2025-2026学年广西壮族自治区南宁市第三十三中学高一下册期中段考数学试题 含解析

/数学一.单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量，，若，则（）A. B. C.1 D.23.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（）A. B. C. D.4.在三角形中，，，，则（）A. B. C.或 D.或5.已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.如图，在正方体中，分别是的中点，则下列命题正确的是（）A. B.C. D.7.如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（）A. B. C. D.8.若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（）A. B. C. D.二.多选题（本大题共3小题，每题6分，共计18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.如图，正方体中，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是（）A.和是平行直线 B.和是相交直线C.和是异面直线 D.和是相交直线10.已知向量，则下列结论正确的是（）A. B.与的夹角为C. D.在上的投影向量是11.在中，角A，B，C的对边分别是，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，则有两解C.若，则为等腰三角形或直角三角形D.若，则为钝角三角形三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12.若___________．13.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______.14.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，角A的平分线AD交BC于点D，，则的面积为______．四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.设复数，为实数.（1）当为何值时，是纯虚数；（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围.16.已知向量，满足，，，，的夹角为.（1）求；（2）若，求实数；17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求.（2）若，，求的面积.18.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）求的取值范围.19.现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．（1）求该几何体的表面积；（2）若分别为棱的中点，求四面体的体积；（3）若分别是线段上的动点，求的最小值．

数学一.单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：思路：根据复数的运算法则求出，进而判断即可.解答过程：由，则，则复数对应的点为，在第三象限.故选：C.2.已知向量，，若，则（）A. B. C.1 D.2答案：B解析：思路：根据给定条件，利用向量的坐标运算列式求解.解答过程：由向量，，得，由，得，所以.故选：B3.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，边长，，然后即可求三角形的周长．解答过程：根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，底边长，高，所以，直角三角形的周长为．故选：A．4.在三角形中，，，，则（）A. B. C.或 D.或答案：A解析：思路：由正弦定理求得或，再结合三角形内角和及，即可求解．解答过程：由正弦定理得，，解得，因为，所以或，又因为，所以，故选：A．5.已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据圆锥表面积公式和扇形的弧长公式求得母线和半径长，进而求得圆锥的高，根据圆锥体积公式即可求得答案．解答过程：设该圆锥的底面半径为，母线为，则，，解得，则圆锥的高为，因此该圆锥的体积，故选：D6.如图，在正方体中，分别是的中点，则下列命题正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：分析：记AC∩BD=O，则MN∥OD1，利用线面平行的判定可得MN∥平面BD1D．详解：A：和是异面直线，故选项不正确；B：和是异面直线，故选项不正确；C：记AC∩BD=O．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别C1D1，BC是的中点，∴ON∥D1M∥CD，ON=D1M=CD，∴MNOD1为平行四边形，∴MN∥OD1，∵MN⊄平面BD1D，OD1⊂平面BD1D，∴MN∥平面BD1D．D：由C知，而面和交，故选项不正确；故答案为C.点睛：这个题目考查了空间中点线面的位置关系，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断.还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.7.如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：在和中应用正弦定理求得BC与BD，然后在中应用余弦定理求得CD.解答过程：在中，由正弦定理得，即，得，在中，，是等边三角形，，在中，，由余弦定理，，所以．故选：C.8.若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据球的截面圆的性质，得到棱柱底面与球的截面圆的半径，进而求得底面三角形的边长为，结合棱柱的体积公式，即可求解.解答过程：由题意可知球的半径，因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离，根据球的截面圆的性质，可得，即，解得，棱柱底面与球的截面圆的半径，三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为，所以三角形的面积为，该棱柱的体积为.二.多选题（本大题共3小题，每题6分，共计18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.如图，正方体中，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是（）A.和是平行直线 B.和是相交直线C.和是异面直线 D.和是相交直线答案：ABC解析：解答过程：连接.正方形中，分别是的中点，所以//；同理//；所以//，所以四边形是平行四边形，所以和是平行直线，即A正确；延长，交直线于点；延长，交直线于点.取的中点，连接，则//，所以；故,连接，则,所以.故,所以两点重合，即和交于点，即和是相交直线，所以B正确.平面，直线不过点，所以和是异面直线，所以C正确.平面，直线不过点，所以和是异面直线，所以D不正确.10.已知向量，则下列结论正确的是（）A. B.与的夹角为C. D.在上的投影向量是答案：BCD解析：思路：根据平面向量数量积的坐标运算逐项判断.解答过程：对于A：，故A错误.对于B：，因为，所以，故B正确；对于C：，则，故C正确；对于D：在上的投影向量是，故D正确.故选：BCD.11.在中，角A，B，C的对边分别是，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，则有两解C.若，则为等腰三角形或直角三角形D.若，则为钝角三角形答案：AC解析：思路：根据函数在上单调性，即可判断A；根据正弦定理得到，与正弦函数的值域为相矛盾，可知不存在这样的角，即可判断B；将变形为，即或，即可判断的形状，进而判断C；由，及的范围分析得到都是锐角，即可判断D.解答过程：对于A，因为函数在上单调递减，在中，因为，且，所以，故A正确；对于B，若，则由正弦定理可得，解得.因为正弦函数的值域为，所以不存在这样的角，即无解，故B错误；对于C，因为，所以由正弦定理可得，又因为，所以可得，即，即或.由可得，即为等腰三角形；由，，可得，所以为直角三角形.综上可知，为等腰三角形或直角三角形，故C正确；对于D，若，且，可知，即都是锐角，所以是锐角三角形，故D错误.故选：AC三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12.若___________．答案：解析：解答过程：令，则，代入运算，所以，解得，所以.13.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______.答案：##0.25解析：思路：由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值．解答过程：由题意及图，，又，所以，所以，又，所以，解得m，t．故．14.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，角A的平分线AD交BC于点D，，则的面积为______．答案：解析：思路：根据题意结合面积关系可得，进而求的面积.解答过程：如图所示，由题意可知：，因为，则，即，解得，所以的面积为.故答案为.四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.设复数，为实数.（1）当为何值时，是纯虚数；（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围.答案：（1）5（2）解析：思路：（1）根据复数的相关概念列式求解；（2）根据共轭复数的概念以及复数的几何意义列式求解.（1）由题意，为纯虚数，则需满足：由，解得或，由，解得且，综上，故当时，是纯虚数.（2）因为复数，所以复数，又因为在复平面内对应的点在第三象限，所以：由，解得，由，即，解得或，取两者的交集，得，故实数的取值范围是.16.已知向量，满足，，，，的夹角为.（1）求；（2）若，求实数；答案：（1）（2）解析：思路：（1）先利用向量数量积的定义，由已知的模长和夹角求出，再根据向量模长的平方等于向量自身的平方，将转化为，展开后代入已知条件计算，最后开方得到结果；（2）根据向量垂直的性质，得到两向量的数量积为0，展开后建立关于的方程，求解得到参数的值即可.（1），又，，，（2），又∵，解得.17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求.（2）若，，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先利用正弦定理将边转化为对应角的正弦值，再代入已知等式后约去非零的，得到的值​，结合，最终求得即可；（2）先根据三角函数关系求出和，再利用正弦定理求出，然后求出，最后根据三角形面积公式求解即可.（1）根据正弦定理：（为外接圆半径），可得，，因为，所以.即.又，所以，即.又因为，得.（2）因为，即，所以，又因为，将代入可得：，即，，，因为，所以是锐角，则，那么，又因为，，所以，则，因为，因为，，，所以，根据三角形面积公式，将，，代入可得：.18.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解即可.（2）由（1）可知，，则，根据正弦型三角函数的图象和性质，求解即可.（1）由正弦定理可得，即，由余弦定理的变形得，又，所以.（2）由得，且，所以，所以，因为，从而，所以，从而.即的取值范围为.19.现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．（1）求该几何体的表面积；（2）若分别为棱的中点，求四面体的体积；（3）若分别是线段上的动点，求的最小值．答案：（1）（2）96（3）解析：思路：（1）连接，则，求得，得到，且，结合棱锥的侧面积公式和正方形的面积公式，即可求解；（2）解法1：根据题意，得到三棱锥为底面边长为，侧棱长正三棱锥，解法2：作于点，于点，结合割补法，利用棱柱和棱锥的体积公式，即可求解；解法3：利用体积转换法，化简，结合锥体的体积公式，即可求解.（3）将长方形，和展开在一个平面，设，求得的值，得到当四点共线时，最短，结合余弦定理，即可