2025-2026学年广东广州真光中学高二下册3月阶段质量检测数学试题 含解析

/数学本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为等差数列，，，则（）A.36 B.24 C.18 D.122.如图，从甲地到乙地有1条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路；从甲地不经乙地或丙地直接到达丁地有n条路.若从甲地到丁地总共有20条不同的路线，则（）A.5 B.6 C.7 D.83.已知函数，则（）A.1 B. C. D.24.函数在的图象大致为（）A. B.C. D.5.函数在上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（）A. B.且 C. D.且6.若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（）A.当时，曲线是椭圆B.当或时，曲线是双曲线．C.当时，双曲线的渐近线方程为D.当曲线的离心率为时，的值为10.已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的有（）A.数列为等比数列 B.数列为等比数列C.数列为等差数列 D.11.我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（）A.B.C.，其中D.函数的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某银行向贫困户小李提供10万元以内的免息贷款，小李准备向银行贷款万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润（单位：万元）与贷款满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款______万元.13.在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有__种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是__．1121314012223342132233431524344414.已知抛物线的顶点为，经过点的直线与抛物线相交于、两点，直线与直线相交于点，则点到直线的距离的最小值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的首项，且满足（）.（1）证明：数列为等比数列；（2）若（），求数列的前项和.16.如图1，等腰直角的斜边，D为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为60°，如图2，M为的中点.（1）证明：；（2）求平面和平面所成角的余弦值.17.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）已知函数．①若，求证：当时，；②若，函数在区间上存在唯一零点，求的取值范围．18.如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直.（1）求椭圆的方程；（2）若，求MN的方程；（3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值.19.函数，，为自然对数的底数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，证明函数存在唯一的极值点；（3）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围.

数学本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为等差数列，，，则（）A.36 B.24 C.18 D.12答案：B解析：思路：先计算等差数列的公差，再进行求解即可．解答过程：公差,则.2.如图，从甲地到乙地有1条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路；从甲地不经乙地或丙地直接到达丁地有n条路.若从甲地到丁地总共有20条不同的路线，则（）A.5 B.6 C.7 D.8答案：A解析：思路：利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理得到方程，求出.解答过程：甲地经乙地到丁地的路线共有条，甲地经丙地到丁地的路线共有条，故从甲地到丁地路线条数为，所以，解得.3.已知函数，则（）A.1 B. C. D.2答案：C解析：思路：利用导数列方程，化简求得.解答过程：依题意，，所以，所以.故选：C4.函数在的图象大致为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先由奇函数排除B选项，再由时，，可排除A选项，结合导数研究可得在上单调递增，在上单调递减，结合图像分析即可求解.解答过程：由题意，关于原点对称，又为奇函数，可排除B选项；又时，可得，可排除A选项，当时，,当时，，所以当时，，当时，,所以在上单调递增，在上单调递减，结合图像分析D不对，C选项正确.5.函数在上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（）A. B.且 C. D.且答案：D解析：思路：求得，根据题意，得出不等式组，即可求解.解答过程：由函数，可得，因为函数既有极大值又有极小值，则满足，解得且．6.若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先求得圆心到直线的距离，结合图象，需使，求解即得.解答过程：由知圆心为，因圆心到直线的距离，作出其图象如下，由图知，要使圆上有且仅有2个点到直线的距离为，需使，解得．7.已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据函数零点的定义，通过构造新函数，利用转化法把交点问题转化为直线与曲线的交点问题，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可.解答过程：显然该函数的定义域为全体正实数，由，设，，当时，，所以函数在上单调递增，当时，，所以函数在上单调递减，则有，问题函数有两个零点，转化为直线与曲线有两个不同的交点，如下图所示：由数形结合思想可知：当时，直线与曲线有两个不同的交点，即函数有两个零点，所以实数a的取值范围为.8.已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可.解答过程：，即，，令，解得：，当时，，，则在区间单调递增；当时，，在区间单调递减；，即，关于对称，，，即，两边平方得，解得，则实数的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（）A.当时，曲线是椭圆B.当或时，曲线是双曲线．C.当时，双曲线的渐近线方程为D.当曲线的离心率为时，的值为答案：BC解析：思路：利用椭圆，双曲线的标准方程的特点依次判断A,B；当时，双曲线：，双曲线的渐近线方程为；分两种情况讨论，即可求解.解答过程：当时，即且时，曲线为椭圆，故A错误；当时，即或时曲线为双曲线，故B正确；当时，双曲线：，双曲线的渐近线方程为，故C正确；当曲线的离心率为时,,所以，或，解得或.经检验或符合题意.故D错误故选：BC10.已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的有（）A.数列为等比数列 B.数列为等比数列C.数列为等差数列 D.答案：ACD解析：思路：利用等比数列的定义可判断AB选项；求出数列的通项公式，可判断C选项；利用等比数列求和公式可判断D选项.解答过程：因为数列的前项和为，且满足，，，对于A选项，由已知等式变形可得，且，所以，所以，数列是首项为1，公比的等比数列，故，A正确；对于B选项，由已知等式变形得，且，所以数列是首项为0，公差为0的等差数列，即，故数列不是等比数列，B错误；对于C选项，由可得，则，则数列为等差数列，C正确；对于D选项，，故D正确．故选：ACD.11.我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（）A.B.C.，其中D.函数的最小值为答案：ABC解析：思路：对于A：构建，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断；对于B：对，取对数整理即可；对于C：假设成立，再两边取对数，结合选项B分析判断；对于D：结合不等式分析可知，当且仅当时，等号成立，结合的零点分析判断.解答过程：对于选项A：构建，则为的零点，因为，若，则，可知在内单调递减，且，所以在内无零点；若，则，可知在内单调递增，且，所以在内存在唯一零点，故A正确；对于选项B：因为，，即，两边取对数可得：，得,则，故B正确；对于选项C：假设成立，则，得，得，得，则，得，得，则，得，得，故假设成立，故C正确；对于选项D：构建，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，可得，当且仅当时，等号成立，则，当且仅当，即时，等号成立，因为在内单调递减，可知在内单调递减，且，可知在内存在唯一零点，即，所以的最小值为，不为，故D错误；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某银行向贫困户小李提供10万元以内的免息贷款，小李准备向银行贷款万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润（单位：万元）与贷款满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款______万元.答案：4解析：思路：利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可求出最值.解答过程：依题意，且，，又，所以当时，，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减.所以当万元时，函数取得最大值.故413.在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有__种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是__．11213140122233421322334315243444答案：①.24②.112解析：思路：利用分步乘法原理结合题意分析求解即可．解答过程：第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法，第二步，从第二行中选一个与第一个数不同列的数，共有3种选法，第三步，从第三行中选一个与第一、二个数不同列的数，共有2种选法，第四步，从第四行中选一个与第一、二，三个数不同列的数，只有1种选法，由分乘法原理可知共有种不同的选法；先按列分析，每列必选出一个数，所以所选4个数的十位数字分别为1，2，3，4，再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，所以从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大，所以选中方格中的4个数之和的最大值为.故24；112．14.已知抛物线的顶点为，经过点的直线与抛物线相交于、两点，直线与直线相交于点，则点到直线的距离的最小值是______．答案：解析：思路：分析可知，直线不与轴垂直，设点、，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，可知轴，再利用基本不等式可求得到直线的距离的最小值.解答过程：如下图所示：设点、，若直线轴，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，设直线的方程为，联立可得，，由韦达定理可得，，直线的斜率为，所以直线的方程为，将代入得，即点，故轴，所以直线的方程为，故点到直线的距离为，当且仅当时，即当时，等号成立，故点到直线的距离的最小值是.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的首项，且满足（）.（1）证明：数列为等比数列；（2）若（），求数列的前项和.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）将递推公式配凑成，即可；（2）由（1）求得，由分组求和、错位相减法求和即可.（1）证明：由，得，，且，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，（2）由（1）知数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以，故，所以，设①所以②①－②得.所以，又，所以.16.如图1，等腰直角的斜边，D为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为60°，如图2，M为的中点.（1）证明：；（2）求平面和平面所成角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理，证明线线垂直即可；（2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，进而写出点的坐标和向量，求出平面法向量，根据面面角的向量方法，求出结果.（1）因为，所以是二面角的平面角，即.因为，面，面，所以面，所以，因为D为的中点，所以，所以是等边三角形，因为M为的中点，所以，因为，面，面，所以面，所以.（2）如图所示，作中点，因为分别为中点，所以，由（1）知面，所以面，由（1）知，则以点为坐标原点，以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为等腰直角的斜边，所以，由（1）知是等边三角形，所以，所以，所以，设面的一个法向量为，则，即，令，解得，所以面的一个法向量为，设面的一个法向量为，则，即，令，解得，所以面的一个法向量为，设平面和平面所成角为，则.所以平面和平面所成角的余弦值为.17.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）已知函数．①若，求证：当时，；②若，函数在区间上存在唯一零点，求的取值范围．答案：（1）答案见解析；（2）①证明见解析；②.解析：思路：（1）求导得，再对分类讨论即可；（2）①，从而得到在下单调递增，则，则得到的单调性，即可证明；②当时,分析得在上单调递增，再取点计算得，最后利用零点存在性定理即可得到答案.（1），①当，即时，恒成立，在上单调递增．②当，即或时，令，解得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．（2）(i)，，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，则在上单调递增，则，得证．（ii）当时，，同理有在上单调递增，而，故由零点存在定理可知，存在唯一的，使得．当时，单调递减；当时单调递增．，故由零点存在定理可知，在无零点，在上存在唯一零点．符合题意．当时，由（i）可知不合题意，故舍去．综上所述，的取值范围为．18.如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直.（1）求椭圆的方程；（2）若，求MN的方程；（3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值.答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）根据条件列方程组求解即可；（2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程；（3）将韦达定理代入中计算结果为定值．（1）由椭圆过点，焦距为，得，解得，故椭圆的方程为．（2）