，若，求的取值范围.18.等差数列的前项和为，，，数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）将数列与数列项从小到大排在一起，公共项只记一次，得到新的数列，求数列的前50项和.19.在数列与中，，数列的前n项和满足，为与的等比中项，.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求数列与的通项公式；（Ⅲ）设，证明

数学第Ⅰ卷（客观题，共58分）一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1.已知，数列的项数为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以可得数列的第项为，由，解得.所以该数列的项数为.2.若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（）A.-6 B.6 C.3 D.-3答案：B解析：解答过程：因为当无限趋近于0时，无限趋近于常数6，所以该质点在时的瞬时速度为6.3.已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意得，所以，，，，所以，故，则.4.如图，有一个盛水的容器，高为，其可看作两个完全相同的圆台，将面积较大的底面去掉后对接而成.现将容器从底部放水，且任意相等的时间间隔内所放水的体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：考虑函数增长速度得到结论可得正确的选项.解答过程：因为单位时间内放水的体积不变，结合容器的形状，在单位时间内，高度变化率先由快变慢，后由慢变快.5.为公差不为0的等差数列的前项和，若，且，则（）A.12 B.15 C.16 D.18答案：B解析：解答过程：由，可得，所以，所以，设等差数列的公差为，所以，所以，由，得，所以，所以，又，所以，解得.6.数列满足，则（）A. B. C.4 D.答案：A解析：思路：由递推公式推出数列周期为3，再利用求出首项，最后通过周期运算得到求出答案解答过程：因为，所以，即数列是周期为3的周期数列,因为，所以，7.已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为372，则写错之前这个数为（）A.64 B. C.100 D.答案：B解析：思路：由并项求和及等差数列的求和公式即可直接求得答案.解答过程：，则其前20项和为,设写错项为，则，解得，，故写错之前这个数为．8.已知定义在上的偶函数，其导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则使得成立的的取值范围为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据已知构造新函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质，进行求解，即可得到答案．解答过程：当时，由，得，两边同乘得，设，则当时，，∴在单调递减，由，则，即，因为是偶函数，所以也是偶函数，则不等式等价，即，则或，即实数的取值范围是.二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）9.有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，结果得到列联表如下：则（）性别男生女生合计不愿报名参加答题活动206080愿意报名参加答题活动80

合计100

参考公式：，其中.附表：0.10.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.828A.当时，有的把握认为参与答题意愿与性别无关.B.当时，有的把握认为参与答题意愿与性别有关.C.当时，根据小概率值的独立性检验，认为参与答题意愿与性别有关联.D.当时，根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断参与答题意愿与性别有关联.答案：BC解析：解答过程：对于AB，当时，，则，所以有的把握认为参与答题意愿与性别有关.，故A错误，B正确；对于CD，当时，，零假设为：参与答题意愿与性别无关，则，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以根据小概率值的独立性检验，认为参与答题意愿与性别有关联，故C正确，D错误.10.已知数列的通项公式为，前项和为，前项积为.则下列结论中正确的是（）A.使的项有2项B.满足的的值共有6个C.既有最小值，又有最大值D.有最小值，无最大值答案：ACD解析：解答过程：对于A，因为，因为为奇数，所以只有当时，即或时，，故A正确；对于B中，当时，满足；当时，满足；当时，，所以，满足时，，共有4个值，所以B不正确；对于C中，由数列的通项公式为，可得，当时，数列的各项小于1，且是单调递减数列；当时，数列的各项大于1，且是单调递减数列，所以，数列的最小项为，最大项为，所以C正确；对于D中，由上述中的讨论，可得在中，只有和为负数，且，所以存在最小值或，从第8项开始，为正数，结合，可知随着的增大而增大，所以无最大值，所以D正确.11.三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（）A.当时，拐点处的切线方程为B.若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是C.对任意实数，直线与曲线有唯一公共点D.存在等差数列，使答案：ACD解析：思路：利用导数的意义求得切线方程可判断A；设切点为，可得切线方程，进而得，利用与有三个交点求得的取值范围判断B；由，求得可判断C；求得对称中心，可得函数图象关于点对称，进而列举法可判断D.解答过程：对于A：当时，，则，，令，解得，又，，所以函数拐点处的切线方程为，即，故A正确；对于B：因为，则，设切点为，则，所以切线方程为，又切线过点，所以，整理得，令，则，所以当时，，当或时，，所以在上单调递增，在，上单调递减，所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，，因为经过点可以向曲线作三条切线，即与有三个交点，所以，即的取值范围是，故B错误；对于C：由，可得，即，显然在定义域上单调递增，所以，即对任意实数，直线与曲线有唯一公共点，故C正确.对于D，由，得，所以，令，解得，又，所以函数图象关于点对称，所以，，所以，所以存在等差数列，使，故D正确.第II卷（主观题，共92分）三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分）12.已知数列中，前n项和，求的通项公式为______.答案：解析：思路：利用求解通项公式.解答过程：①，当时，，当时，，显然不满足，综上，.故13.已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式恒成立，则实数的最小值______.答案：##解析：思路：利用等差数列的前项和公式及等差数列的性质求得，用裂项相消法求得的和，进而求出最小值解答过程：是等差数列，则，，所以，所以，所以，即对任意恒成立，所以，即的最小值是．14.已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为__________.答案：解析：思路：由题意可得在上的最小值为，求导得，利用单调性可得对上恒成立，据此求解即可求得的取值范围.解答过程：因为，所以，又不等式在上恒成立，所以在上的最小值为，由，得，又在上单调递增，若在上有解，即，使得，当时，，则函数在上单调递减，即，与在上的最小值为矛盾，不符合题意；所以在上无解，即对上恒成立，所以，所以，所以，解得，所以的取值范围为.四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知函数且（1）讨论函数的单调性；（2）若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标.答案：（1）答案见解析（2）解析：思路：（1）求导，分，两种情况讨论，可求得函数的单调区间；（2）设：切点坐标为，由题意可得，求解即可.（1）由题.若时，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.若时，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.综上：当时，在上单调递减；在上单调递增.当时，在上单调递增；在上单调递减.（2）设：切点坐标为，由题意得，解得，，所以切点的坐标.16.某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量（库仑）与使用时间（小时）的散点图，其中为正整数.（1）利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）在（1）的条件下，（i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）；（ii）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由.参考公式.参考数据：记4512.021.5520.20285-4.2545.073.42答案：（1）更适宜作为回归模型.（2）（i）；（ii）会报警提示，理由见解析解析：思路：（1）由散点图知，能更好地对与的关系进行拟合.（2）（i）两边取对数得，进而利用最小二乘法可求得回归方程；（ii）代入，计算可得结论.（1）函数是均匀变化的，图象是一条直线，函数的图象是一条曲线，选择恰当的可使更好拟合散点图.所以更适宜作为回归模型.（2）（i）两边取对数得，由于，故，，即，故，（ii）会报警提示，理由如下：中，令得，故会报警提示17.已知函数.（1）求函数的单调性；（2）若且，若，求的取值范围.答案：（1）当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增（2）解析：思路：（1）由题意得hx=lnx−12ax2−2（2）由题意得在单调递减，利用导数可得对恒成立，进而计算可求得的取值范围.（1）由已知，h当时，令的图象开口向下，且，所以时，，即，则在上单调递增，时，，即，则在上单调递减；当时，hx=lnx所以时，，则在上单调递增，时，，则在上单调递减；当时，的图象开口向上，且Δ=41+a>0或时，，即，则在0,1+a时，，即，则在上单调递减.当时，的图象开口向上，且Δ=41+a≤0此时，即，则在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在0,1+a−1a当时，在上单调递增；（