2025-2026学年河北唐山实验学校高二下册第二次月考数学试题 含解析

/数学一､单选题1.已知函数，则（）A.1 B. C. D.2.的展开式中常数项为（

）A. B. C. D.3.函数，则下列结论错误的是（）A.在区间上不单调 B.有两个极值点C.有两个零点 D.在上有最大值4.某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（）A.35 B.36 C.42 D.505.已知，且，则等于（）A. B. C. D.6.将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现偶数点”，事件B为“两次出现的点数和为9”，则（）A. B. C. D.7.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.8.当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（）A. B. C. D.二､多选题9.若，则n的值可以是（）A.12 B.14 C.16 D.1810.下列说法正确的是（）A.对随机事件，，若，则B.若随机事件，相互独立，则C.若随机事件，相互独立，，，则D.若随机事件，满足，，，则11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，在上单调递增B.当时，在R上恒成立C.存在，使得在上不存在零点D.对任意的，有唯一的极小值三､填空题12.一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中依次取出两个，若第一次取出白球，则第二次取出红球的概率为__________．13.若函数的图象在点处的切线恰好经过点（2，3），则a＝______．14.的展开式中所有有理项的系数之和为________．四､解答题15.已知函数在处取得极值1.（1）求；（2）求在上的单调区间.16.在的展开式中．（1）求二项式系数最大的项；（2）有无x的负整数次幂？有，请求出这些项，没有，则说明理由；（3）判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项．17.一个袋子中有个大小相同的球，其中红球个，黑球个.每次从袋中随机摸出个球，摸出的球不再放回.（1）求第次摸到红球的概率；（2）设第次都摸到红球的概率为，第次摸到红球的概率为，在第次摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为，在第次都摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为，求.18.有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3个红球7个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束.（1）求首次摸球后试验就结束的概率；（2）在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率；（3）在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸球；方案二：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大.19.已知，.（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）讨论函数在上的单调性；（3）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

数学一､单选题1.已知函数，则（）A.1 B. C. D.答案：A解析：思路：根据导数的定义计算即可．解答过程：由题意得，故．2.的展开式中常数项为（

）A. B. C. D.答案：D解析：思路：写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.解答过程：的展开式通项为，令，可得，故展开式中的常数项为.3.函数，则下列结论错误的是（）A.在区间上不单调 B.有两个极值点C.有两个零点 D.在上有最大值答案：C解析：思路：对求导，讨论单调性，得出极值和最值，画出草图即可．解答过程：定义域为，求导即，令，解得．显然在和上，故在和上单调递增；在上，故在上单调递减．所以为的极大值点，为的极小值点，且，，草图如下.所以ABD正确，C错误．故选：C．4.某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（）A.35 B.36 C.42 D.50答案：D解析：思路：以舱的人数为分类依据，将5人分配到A、B、C三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数.解答过程：有四类不同的安排情形：①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱，有种不同的安排方法；②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱，有种不同的安排方法；③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱，有种不同的安排方法；④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱，有种不同的安排方法；综上，不同的安排方法共有种.方法提示：本题是分类加法计数原理+分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀或不均匀分组与排列计算.5.已知，且，则等于（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：令和后作差可得.解答过程：令，则，令，则，作差可得.故选：A.6.将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现偶数点”，事件B为“两次出现的点数和为9”，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：事件两次投掷点数和为9的所有情况为：，共4种；总样本空间为种，则；事件要求第一次为偶数且两次和为9，满足的情况为：，共2种：；由条件概率公式得：．7.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：依题意，可知在上，恒成立，再参变分离求解函数最值即可.解答过程：依题意，在上恒成立，即在上恒成立.设，因在上单调递增，故在上的最小值为，故.故选：D8.当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以.所以.由，得.所以.二､多选题9.若，则n的值可以是（）A.12 B.14 C.16 D.18答案：AB解析：思路：根据题意结合组合数性质列式求解即可.解答过程：因为，由组合数性质可得或，解得或，检验可知或均符合题意.故选：AB.10.下列说法正确的是（）A.对随机事件，，若，则B.若随机事件，相互独立，则C.若随机事件，相互独立，，，则D.若随机事件，满足，，，则答案：BD解析：思路：由条件概率公式可判断A，结合独立事件的乘法公式可推导B；运用和事件的概率公式可判断C；利用全概率公式可求.解答过程：因为，故A错误；随机事件，相互独立，则，即，故B正确；随机事件，相互独立，，故C错误；根据全概率公式，解得，故D正确；故选：BD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，在上单调递增B.当时，在R上恒成立C.存在，使得在上不存在零点D.对任意的，有唯一的极小值答案：BD解析：思路：根据给定条件，利用导数判断单调性，结合零点存在性定理逐项判断即得.解答过程：对于A，当时，，求导得，由，得，则在上单调递减，A错误；对于B，当时，，求导得，由，得，由，得，则在上递减，在上递增，，B正确；对于C，当时，，，在R上为单调递增，又，，则在上一定存在零点，C错误；对于D，当时，，由，得，，得，则在上递减，在上递增，有唯一的极小值，D正确.故选：BD三､填空题12.一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中依次取出两个，若第一次取出白球，则第二次取出红球的概率为__________．答案：解析：思路：根据给定条件，利用缩小样本空间的方法，结合古典概率求出条件概率.解答过程：第一次取出1个白球后，袋子里还有2个白球和2个红球，所以第二次取出红球的概率为.故13.若函数的图象在点处的切线恰好经过点（2，3），则a＝______．答案：-1解析：思路：先求导，然后分别求出，表示出切线方程，最后将点（2，3）代入切线方程即可求出答案.解答过程：由题可知，则．又，所以的图象在点处的切线方程为，即．因为点（2，3）在切线上，所以，解得．故-1.14.的展开式中所有有理项的系数之和为________．答案：解析：思路：写出二项式的展开式通项，进而确定对应有理项，即可求.解答过程：由二项式知，其展开式通项为，所以，当时对应项为有理项，故所有有理项的系数之和为.四､解答题15.已知函数在处取得极值1.（1）求；（2）求在上的单调区间.答案：（1）（2）单调递增区间为，单调递减区间为.解析：思路：（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，再检验即可；（2）由（1）可得函数解析式，再利用导数求出函数的单调区间.（1）因为，所以.因为，所以.经检验，符合题意.（2）由（1）知，则.令，得或.当时，；当时，.在上单调递减，在上单调递增.故在上的单调递增区间为，单调递减区间为.16.在的展开式中．（1）求二项式系数最大的项；（2）有无x的负整数次幂？有，请求出这些项，没有，则说明理由；（3）判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项．答案：（1）第5项，（2）有，分别是（3）系数的绝对值最大的项是第项和第7项；系数最大的项是解析：思路：（1）根据二项式系数的性质，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大，由此可确定二项式系数最大的项.（2）先写出展开式的通项公式，再根据通项公式判断是否存在的负整数次幂.（3）设出系数的绝对值最大的项，根据系数绝对值最大的条件列出不等式组，求解不等式组得到的值，进而确定系数绝对值最大的项，再根据系数的正负性确定系数最大的项.（1）的展开式的通项为：，，，二项式系数最大的项为中间项，即第5项，.（2），，，令且，.当时，；当时，；当时，；当时，.（3）的展开式的通项为，，，设第项系数的绝对值最大，显然，则，整理得，即，解得，而，则或，所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项；由以上知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项.17.一个袋子中有个大小相同的球，其中红球个，黑球个.每次从袋中随机摸出个球，摸出的球不再放回.（1）求第次摸到红球的概率；（2）设第次都摸到红球的概率为，第次摸到红球的概率为，在第次摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为，在第次都摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据全概率公式求解即可；（2）根据概率的乘法公式以及条件概率公式求解.（1）记事件“第次摸到红球”为，则第次摸到红球的事件为，，由全概率公式，得.（2）由已知得表示事件发生的概率，这是一个连续不放回抽取的过程，第次摸到红球的概率是，第次摸到红球后第次摸到红球的概率是，前次都摸到红球后第次摸到红球的概率是，因此，表示事件发生的概率，因此，表示在事件下，发生的概率，而，因此，表示在事件和下，发生的概率，因此.18.有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3个红球7个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束.（1）求首次摸球后试验就结束的概率；（2）在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率；（3）在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸球；方案二：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大.答案：（1）；（2）；（3）方案二.解析：思路：（1）利用全概率公式计算可得；（2）利用条件概率概率公式计算可得；（3）分别求出两种方案中摸到白球的概率，再比较即可.（1）设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件．则，所以首次摸球后试验就结束的概率为.（2）由题意，和为对立事件，则，则，所以选到的袋子是乙袋的概率是.（3）方案一：从原袋中摸球若首次在甲袋中摸出红球，则，原袋（甲袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为；若首次在乙袋中摸出红球，则，原袋（乙袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为.综上，方案一使第二次摸球后试验结束的概率为.方案二：从另外一个袋子中摸球若首次在甲袋中摸出红球，则，另一个袋子（乙袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为；若首次在乙袋中摸出红球，则，另一个袋子（甲袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为.综上，方案二使第二次摸球后试验结束的概率为.因为，所以方案二使第二次摸球后试验结束的概率更大.19.已知，.（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）讨论函数在上的单调性；（3）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）；（