2025-2026学年湖南省长沙市望城区第一中学高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则中元素个数为（）A.0 B.3 C.5 D.82.不等式的解集是（

）A. B.C. D.3.已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（）A.或 B.C. D.4.已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（）A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知向量在向量上的投影向量为，且，则（）A.-18 B.-12 C.6 D.126.若复数（其中是虚数单位），则（）A. B. C. D.7.如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（

）A.B.C.四边形ABCD的周长为D.四边形ABCD的面积为8.已知圆柱的底面半径为r，高为，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知不重合直线，不重合平面，则下列结论正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（）．A. B.C. D.11.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为的球体B.所有棱长均为的四面体C.底面直径为，高为的圆柱体D.底面直径为，高为的圆柱体三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个圆台上、下底面的半径分别为和，若两底面圆心的连线长为，则这个圆台的母线长为__________，该圆台的轴截面的面积为__________．13.设，则的最小值为_________．14.如图，在中，，，与相交于点，若（），则__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，①求的值：②求的值.16.函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；（3）若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．17.如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为．（1）求证：平面；（2）设二面角为，求．18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，．（1）求A；（2）若，求的周长最大值．（3）若为锐角三角形，其外接圆圆心为O，．记和的面积分别为，，求的取值范围．19.如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且．（1）求证：平面；（2）已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则中元素个数为（）A.0 B.3 C.5 D.8答案：C解析：思路：根据补集的定义即可求出．解答过程：因为，所以，中的元素个数为，故选：C．2.不等式的解集是（

）A. B.C. D.答案：C解析：思路：将分式不等式转化为等价的整式不等式组求解.解答过程：由，得，即x−4−2x−1x−1≥0等价于，解得，即原不等式的解集为.3.已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（）A.或 B.C. D.答案：B解析：思路：利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解.解答过程：由题意得，所以，所以，解得或，当时，，为偶函数，故不符合题意，当时，，为奇函数，故符合题意.综上所述.故选：B.4.已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（）A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：若，则存在非零实数，使得，利用向量的线性运算即可证明充分性，若，则存在实数，使得：，结合向量的运算即可证明必要性，从而判断选项.解答过程：若，则存在非零实数，使得，此时：，因为是非零向量，所以与是共线的，即：，所以充分性成立，若，当时，；当时，存在实数，使得：整理得：，所以，若，则，即；若，则，与为非零向量矛盾，因此，必要性成立;综上“”是“”的充要条件.5.已知向量在向量上的投影向量为，且，则（）A.-18 B.-12 C.6 D.12答案：A解析：思路：结合向量投影可得；解答过程：因为向量在向量上的投影向量为，且，所以，且，所以.6.若复数（其中是虚数单位），则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意得，所以．7.如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（

）A.B.C.四边形ABCD的周长为D.四边形ABCD的面积为答案：D解析：思路：根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形为直角梯形，进而得到其周长和面积，即可得．解答过程：由题设，A错；由斜二测画法知，，，，易知原四边形为直角梯形，，所以，四边形的周长为，面积为，B、C错，D对．8.已知圆柱的底面半径为r，高为，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设圆锥的母线为l，则由题意知，所以，所以圆锥的高，所以圆锥的体积与圆柱的体积比为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知不重合直线，不重合平面，则下列结论正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：AC解析：解答过程：若，则存在直线，根据面面垂直的判定定理，，选项A正确；如图所示，可知，但与相交，则选项B错误；如图所示，设，过平面内一点，作，由面面垂直的性质定理可知，，所以，因为，所以，选项C正确；如图所示，可知，但与相交，选项D错误；10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（）．A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.解答过程：由题意可知：，对于选项A：可得，因为，则，即，所以且，可得，故A正确；对于选项B：可得，因为，则，即，所以且，可得，当且仅当时，等号成立，故B错误；对于选项C：因为，即，可得，即，故C正确；对于选项D：由选项A可知：，且，则，即，可得，且，所以，故D正确；故选：ACD.11.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为的球体B.所有棱长均为的四面体C.底面直径为，高为的圆柱体D.底面直径为，高为的圆柱体答案：ABD解析：思路：根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.解答过程：对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A正确；对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，所以能够被整体放入正方体内，故B正确；对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过的中点作，设，可知，则，即，解得，且，即，故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，可知：，则，即，解得，根据对称性可知圆柱的高为，所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个圆台上、下底面的半径分别为和，若两底面圆心的连线长为，则这个圆台的母线长为__________，该圆台的轴截面的面积为__________．答案：①.②.解析：思路：根据圆台的几何性质和勾股定理，求出母线长和轴截面面积.解答过程：如图所示，作圆台轴截面，上下底面圆心为，根据题意，可知，根据勾股定理，可知，所以母线长为13；轴截面为等腰梯形，则面积为，所以轴截面面积为132；故13；132.13.设，则的最小值为_________．答案：4解析：思路：灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可.解答过程：易知，当且仅当，即时取得最小值.故414.如图，在中，，，与相交于点，若（），则__________．答案：解析：思路：设，，用分别表示，即可得到关于的方程组，进而根据与的关系，即可求得结果．解答过程：设，，则，设，，则，又不共线，故，解得，则．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，①求的值：②求的值.答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得，由此即可得解；（2）①结合余弦定理可得，结合即可求解；②由正弦定理以及平方关系依次求得，将转换为，结合两角和的正弦公式即可得解.（1）因为，利用正弦定理可得：，即.因为，所以，即，又，可得.（2）①由余弦定理及已知可得：即，又因为，所以，联立或（舍），②由正弦定理可知：，因为，则，故为锐角，，.16.函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；（3）若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．答案：（1）；（2），；（3）．解析：思路：（1）利用函数图象的顶点求出，利用周期求出，由特殊点求出，即可求出解析式；（2）利用三角函数图象变换求得，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值；（3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求.（1）由函数的部分图象可知，，，，又，，解得，由可得，；（2）将向右平移个单位，得到，再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，令，由，可得，因为函数在上单调递减，在上单调递增，又，，，可得，；（3）因为关于的方程在上有两个不等实根，即与的图象在有两个交点.由图象可知符合题意的的取值范围为.17.如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为．（1）求证：平面；（2）设二面角为，求．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）求证，即可求证；（2）利用平面求出点到平面的距离，再利用余弦定理求出点到直线的距离即可求出.（1）因为是正方形，所以，因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以，因为与平面所成角为，所以，则，，因为平面，所以点到平面的距离，因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离，在直角梯形中，在中，在中，则在中利用余弦定理得，则，则点到直线的距离为，则.18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，．（1）求A；（2）若，求的周长最大值．（3）若为锐角三角形，其外接圆圆心为O，．记和的面积分别为，，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）首先利用向量数量积的坐标公式得到一个等式，然后利用正弦定理和和差的正弦函数公式对等式进行化简，最后根据角的范围求出.（2）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数性质得到其值域即可.（3）首先利用正弦定理列出外接圆半径与的关系，然后根据圆心角、圆周角的关系列出的大小，然后根据三角形面积公式列出的表达式，最后根据角的范围求出其范围即可.（1），即，由正弦定理得，，因为，所以，又，所以，即，因为，所以，所以，即．（2）因为，，所以，所以周长因为，所以当时，周长取得最大值，此时．（3）设外接圆半径为，则，且由正弦定理，即，因为，，所以，，所以，由为锐角三角形知，，，令，则，∵，∴．19.如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且．（1）求证：平面；（2）已知点是棱上