2025-2026学年甘肃渭源县第二中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学满分为150分，考试时间为120分钟．一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.设，则（）A. B. C. D.3.在数列中，若，则的值为（）A.2 B.-2 C.1 D.-14.已知向量，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.45.为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点的（）A.横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B.横坐标变为原来的（纵坐标不变）C.纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D.纵坐标变为原来的（横坐标不变）6.设，，，则（）A. B. C. D.7.某学校准备把3个高中数学联赛和3个高中物理联赛的名额分配到高二年级的甲、乙、丙三个班，每班恰好2个名额，则不同的分配方案共有（）A.6种 B.7种 C.8种 D.15种8.如图，已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为（）A. B.4 C.8 D.二、多选题（每题6分，共18分）9.在三棱锥中，，，，平面，点为的垂心，且，则（）A.平面B.C.三棱锥体积的最小值为D.三棱锥外接球表面积的最小值为10.记的内角的对边分别为下列说法中正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则为锐角三角形D.当为锐角三角形，且时，11.设函数，则（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数在区间上单调递增D.当时，方程在区间上所有实根的和为三、填空题（每题5分，共15分）12.已知曲线在点处的切线与圆：相切，则__________．13.若，则___________．14.已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，点在抛物线：上运动，过点作曲线的切线，切点分别为，，则的最小值为______．四、解答题（5个小题，共77分）15.已知的三个顶点在半径为2的圆上，.（1）求；（2）若为锐角，求周长的取值范围.16.为了解观看某场“苏超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：性别不关注赛事关注赛事合计男性25150175女性5075125合计75225300（1）对照列联表，能否有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关？（2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为，求的分布列和期望．附：，．0.010.0050.0016.6357.87910.82817.在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，垂直于面，，．（1）如图1，当面面时，证明：面；（2）如图2，当二面角为时，求点到面的距离．18.已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，过F且与x轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为6.（1）求曲线E的方程；（2）A、B、C为曲线E上的三个点，且A、B关于原点对称，直线BC过点F，若的面积为12，求直线BC的方程；（3）已知，过点的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P、Q，则直线l上是否存在点T使得，？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由.19.已知函数，其中为实数（1）讨论的单调性；（2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围；（3）若，试判断的零点个数.

数学满分为150分，考试时间为120分钟．一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：绝对值不等式等价于：，两边同时减去，得，故，分式不等式等价于分子分母同号，即：，解得，故，所以.2.设，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：设，由题意得，所以，所以解得，所以.3.在数列中，若，则的值为（）A.2 B.-2 C.1 D.-1答案：A解析：思路：根据数列的周期性即可求解.解答过程：,因此是周期数列，且周期为3，故4.已知向量，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：利用向量垂直等价于数量积为0，计算出的关系，用关于的代数式表达，使用均值不等式求出最小值.解答过程：，即,，当且仅当即时取等号.5.为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点的（）A.横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B.横坐标变为原来的（纵坐标不变）C.纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D.纵坐标变为原来的（横坐标不变）答案：A解析：解答过程：将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），即.6.设，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据给定条件，利用作差法，结合对数换底公式及对数函数单调性比较大小.解答过程：由，得；由，得，因此.7.某学校准备把3个高中数学联赛和3个高中物理联赛的名额分配到高二年级的甲、乙、丙三个班，每班恰好2个名额，则不同的分配方案共有（）A.6种 B.7种 C.8种 D.15种答案：B解析：解答过程：两个数学名额为1个组，一个数学名额一个物理名额为1个组，两个物理名额为1个组，再将这三个组分配到甲、乙、丙三个班有种分法；高二年级的甲、乙、丙三个班各1个数学名额和各1个物理名额有1种分法；综上所述：不同的分配方案共有种.8.如图，已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为（）A. B.4 C.8 D.答案：A解析：思路：由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得的关系，由此可得，再利用三角换元求最大值.解答过程：为第一象限的交点，设、，则、，解得、，在中，由余弦定理得：，∴，∴，∴，∴，∴，设，，则，当时，即，时，取得最大值.二、多选题（每题6分，共18分）9.在三棱锥中，，，，平面，点为的垂心，且，则（）A.平面B.C.三棱锥体积的最小值为D.三棱锥外接球表面积的最小值为答案：ABC解析：思路：选项，利用垂心和平面的已知条件，可以找出与垂直的两条相交直线，由线面垂直的判定定理可以得出判断；选项，由三棱锥一定点处三条棱两两垂直，底面垂心的性质，代入即可得出判断；选项，先根据底面三条边求出三角形面积，进而表示出体积，由选项的结论，代入化简成一个参数的表达式，利用导数求出最值；选项，通过三棱锥一定点处三条棱两两垂直，可知三棱锥与此三条棱构成的长方体外接球的球心相同，进而求出球体半径，表示出球体表面积，利用基本不等式求出球体表面积的最小值.解答过程：解：选项，由为的垂心可知，，又平面，平面，所以，又因为，因此平面，平面，所以.同理，，又，，所以平面，平面，所以，又因为，，所以平面，选项正确；选项，由易知，，两两垂直，平面，点为的垂心，，由海伦公式知，代入上式，两边平方，取倒数，化简可得，代入，，，得，，化简得，因此正确；选项，由，，两两垂直，，，，根据勾股定理，可得，，，在中，由余弦定理可得，代入各边长，化简得，所以，所以，因此，两边同时平方得，由选项知，设，，则，可得，，所以.代入，化简得，令，则，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，所以当时，取最小值，为，即的最小值为，因此的最小值为，正确；选项，因为，，两两垂直，所以三棱锥的外接球球心与以，，为长宽高的长方体外接球的球心相同，则外接球直接，所以，所以外接球表面积为，由，则,由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，此时外接球表面积的最小值为，因此错误.10.记的内角的对边分别为下列说法中正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则为锐角三角形D.当为锐角三角形，且时，答案：ABD解析：思路：对A直接由正弦定理进行角化边及大边对大角定理可得；对B根据二倍角公式及正弦定理可得；对C可进行举反例判断；对D先将原不等式等价转化为，再结合正切函数的单调性判断可得.解答过程：对选项A，根据正弦定理，，因此，即三角形中大边对大角，故，A正确；对选项B，由，得，因为，所以，故，结合A的结论得B正确；对选项C，举反例：取，，，满足条件，但此时，是钝角三角形，C错误；对选项D，原不等式等价于：

，整理得：

利用三角恒等变换得，因为是锐角三角形，​，所以原不等式等价于：​.又因为，所以，因为函数在单调递增，因此，原不等式成立，D正确.11.设函数，则（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数在区间上单调递增D.当时，方程在区间上所有实根的和为答案：BCD解析：思路：先利用以及余弦函数的偶函数的性质判断周期和对称性，再求导讨论单调性.最后把方程转化为关于的方程，再列出区间内的全部根并求和.解答过程：因为且都是偶函数，所以故是函数的一个周期.又所以的最小正周期不是，而是.因此A错误.对于B，任取，，由余弦函数的性质可得所以函数的图象关于直线对称，B正确.对于C，因为，所以当时，从而于是故函数在区间上单调递增，C正确.对于D，令则方程化为即因为且所以在区间上，方程只有唯一解设则于是在区间内，方程的解为方程的解为故区间内全部实根为这些根的和为，所以D正确.综上，正确选项为BCD.三、填空题（每题5分，共15分）12.已知曲线在点处的切线与圆：相切，则__________．答案：解析：思路：利用导数求出曲线在点处的切线，再根据直线与圆的位置关系求出值.解答过程：已知，求导得，则，所以曲线在点处的切线为，即.又切线与圆相切，所以，整理得，解得.13.若，则___________．答案：解析：思路：利用赋值法，令，和，即可求解.解答过程：由题意得：令，得，令，得，令，得，所以，所以.14.已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，点在抛物线：上运动，过点作曲线的切线，切点分别为，，则的最小值为______．答案：解析：思路：根据题意，求得曲线的方程，得出，结合两点间距离公式和函数的性质，即可求得的最小值，得到答案.解答过程：设，已知，，则，整理得，所以点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，所以.如图所示：设，连接，，根据题意可知,,且，,连接，可得四边形的面积为直角面积的2倍，且，所以,可得,设，则，当，即与坐标原点重合时，取得最小值3，故的最小值为.四、解答题（5个小题，共77分）15.已知的三个顶点在半径为2的圆上，.（1）求；（2）若为锐角，求周长的取值范围.答案：（1）或（2）解析：思路：（1）由正弦定理可求得，可求；（2）由正弦定理可得，结合三角恒等变换，以及的范围可求得周长的取值范围.（1）由正弦定理可得，所以，又因为，所以或.（2）若为锐角，由（1）可知，由正弦定理可得，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以周长的取值范围为.16.为了解观看某场“苏超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：性别不关注赛事关注赛事合计男性25150175女性5075125合计75225300（1）对照列联表，能否有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关？（2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为，求的分布列和期望．附：，．0.010.0050.0016.6357.87910.828答案：（1）有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关（2）解析：思路：（1）运用独立性检验判断赛事与性别关系；（2）先进行分层抽样，求概率后列分布列，利用期望公式求期望.（1）假设：关注“苏超”赛事与性别无关，依题意，则假设不成立，即有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关.（2）由题意可得，关注赛事的市民中男女比例为，所以6人中抽取男性市民人，女性市民人，则的取值为，，，，分布列如下表所示：所以．17.在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，垂直于面，，．（1）如图1，当面面时，证明：面；（2）如图2，当二面角为时，求点到面的距离．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）取中点，连接，根据面面垂直的性质定理得到平面，进而得到，再根据线面平行的判定定理证明；（2）利用点到面距离的向量求法进行求解.（1）取中点，连接，，又平面平面，平面平面，平面，又平面，，平面，平面平面．（2）过作平面于点，过作于点，连接则，为的中点，且，，，，如图建系，，，，，设平面的一个法向量，到面的距离为，18.已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，过F且与x轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为6.（1）求曲线E的方程；（2）A、B、C为曲线E上的三个点，且A、B关于原点对称，直线BC过点F，若的面积为12，求直线BC的方程；（3）已知，过点的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P、Q，则直线l上是否存在点T使得，？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由.答案：（1）（2）或或（3）不存在，理由见解析解析：思路：（1）根据双曲线离心率公式和通径公式求解即可；（2）根据直线与双曲线相交的弦长公式及三角形面积公式可得结果；（3）先根据直线与双曲线的交点情况得到直线的斜率的范围，并结合条件得到点的坐标关于的表达式，接下来一种方法是通过消去得到点的坐标满足，再结合得到，最后验证对应的斜率不在范围内，另一种方法是将点的坐标直接代入得到关于的方程，最后验证该方程无范围内的解，从而得出结论.（1）过右焦点且与轴垂直的直线为，代入双曲线方程得，依题意有，又由离心率为，得，联立得，所以曲线的方程为.（2）设，由（1）得，所以，因为关于原点对称，所以，可知直线的斜率不能为（否则不存在），故可设其方程为，与双曲线方程联立，整理得，可得且，以及，所以，解得或，所以直线的方程为或或.（3）若直线斜率不存在，则直线与双曲线右支无交点，不合题意，故可设直线方程为，与双曲线方程联立，整理得，设，则有且，以及，其中，所以，结合其它不等式解得，设，由