2025-2026学年贵州省部分学校联考高二下册4月期中素养训练数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点为（）A. B. C. D.2.直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（）A. B.C. D.3.在等差数列中，若，，则（）A. B. C. D.4.已知函数则（）A. B.2 C.3 D.45.在中，，，为的中点，为线段上一点，且，则（）A. B. C. D.6.春假期间，某学校安排4名保安在这3天假期值班，每人必须值班1天，每天都有人值班.若4名保安中的甲、乙两人不能安排在同一天值班，则不同的安排方案共有（）A.18种 B.24种 C.30种 D.36种7.若定义在上的偶函数满足，且，则（）A. B.0 C.2 D.48.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上位于第二象限的一点，，的内切圆的圆心为，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C.3 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.9.在某场比赛中，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为、、、、、、，下列说法正确的是（）A.该组数据的众数为B.该组数据的分位数为C.变量，则D.变量，已知，则10.已知数列的前项和，下列说法正确的是（）A.（）B.C.若，则是等差数列D.当的项数为时，其奇数项之和为，偶数项之和为，则11.在四面体中，是正三角形，，，为的中点，点在线段上且满足，则（）A.异面直线与所成角的余弦值为B.三棱锥的体积为C.点到平面的距离为D.四面体的外接球表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.抛物线：（）的焦点为，为上一点，比到轴的距离大2，则________.13.已知，则___________.14.已知数列满足，数列中恰有三项使得成立，则的取值范围是________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角、、的对边分别为、、，且.（1）求角的值；（2）若，，求的周长.16.某学校为了解学生喜欢动漫是否与性别有关，从该校学生中随机抽取了200人作为样本进行问卷调查，得到如下列联表：喜欢动漫不喜欢动漫合计男生4080120女生354580合计75125200（1）请依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢动漫是否与性别有关；（2）在上述样本男生中，按是否喜欢动漫进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本男生中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人进行线下访谈，记这2人中“不喜欢动漫”的人数为，求的分布列及数学期望.附：，其中.0.10.010.0012.7066.63510.82817.在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，为的中点.（1）求证：平面.（2）求二面角的余弦值.18.已知函数对任意的，，都有成立，且.（1）求，.（2）若令，求证：数列是等差数列.（3）求证：当时，.19.已知椭圆的左､右焦点分别为，且在椭圆上，椭圆与椭圆离心率相同.（1）求椭圆的标准方程；（2）是椭圆上异于的一点，过点作直线交椭圆于点，作直线交椭圆于点.（i）证明：为定值；（ii）若，四边形的面积为，求的最大值.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得结果.解答过程：因为，则，故在复平面内对应的点为.2.直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：直线的一个法向量为，且过点，设直线上任意一点，所以，所以，即，直线的方程为.3.在等差数列中，若，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用等差数列的性质求解.解答过程：在等差数列中，，，，也构成等差数列.根据等差中项性质，，代入数值得，解得.4.已知函数则（）A. B.2 C.3 D.4答案：A解析：解答过程：由对数性质得，故，满足分段函数的条件.当时，因此，又，符合第一段定义域.当时，结合对数恒等式得.因此.5.在中，，，为的中点，为线段上一点，且，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为为的中点，所以，，因为，所以，则.6.春假期间，某学校安排4名保安在这3天假期值班，每人必须值班1天，每天都有人值班.若4名保安中的甲、乙两人不能安排在同一天值班，则不同的安排方案共有（）A.18种 B.24种 C.30种 D.36种答案：C解析：思路：先对4人分组，再进行全排列，根据分步计数求解即可.．解答过程：4名保安在这3天假期值班，每人必须值班1天，每天都有人值班，必然是1,1,2的人数分配.先分组：从4人中选2人分为1组，且甲、乙两人不同组，有种，再排列：将3组分配到3天，有种，所以总方案数为：种.7.若定义在上的偶函数满足，且，则（）A. B.0 C.2 D.4答案：A解析：思路：根据函数的奇偶性及关系式，可求出函数周期，转化为求，利用赋值法即可得解.解答过程：因为，所以，又函数为偶函数，所以，则，两式相减可得，即，所以函数一个周期为，故，令，由可得，即，令，可得，所以，所以.故选：A8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上位于第二象限的一点，，的内切圆的圆心为，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C.3 D.答案：B解析：思路：根据内切圆的性质及双曲线定义可得，再求出，结合直线的斜率得到即可求解．解答过程：由题可知，，，又，，则，当时，，解得，，为双曲线上位于第二象限的一点，，又直线的斜率为，，解得，.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.9.在某场比赛中，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为、、、、、、，下列说法正确的是（）A.该组数据的众数为B.该组数据的分位数为C.变量，则D.变量，已知，则答案：ACD解析：思路：利用众数的定义可判断A选项，利用百分位数的定义可判断B选项；利用期望的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项.解答过程：对于A选项，由众数的定义可知，这组数据的众数为，A对；对于B选项，因为，故这组数据的分位数为，B错；对于C选项，，因为，故，C对；对于D选项，变量，所以，D对.10.已知数列的前项和，下列说法正确的是（）A.（）B.C.若，则是等差数列D.当的项数为时，其奇数项之和为，偶数项之和为，则答案：BC解析：解答过程：对于A，当时，，当时，，，所以，此时当时，，说明在时不成立，所以，故A错误；对于B，因为当时，，所以，，，，所以，故B正确；对于C，因为，，所以，这是一个关于的一次式，公差为的等差数列，故C正确；对于D，，,所以，故D错误.11.在四面体中，是正三角形，，，为的中点，点在线段上且满足，则（）A.异面直线与所成角的余弦值为B.三棱锥的体积为C.点到平面的距离为D.四面体的外接球表面积为答案：ACD解析：思路：取线段的中点，连接、，则，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断AC选项；利用锥体体积公式可判断B选项；设球心为，求出球心坐标，结合球体表面积公式可判断D选项.解答过程：因为是正三角形，，，则，即也是等边三角形，取线段的中点，连接、，则，，且，同理可得，又因为，所以，所以，因为，、平面，所以平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，根据题意得、、、、、，对于A选项，，，所以，故异面直线与所成角的余弦值为，A对；对于B选项，因为，则，所以点到平面的距离等于点到平面距离的，故，B错；对于C选项，设平面的一个法向量为，，，则，取，可得，又因为，所以点到平面的距离为，C对；对于D选项，设外接球球心为，由可得，解得，即外接球球心为，外接球半径为，故四面体的外接球表面积为，D对.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.抛物线：（）的焦点为，为上一点，比到轴的距离大2，则________.答案：4解析：解答过程：对于抛物线，准线方程为.设点的横坐标为，则到轴的距离为，到准线的距离为，因此，根据题意有，代入得，解得.13.已知，则___________.答案：解析：思路：先由得到的取值范围，再利用正弦函数的图像性质与的范围可缩小的取值范围，由此求得，利用整体法即可求得的值.解答过程：因为所以，又因为，所以，所以，故.故答案为.14.已知数列满足，数列中恰有三项使得成立，则的取值范围是________.答案：解析：思路：由，化简得到，求得，结合，得到，令，根据题意，得到，求出，即可求解.解答过程：由，得，所以，即，所以.又，则，所以.令，只需恰好有三个值满足.又，所以是严格递增数列.又，，，，因为递增，要恰好有三个值满足，则，即.故的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角、、的对边分别为、、，且.（1）求角的值；（2）若，，求的周长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理结合余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）求出、的值，利用正弦定理求出、的值，即可得出该三角形的周长.（1）由及正弦定理可得，由余弦定理可得，又因为，故.（2）因为，则为锐角，所以，所以，由正弦定理可得，所以，，故的周长为.16.某学校为了解学生喜欢动漫是否与性别有关，从该校学生中随机抽取了200人作为样本进行问卷调查，得到如下列联表：喜欢动漫不喜欢动漫合计男生4080120女生354580合计75125200（1）请依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢动漫是否与性别有关；（2）在上述样本男生中，按是否喜欢动漫进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本男生中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人进行线下访谈，记这2人中“不喜欢动漫”的人数为，求的分布列及数学期望.附：，其中.0.10.010.0012.7066.63510.828答案：（1）喜欢动漫与性别无关（2）的分布列为：012数学期望为：解析：思路：（1）计算的观测值与临界值比对即可.（2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望.（1）零假设：喜欢动漫与性别无关，，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，所以认为成立，即喜欢动漫与性别无关．（2）由题意得，抽取6人中喜欢动漫的人数为，不喜欢动漫的人数为，则的可能取值为0,1,2.，，，则的分布列为：012数学期望为.17.在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，为的中点.（1）求证：平面.（2）求二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）建立空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示得到，，结合线面垂直的判定定理证明即可.（2）求出平面和平面的法向量，根据二面角的向量求法求解即可.（1）取，中点，，连接，.因为为等边三角形，所以.因为平面平面，平面平面，所以平面.又平面，所以.直角梯形中，，，点，为中点，所以，所以，，两两垂直.以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，因为为的中点，所以.所以，，.因为，所以，即.因为，所以，即.又平面，，所以平面.（2）由（1）知，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以.设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以.设二面角的平面角为（由图可知，为锐角），所以.故二面角的余弦值为.18.已知函数对任意的，，都有成立，且.（1）求，.（2）若令，求证：数列是等差数列.（3）求证：当时，.答案：（1），（2）证明见解析（3）证明见解析解析：思路：（1）通过对抽象函数赋值，令和，代入已知关系式，直接求得和的值；（2）根据递推关系构造数列，通过计算相邻两项的差为常数，证明其为等差数列；（3）先求出的通项公式，再利用数学归纳法和放缩法，将放缩为等比数列的项，最后求和证明不等式.（1）已知对任意，恒成立.令，得，移项得；令，得，已知，代入得，解得.（2）已知，对，将代入原函数式得，即（），两边同除以得，即.首项，因此是首项为、公差为的等差数列，得证.（3）由（2）可得：，即，从而.首先用数学归纳法证明当时，：时，，成立；假设时，则时，，成立.因此对，，两边乘，得.对求和式放缩：，右边是首项为1、公比为的等比数列前项和，计算得：，因此，得证.19.已知椭圆的左､右焦点分别为，且在椭圆上，椭圆与椭圆离心率相同.（1）求椭圆的标准方程；（2）是椭圆上异于的一点，过点作直线交椭圆于点，作直线交椭圆于点.（i）证明：为定值；（ii）若，四边形的面积为，求的最