2025-2026学年广东省东莞市大岭山中学、松山湖莞美学校、众美中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1.已知是函数的导函数，若，则（）A. B. C.3 D.42.的展开式中的常数项为（）A. B. C. D.63.函数的单调递增区间为（）A. B.C. D.4.从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是（）A. B. C. D.5.已知函数在处的切线方程为，则的值为（）A. B.3C.4 D.56.2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳；③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳.则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（）A.0.9 B.0.91 C.0.92 D.0.937.“的展开式中的系数为”是“”的（）A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件 D.充分不必要条件8.已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列求导正确的有（）A. B.C. D.10.为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（）A.若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有种不同的选法B.若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有种排法C.若课程“射”、“御”排在不相邻的两个月，则课程共有种排法D.若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有种排法11.已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（）A. B.展开式的二项式系数和为C.展开式的各项系数和为 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.计算的值为___________．（用数字作答）13.函数在区间上的平均变化率为_____.14.已知随机事件互相独立，且满足，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在15件产品中，有10件是一级品，5件二级品，从中一次任意抽取3件产品，求：（1）抽取的3件产品全部是一级品的概率；（2）抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率．16.已知.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值.17.在的展开式中，二项式系数和为（1）求的值并求展开式中的常数项；（2）求展开式中的系数．18.某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：（1）求甲第2天选择羽毛球的概率；（2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；（3）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系.19.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论的零点个数；（3）当时，证明：．

数学一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1.已知是函数的导函数，若，则（）A. B. C.3 D.4答案：C解析：解答过程：函数，则，．2.的展开式中的常数项为（）A. B. C. D.6答案：A解析：解答过程：二项式的展开式的通项公式为令，解得，的常数项为．3.函数的单调递增区间为（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：，则，令，即，且，，故的单调递增区间为．4.从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：首先列举出不大于30的10个素数，再分别求出从10个素数中任取两个素数的情况，以及这些情况中两个素数之和为30的情况，再根据古典概型的概率公式计算即可得解.解答过程：不大于30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个.从中随机选取两个素数有种情况，其中被选取的两个素数之和为30的有，，共3种情况，故所求概率为.故选：A5.已知函数在处的切线方程为，则的值为（）A. B.3C.4 D.5答案：A解析：解答过程：，，又函数在处的切线方程为，，解得，则，，将点代入切线方程得，即，．6.2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳；③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳.则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（）A.0.9 B.0.91 C.0.92 D.0.93答案：D解析：思路：根据全概率公式求解即可.解答过程.7.“的展开式中的系数为”是“”的（）A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件 D.充分不必要条件答案：C解析：解答过程：的展开式中的系数为，若的系数为，则，故，“的展开式中的系数为”推不出“”，若，则展开式中的系数为，故“”能推出“的展开式中的系数为”，“的展开式中的系数为”是“”的必要不充分条件．8.已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据已知条件转化不等式为，构造函数并求导，结合已知条件得出，从而得出单调递减，结合，得出，从而利用单调性求解．解答过程：，已知不等式，则，即，设，求导得，函数是实数集上的减函数，又，即，，故不等式的解集为．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列求导正确的有（）A. B.C. D.答案：BCD解析：解答过程：，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D正确．10.为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（）A.若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有种不同的选法B.若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有种排法C.若课程“射”、“御”排在不相邻的两个月，则课程共有种排法D.若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有种排法答案：AC解析：解答过程：学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有种不同的选法，故A正确；课程“乐”排在“书”前面，可得课程共有种排法，故B错误；课程“射”“御”排在不相邻两个月，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个，安排课程“射”、“御”共有种排法，故C正确；课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，利用分类加法计数原理，当“数”在第六个月时共有种；当“数”既不在第一个月也不在第六个月时，共有种，故课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，课程共有种排法，故D错误．11.已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（）A. B.展开式的二项式系数和为C.展开式的各项系数和为 D.答案：ABD解析：解答过程：已知二项式的第5项与第8项的二项式系数相等，则，则，故A正确；，故展开式的二项式系数和为，故B正确；令，则，故C错误；令，得，令，得，，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.计算的值为___________．（用数字作答）答案：6解析：解答过程：，．13.函数在区间上的平均变化率为_____.答案：3解析：思路：根据平均变化率定义直接计算可得结果.解答过程：由题意可知函数在区间上的平均变化率为,故3.14.已知随机事件互相独立，且满足，则__________.答案：解析：思路：利用独立事件的性质和条件概率公式建立方程，先求出与，再计算.解答过程：因为互相独立，所以.又因为，把代入可得：，故.由相互独立，得.故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在15件产品中，有10件是一级品，5件二级品，从中一次任意抽取3件产品，求：（1）抽取的3件产品全部是一级品的概率；（2）抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用组合计数问题、古典概率公式列式计算即可.（2）利用互斥事件的概率公式，结合（1）的结论求出概率.（1）记抽取的3件产品全部是一级品为事件A，则事件A的概率.（2）记抽取的3件产品中恰有1件是二级品为事件B，则事件的概率，所以抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率.16.已知.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值.答案：（1）（2）函数的极小值为，无极大值.解析：思路：（1）利用导数的几何意义可求得曲线在点处的斜率，从而求得该处的切线方程；（2）利用导数研究函数的单调性，得到极值点，求得极值.（1）的定义域为，，所以.所以曲线在点处的切线方程为，即（2）函数的定义域为，.当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以函数在处取得极小值，极小值为.所以函数的极小值为，无极大值.17.在的展开式中，二项式系数和为（1）求的值并求展开式中的常数项；（2）求展开式中的系数．答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据已知条件结合二项式系数的性质求出，进而求出的展开式的通项公式，从而求出常数项；（2）根据（1）的结论明确问题并求出含和的项，从而求出展开式中的系数．（1）已知二项式系数和为，则，解得，则的展开式的通项公式为：Tr+1令得，的展开式的常数项为．（2），则问题为求1+x2x+由于1+x由（1）知的展开式的通项公式为：，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，∴1+x2x+2x18.某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：（1）求甲第2天选择羽毛球的概率；（2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；（3）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系.答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）利用全概率公式计算求解即可.（2）利用贝叶斯公式计算求解即可.（3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得.（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为，则且两两互斥，依题意，，，且，由全概率公式得.（2）由贝叶斯公式，得所求概率为.（3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立，从而选择篮球的概率为，当时，由全概率公式，得的递推关系为，而，，化简得，.19.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论的零点个数；（3）当时，证明：．答案：（1）；（2）当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2；（3）证明见解析解析：思路：（1）根据导数的几何意义可得切线方程；（2）先进行参数分离，再转化为与图象交点的个数可得；（3）分两种情况讨论：当时，用导数可判断的单调性可得；当时，先证，进而再用导数证明，从而可证明不等式.（1）当时，．所以曲线在处的切线方程为，即．曲线在处的切线方程为.（2）解法一：因为，令，得，即.令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数.又因为，当时，；当时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减，且，有极大值也是最大值，如图：由图可知，当时，函数与的图象无交点；当时，函数与的图象有1个交点；当时，函数与的图象有2个交点.综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1；时，的零点个数为2.解法二：因为，