2025-2026学年广东省深圳市南山区深圳市育才中学本部（新校区）高一下册5月期中数学试题 含解析

/数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、单选题1.若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（）A. B. C. D.2.若平面向量与方向相反，且，则（）A. B. C. D.3.如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形是（）A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形4.已知的内角的对边分别为，若的面积等于，则角（）A. B. C. D.5.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（）A.2 B. C.4 D.7.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（）A. B. C. D.8.如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（）A.8 B.16 C. D.二、多选题9.复数，，的共轭复数为，则（）A.若为纯虚数，则B.若，则C.若，则D.若在复平面内对应的点位于第四象限，则10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则△ABC为钝角三角形C.若，，，则符合条件的△ABC有两个D.若，则△ABC为等腰三角形或者直角三角形11.如图，正四面体的四个顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则（）A.B.四面体的体积为C.过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面面积为D.过三点的平面截四面体所得的截面面积为三、填空题12.在中，已知三边之比为，则该三角形的最小角的余弦值为______________．13.若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.14.如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，MN是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R.若，平面OAB，且线段AB长度的最小值为6，则该圆台的体积为__________.四、解答题15.已知复数．（1）求；（2）求的最小值；（3）若的实部大于，求的取值范围．16.如图，在平行四边形中，，，，，.（1）用向量，表示向量，；（2）求向量，夹角的余弦值.17.在中，角所对的边分别是，且.（1）求；（2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积；（3）若是的角平分线，，，求的长.18.如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且（1）求证：D，B，F，E四点共面；（2）求证：平面；（3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．19.已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．（1）求角；（2）若，的周长为，求的面积；（3）若，过点在所在平面内作，且，求线段的最大值．

数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、单选题1.若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据复数相等直接求解即可.解答过程：因为，所以，所以．故选：C2.若平面向量与方向相反，且，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据向量共线设出向量的坐标，然后由向量的模的坐标表示列方程可解.解答过程：因为与方向相反，且，所以，所以，解得，所以.3.如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形是（）A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形答案：C解析：解答过程：在矩形中，，所以直观图还原得.四边形为平行四边形，，，所以，，则.所以，故原图形为菱形.4.已知的内角的对边分别为，若的面积等于，则角（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，利用三角形的面积公式和余弦定理，化简得到，进而求得角的值.解答过程：因为的面积等于，可得，整理得，即，即，因为，所以.5.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：根据给定等式，结合复数的几何意义确定z在复平面内对应的点的轨迹即可.解答过程：由复数z满足，得z在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，5为半径的圆，圆心到实轴、虚轴的距离都大于5，且圆心在第四象限，所以z在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D6.设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（）A.2 B. C.4 D.答案：C解析：思路：利用正弦定理化边为角，利用两角和的正弦公式，结合同角三角函数商数关系即可求解.解答过程：因为，由正弦定理化边为角可得，因为，所以，整理可得，所以，即，所以.7.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将圆柱侧面积的最大值问题，转化为关于圆柱底面半径的二次函数的最值问题.解答过程：由的底面半径，母线长，所以圆锥的高.由题可设圆柱的底面半径为()，高为.由得，即，截得.所以圆柱的侧面积所以当时，侧面积取得最大值为.8.如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（）A.8 B.16 C. D.答案：B解析：思路：取线段的中点，连接、、，可得出，结合向量模的三角不等式可求得的最小值.解答过程：取线段的中点，连接、、，如下图所示：因为，所以，因为四边形为矩形，则，因为，所以，当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为.二、多选题9.复数，，的共轭复数为，则（）A.若为纯虚数，则B.若，则C.若，则D.若在复平面内对应的点位于第四象限，则答案：BD解析：思路：对于A若为纯虚数，则即可判断，对于B若，则，即，计算即可判断，对于C若，则，即，利用复数的除法即可判断，对于D若在复平面内对应的点位于第四象限，则解出即可判断.解答过程：对于A：若为纯虚数，则，故A错误；对于B：若，则，所以，所以，故B正确；对于C：若，则，所以，故C错误；对于D：若在复平面内对应的点位于第四象限，则，故D正确；故选：BD.10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则△ABC为钝角三角形C.若，，，则符合条件的△ABC有两个D.若，则△ABC为等腰三角形或者直角三角形答案：ABD解析：思路：利用正弦定理、余弦定理逐一判断即可.解答过程：A选项，根据大角对大边，，根据正弦定理可得，其中为三角形外接圆半径，于是，A选项正确；B选项，根据余弦定理结合选项可知，，由，进而，B选项正确；C选项，根据正弦定理，，结合选项数据，得出，故这样的三角形不存在，C选项错误；D选项，若，由正弦定理，，则，而,则或者，即，或者，即是等腰三角形或者直角三角形，D选项正确.故选：ABD.11.如图，正四面体的四个顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则（）A.B.四面体的体积为C.过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面面积为D.过三点的平面截四面体所得的截面面积为答案：ACD解析：思路：利用球的表面积公式求出球半径，再结合正四面体的结构特征逐项求解判断.解答过程：由球的表面积为，得球的半径，连接并延长交平面于，连接，则点是正的中心，，，对于A，由，解得，A正确；对于B，四面体的体积，B错误；对于C，过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面三角形与相似，其面积为，C正确；对于D，延长交于，连接，则是的中点，，过三点的平面截四面体所得的截面为，其面积为，D正确.故选：ACD三、填空题12.在中，已知三边之比为，则该三角形的最小角的余弦值为______________．答案：##0.875解析：解答过程：因为三角形三边之比为，所以可设三边长分别为，根据三角形大边对大角、小边对小角的性质可知，对应的角即为该三角形的最小角，．13.若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.答案：解析：思路：由向量夹角与数量积正负的关系，列出不等式求解即可.解答过程：由向量与的夹角为钝角，可得：，解得，由当时，，与共线反向，舍去，所以实数的取值范围为，故14.如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，MN是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R.若，平面OAB，且线段AB长度的最小值为6，则该圆台的体积为__________.答案：解析：思路：将圆台补形成圆锥，根据线面平行可得线线平行，由平行四边形以及等腰梯形的性质，求得圆台的高，结合中位线定理可得圆锥的高，利用圆锥的体积公式，可得答案.解答过程：由题意将圆台补形成圆锥，记顶点为，设底面圆心为，分别连接并延长交圆台侧面为，记，连接，如下图：因为平面，平面，平面平面，所以，易知，则，易知当时，的长取得最小值为，可得，即，则，解得，所以，易知，因为，，所以，综上可得圆台的体积为.故答案为.四、解答题15.已知复数．（1）求；（2）求的最小值；（3）若的实部大于，求的取值范围．答案：（1）2（2）1（3）解析：思路：（1）结合题意求出，再利用共轭复数的定义得到，最后得到即可.（2）利用复数的减法得到，再结合复数的模长公式求解模长，最后利用完全平方式的性质求解最小值即可.（3）利用复数的乘法运算求出，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可.（1）因为，所以，解得，则，故.（2）因为，所以，由复数的模长公式得，而，得到，即，故当时，原式取得最小值．（3）因为，所以，而的实部大于，则，解得，故的取值范围为．16.如图，在平行四边形中，，，，，.（1）用向量，表示向量，；（2）求向量，夹角的余弦值.答案：（1），（2）解析：思路：（1）应用向量的加减法及数乘运算化简，再应用平面向量基本定理计算求解；（2）应用平面向量的数量积公式及运算律结合转化法求解模长，最后应用向量余弦公式计算求解.（1）因为，所以，所以.因为，所以，则.（2）因为，所以.因为，，所以，，，则，，，故.17.在中，角所对的边分别是，且.（1）求；（2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积；（3）若是的角平分线，，，求的长.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得；（2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可；（3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可.（1）解：因为，由正弦定理可得，所以，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，所以，故；（2）解：因为是边上靠近的三等分点，所以，所以，又因为，，，所以，化简得，即，解得或（舍去），所以；（3）解：已知平分，且，故，由得；将，代入得，解得∵∴18.如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且（1）求证：D，B，F，E四点共面；（2）求证：平面；（3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，解析：思路：（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明；（2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可；（3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可．（1）连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以，又在正方体中且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以D，B，F，E四点共面；（2）连接、分别交于点H、O，连接，在正方体中，且，所以，则，同理可得，所以，所以，又平面，平面，所以平面；（3）存在，且，理由如下：因为，所以，，又，，平面，平面，平面，延长交于，延长交于，连接，为中点，易得，，分别为的中点，易得，，，，又，即，四边形为平行四边形，，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以时，平面平面．19.已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．（1）求角；（2）若，的周长为，求的面积；（3）若，过点在所在平面内作，且，求线段的最