江苏南京市鼓楼区六校2025-2026学年高一下学期6月期末调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏南京市鼓楼区六校2025-2026学年高一下学期6月期末调研数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=1,−2，b=m,2，若a//bA.−4 B.−1 C.1 D.42.已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的方差是4，那么另一组数据A.10 B.12 C.34 D.363.已知i为虚数单位，复数z满足(1+2i)z=1−i，则复数z在复平面内对应的点在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题错误的是(

)A.若m⊥α，n⊥α，则m//n

B.若m//α，m//β，则α//β

C.若m⊥α，m⊥β，则α//β

D.若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β5.在等腰▵ABC中，AB=AC=4，BC=2，则CA⋅CB的值为(

)A.−215 B.−2 C.2 6.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为π2，面积为π的扇形，则此圆锥的体积为(

)A.1524π B.158π7.某数学兴趣小组利用课外实践课，测量某城市广场上的旗杆MN的高度.在过点N的水平地面上确定两个观测点A，B.在点A处测得N在A的北偏东60°方向上，AN=10米；点B在点A的正东方向上，AB=103米，在点B处测得M的仰角为60°.则旗杆MN的高度为(

)米．

A.56 B.103 C.8.已知▵ABC面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3a2+c2−b2=4S，AB=3，DC=2AD，BD=23A.93−12 B.33二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1=1−2i，z2=−2+2i，z1，z2在复平面内对应的点分别为ZA.z1=5

B.z1z2=z1z2

10.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，则下列结论正确的有(

)A.若bsinB=csinC，则▵ABC是等腰三角形

B.若AB⋅AB−AC=0，则▵ABC是直角三角形

C.若a11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是CD的中点，点PA.存在点P，使得A1P⊥BD1

B.当P是正方形CDD1C1的中心时，PA与平面ABCD所成角的正弦值为55

C.若A1P//平面AED1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=30∘，a=2，则b+csinB+13.已知x∈0,π4，cos2x+π314.如图，在三棱锥P−ABC中，▵ABC和▵PAC均为边长为23的正三角形，二面角P−AC−B的大小为90°，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某市为了解世界杯期间本地居民对电视转播服务的满意度，从本市居民中随机抽取若干人进行满意度测评(测评分满分为100分).根据测评的数据制成频率分布直方图如下：(1)求频率分布直方图中a的值；(2)若采用分层抽样的方式从评分在40,60,60,80，80,100的市民中抽取200人，则从评分在60,80(3)估计本次测评分数的60百分位数和平均数．16.(本小题15分)如图，在平行四边形ABCD中，AE=ED，AF=2FB.(1)试用a，b为基底表示BE，DF；(2)若a=3，b=2，∠BAD=60∘，求BE17.(本小题15分)已知锐角▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA(1)求证：A=2B；(2)若3a=2b，求sinA(3)求a+cb的取值范围．18.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，▵PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，∠DAB=60∘，平面PAD⊥平面ABCD，E，H分别为AD，(1)证明：DH//平面PBE；(2)证明：DH⊥平面PBC；(3)求点E到平面PBD的距离．19.(本小题17分)已知点S是直线PQ外一点，点M在直线PQ上(点M与点P、Q任一点均不重合).我们称如下操作为“由点S对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记P,Q;M=若点M在线段PQ外，记P,Q;M=−已知在三棱锥O−ABC中，侧棱OB⊥平面ABC，BO=BC．▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．(1)若点D在棱BC的延长线上，且BC=CD，由点O对BC施以视角运算，求B,C;D的值；(2)若点E在边BC上，∠BAC=120∘，AE=23，由点A对BC施以视角运算，(3)若M1,M2,M3,⋅⋅⋅,Mn−1是▵ABC的边BC的1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】ABD

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】4

13.【答案】1214.【答案】20π

15.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，组距为10.根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，可得：(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)×10=1，即(0.094+a)×10=1，

解得10a=0.06，所以a=0.006．(2)评分在[40,60)的频率为(0.004+0.006)×10=0.1，评分在[60,80)的频率为(0.022+0.028)×10=0.5，

评分在[80,100]的频率为(0.022+0.018)×10=0.4．因为采用分层抽样的方式抽取200人，所以从评分在[60,80)内的市民中应抽取的人数为200×0.5=100(人)．(3)设本次测评分数的60百分位数为x．前三组的频率之和为(0.004+0.006+0.022)×10=0.32<0.6，前四组的频率之和为(0.004+0.006+0.022+0.028)×10=0.60≥0.6，所以60百分位数位于第四组[70,80)内.由(x−70)×0.028=0.6−0.32，即(x−70)×0.028=0.28，解得x=80．所以估计本次测评分数的60百分位数为80．估计本次测评分数的平均数为：x=45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18

=1.8+3.3+14.3+21.0+18.7+17.1

=76.2

所以估计本次测评分数的平均数为76.2．

16.【答案】解：(1)由AE=ED得

BE=由AF=2FB得

DF=(2)BE代入a=3，b=2，得|BE|2BE=−2

17.【答案】解：(1)证明：由已知条件sinA利用二倍角公式，有1−cosA=2sin代入已知等式得2sin因为▵ABC为锐角三角形，所以A2∈(0,π所以cosA2⋅因为B和A2均为锐角，正切函数在(0,所以B=A2，即A=2B．

(2)已知3a=2b，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R(R为△ABC外接圆半径)，

可得3sinA=2sinB，

因为A=2B，所以sinA=sin2B，根据二信角公式sin2α=2sinαcosα，

则sinA=2sinBcosB，将sinA=2sinBcosB代入3sinA=2sinB中，

因为B是锐角，sinB≠0，两边同时除以2sinB可得3cosB=1，即cosB=13，

再根据二倍角公式sin2α=2sinαcosα，可得sinA=2sinBcosB，

又因为sin2B+cos2B=1，B是锐角，

所以sinB=1−cos2B=1−(13)2=

18.【答案】解：(1)取PB的中点M，连接EM,MH，因为在▵PBC中，H是PC的中点，M是PB的中点，所以MH是▵PBC的中位线，所以MH//BC，且MH=1因为底面ABCD是菱形，所以AD//BC，且AD=BC，因为E是AD的中点，所以DE=12AD=12所以四边形DEHM是平行四边形，从而DH//EM，因为EM⊂平面PBE，DH⊄平面PBE，所以DH//平面PBE．(2)因为▵PAD是边长为2的正三角形，E为AD的中点，所以PE⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PE⊥平面ABCD，因为BC⊂平面ABCD，所以PE⊥BC，因为底面ABCD是菱形，∠DAB=60∘，所以又E是AD的中点，所以BE⊥AD，因为AD//BC，所以BE⊥BC，由于PE⊥BC，BE⊥BC，且PE∩BE=E，所以BC⊥平面PBE，因为EM⊂平面PBE，所以BC⊥EM，由(1)知DH//EM，所以DH⊥BC，在Rt▵PBE中，PE=3，BE=3，且因为M是斜边PB的中点，所以EM⊥PB，又因为DH//EM，所以DH⊥PB，因为BC∩PB=B，且BC,PB⊂平面PBC，所以DH⊥平面PBC．(3)设点E到平面PBD的距离为h。在Rt▵PBE中，PE=3，所以S▵PBE因为PE⊥平面ABCD，E为AD中点，且BE⊥AD，所以点D到平面PBE的距离就是线段DE的长度，即DE=1，所以VD−PBE在▵PBD中，PD=AD=2，BD=AB=2，PB=cos∠PDB=所以sin∠PDB=故S▵PBD所以VE−PBD由VE−PBD156h=

19.【答案】解：(1)因为OB⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以OB⊥BC，在Rt▵OBC中OB=BC=a，则OC=因为点D在BC的延长线上，且BC=CD，所以CD=a，BD=2a，在Rt▵OBD中，OD=所以sin∠BOD=在▵OCD中，由正弦定理得CDsin因为∠OCD=180∘−∠OCB所以∠OCB=45∘，代入得asin∠DOC=由于点D在线段BC外，根据定义B,C;D=−(2)点E在BC上，根据运算新定义及三角形面积公式有B,C;E=已知(B,C;E)=c2b，所以c