2025-2026学年广东省深圳市深圳实验学校高中园高一下册5月期中考试数学试题 含解析

/数学一、单选题1.已知向量，，若，则实数（）A.1 B.2 C. D.2.已知复数满足：，则（）A. B. C. D.3.下列说法正确的是（）A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线D.棱台的侧棱都相等4.已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（）A.8 B. C. D.45.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.6.在中，点D为的中点，点O为的重心，则（）A. B. C. D.7.在，若，且，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形8.已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（）A. B. C.3 D.6二、多选题9.下列结论正确的是（）A.若复数满足，则B.若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为C.若复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点在第三象限D.若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为10.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则是钝角三角形C.若，则为等腰三角形 D.若，则有两解11.已知圆锥的顶点为P，底面半径为，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（）A.圆锥的侧面积是 B.圆锥侧面展开图的圆心角是C.△PAB面积的最大值是 D.该圆锥内接圆柱侧面积的最大值是三、填空题12.在中，若，，，则______．13.已知两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________．14.已知正三棱台的侧棱长为，上、下底面的边长分别为，，则三棱台的外接球的表面积为______．四、解答题15.已知向量，其中，．（1）试计算及的值；（2）求向量与夹角的余弦值．16.已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量（1）若求A；（2）若求的面积.17.现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.（1）若，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？（3）若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？18.在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且.（1）求角A的大小；（2）若，，求a；（3）若为锐角三角形，，求的取值范围.19.如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.（1）若，求的模长；（2）若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；（3）设，若对恒成立，求的最大值.

数学一、单选题1.已知向量，，若，则实数（）A.1 B.2 C. D.答案：B解析：思路：利用向量垂直的坐标运算，即可求解参数.解答过程：因为，，所以，因为，所以，即，解得.故选：B.2.已知复数满足：，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用复数的四则运算计算即得.解答过程：由可得.故选：A.3.下列说法正确的是（）A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线D.棱台的侧棱都相等答案：C解析：思路：根据多面体的性质和几何体的定义来判断，采用举反例的方法来否定对概念的错误理解.解答过程：对于A，有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱错误，即A错误，反例如图：对于B，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台错误，即B错误，反例如图：对于C，圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，故C正确；对于D，棱台是由平行于底面的平面截得的，故棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等，故D错误.故选：C.4.已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（）A.8 B. C. D.4答案：C解析：思路：首先需要由斜二测画法规则还原平面图形，由条件求出，由勾股定理可求出.解答过程：根据题意，的直观图是直角三角形，且，所以，还原，如图所示，原图中，，，所以.5.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，，，，则向量在向量上的投影向量为.6.在中，点D为的中点，点O为的重心，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：结合重心性质与向量运算化简可得.解答过程：如图，连接，因为点O为的重心，则为的三等分点，且，所以，故选：A.7.在，若，且，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案：C解析：思路：利用正弦定理以及两角差的正弦公式逆用可得，再由可得，可得出结论.解答过程：因为，由正弦定理可得，则，．所以，又因为，所以，又，可得，故的形状是等腰直角三角形.故选：C8.已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（）A. B. C.3 D.6答案：D解析：思路：根据重心的性质先用将表示出来，然后利用向量共线定理得出，最后利用基本不等式的性质求出的最小值.解答过程：根据重心的性质，重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.所以.因为，所以.所以.因为三点共线，根据向量共线定理可得，化简得.所以.当且仅当时，即时等号成立，此时的最小值为6.故选：D.二、多选题9.下列结论正确的是（）A.若复数满足，则B.若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为C.若复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点在第三象限D.若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为答案：BD解析：解答过程：对于选项A：例如也满足，故A错误；对于选项B：因为，，所以，所以向量对应的复数为，故B正确；对于选项C：复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，故C错误；对于选项D：复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，故D正确．10.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则是钝角三角形C.若，则为等腰三角形 D.若，则有两解答案：AD解析：思路：利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理即可求解.解答过程：对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确；对于B，，故边最长，角最大.设，则.所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误；对于C，，则或，即或，则为直角三角形或等腰三角形，故C错误；对于D，，根据正弦定理，所以有两解，所以有两解，故D正确.故选：AD.11.已知圆锥的顶点为P，底面半径为，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（）A.圆锥的侧面积是 B.圆锥侧面展开图的圆心角是C.△PAB面积的最大值是 D.该圆锥内接圆柱侧面积的最大值是答案：AD解析：思路：对于A，由圆锥侧面积公式可判断选项正误；对于B，由母线长及底面圆周长可判断选项正误；对于C，计算圆锥轴截面顶角，当时，的面积最大，据此可判断选项正误；对于D，设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，由题可得圆柱侧面积表达式，然后利用函数知识可判断选项正误.解答过程：根据题意，作出该圆锥的轴截面，圆锥的底面圆心为，依次分析选项：对于A，轴截面中，，底面半径，所以母线长，故圆锥的侧面积是，A正确；对于B，圆锥母线长为2，展开图的弧长为，则圆心角弧度为，B错误；对于C，由题意可知,故圆锥轴截面的顶角为，则当时，的面积最大，其最大值为， C错误；对于D，设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，则有，化简可得，则圆柱的侧面积，由二次函数的性质可知，当时，有最大值，D正确.故选：AD三、填空题12.在中，若，，，则______．答案：2解析：思路：由正弦定理得到方程求解即可.解答过程：由正弦定理知，，即，解得.13.已知两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________．答案：##解析：思路：借助模长与数量积的关系可得，再利用向量夹角公式计算即可得.解答过程：由，则，故，则，因，故向量与的夹角为.14.已知正三棱台的侧棱长为，上、下底面的边长分别为，，则三棱台的外接球的表面积为______．答案：解析：思路：先利用正弦定理求得正三棱台上下底面所在圆面的半径，设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为，则，进而求出正三棱台的高，然后根据列方程求解球的半径，代入球的表面积公式即可得解．解答过程：如图，设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为，则，所以，．设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为，则．设正三棱台的高为，由棱台的侧棱长为，得，所以或，即或，解得，所以三棱台的外接球的表面积为．故四、解答题15.已知向量，其中，．（1）试计算及的值；（2）求向量与夹角的余弦值．答案：（1），（2）解析：（1），（2）设，由，．16.已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量（1）若求A；（2）若求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可.（2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可.（1）因为所以①.又由正弦定理，即，代入①式，可得，整理得，又，所以，解得.（2）因为，所以，即，又，所以.因为，由余弦定理可得，即，解得或（舍去）.故.17.现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.（1）若，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？（3）若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？答案：（1）（2）元（3）时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是解析：思路：（1）根据条件，可得，根据体积公式，分别求得正四棱锥的体积和正四棱柱的体积，相加即可得答案.（2）根据条件，求得各个长度，进而可得正四棱锥的侧面积和正四棱柱的侧面积，根据单价，即可得答案.（3）设，可表示出各个长度，进而可得下部分的侧面积为的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案.（1）由知.因为，所以正四棱锥的体积，正四棱柱的体积.所以仓库的容积.（2）如图，连接，取的中点，连接.在正四棱锥中，，所以.因为，，所以，所以，所以，所以，所以正四棱锥的侧面积为.正四棱柱的侧面积为：则粉刷总费用为：元.（3）设，下部分的侧面积为，连接，则，则，设，当，即时，，故当时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是.18.在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且.（1）求角A的大小；（2）若，，求a；（3）若为锐角三角形，，求的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可；（2）通过三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理求解即可；（3）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可.（1）因为，由正弦定理得，即，因为在中，，所以，又，所以.（2）因为，，，所以，解得.由余弦定理得.（3）因为，，结合正弦定理，得，所以，.在中，,所以.因为为锐角三角形，所以，所以，则，所以，所以.19.如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.（1）若，求的模长；（2）若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；（3