2025-2026学年江苏省无锡市第三高级中学高三下册考前适应性考试数学试题 含解析

/数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则的虚部为（）A.-1 B.-2 C.1 D.22.已知集合，，则中元素的个数是（

）A.1 B.2 C.3 D.43.设是夹角为的两个单位向量，若，则（

）A. B.2 C. D.34.已知的展开式中第2项与第6项二项式系数相等，则的系数为（）A.12 B.-20 C.-16 D.-125.某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（）TFLOPS.A.29 B.32 C.35 D.386.正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A. B. C. D.7.若，且为锐角，则（）A. B. C. D.8.已知椭圆的左焦点为为椭圆的上顶点，过的直线与椭圆交于两点（不同于），为的角平分线，则直线的方程为（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设事件满足，则下列结论正确的是（）A.B.若互斥，则C.若，则D.若独立，则10.设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）．A. B.C.以MN为直径的圆与l相切 D.为等腰三角形11.若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为，则（）A. B.C.成等比数列 D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．13.设等比数列满足，则当时，正整数的最大值为__________.14.已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.一个不透明的口袋中放有大小相同的4个红球､4个黄球.（1）若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后放回口袋中.求摸球10次，摸到红球个数的期望；（2）若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后不放回口袋中，且连续摸到2个红球时停止，否则继续摸球.记恰好第次摸球时结束为事件，求.16.已知函数的图象与函数的图象的一个交点为，且函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍.（1）求函数的解析式；（2）在中，内角的对边分别为，若是边上的中线，求中线的长度.17.如图，在三棱锥中，平面平面为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.18.已知双曲线过点，且焦距为10.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点为直线上一点，①若直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程；②若在线段上，直线交双曲线于两点.证明.19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若的极值小于0，求实数a的取值范围；（3）当时，取得极值b，且，求数列的前n项和，并比较与的大小．数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则的虚部为（）A.-1 B.-2 C.1 D.2答案：B解析：解答过程：，即，因此的虚部为2.已知集合，，则中元素的个数是（

）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：先解集合中的一元二次不等式，再根据集合的交集运算求出，进而即可得到中元素的个数．解答过程：由，解得，即，所以，所以中元素的个数是．3.设是夹角为的两个单位向量，若，则（

）A. B.2 C. D.3答案：A解析：思路：根据平面向量数量积的运算律即可求解．解答过程：，则．4.已知的展开式中第2项与第6项二项式系数相等，则的系数为（）A.12 B.-20 C.-16 D.-12答案：D解析：思路：先应用二项式系数相等得出，再应用通项公式计算求值.解答过程：∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则，则展开式通项公式是，令，得，∴的系数为，5.某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（）TFLOPS.A.29 B.32 C.35 D.38答案：C解析：思路：前10秒每秒算力构成等差数列，利用已知的第3秒算力和前6秒总算力列方程求解首项与公差，再计算第10秒的算力即为最大算力。

解答过程：由题意知，前10秒每秒的算力构成等差数列，设等差数列的公差为，首项为，且最大算力为，10秒后算力保持不变.则，，联立解得，.所以最大算力，单位为TFLOPS.6.正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.解答过程：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积.故选：D.7.若，且为锐角，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用弦化切可得出关于的方程，结合可解得的值.解答过程：因为为锐角，则，，，，整理可得，即，解得或，因为，故.8.已知椭圆的左焦点为为椭圆的上顶点，过的直线与椭圆交于两点（不同于），为的角平分线，则直线的方程为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据椭圆的几何性质求出所在直线方程，利用角平分线性质，利用到角公式得出，设，得出，设过的直线，联立椭圆方程，结合韦达定理求出，进而求出直线的方程．解答过程：椭圆中，左焦点，上顶点,直线斜率，方程为，已知为的角平分线，由到角公式：，则，故，设，则，，即，设过的直线，联立椭圆方程，代入整理得，由韦达定理得，，则，整理得，解得或，当时，直线与重合，与椭圆交点包含点，不符合题意，舍去；故，，整理得．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设事件满足，则下列结论正确的是（）A.B.若互斥，则C.若，则D.若独立，则答案：ABD解析：解答过程：选项A：，，所以；选项B：因为互斥，所以；选项C：，解得，所以；选项D：因为独立，所以.10.设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）．A. B.C.以MN为直径的圆与l相切 D.为等腰三角形答案：AC解析：思路：先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.解答过程：A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.11.若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为，则（）A. B.C.成等比数列 D.答案：ABD解析：思路：先利用导数判断两函数的单调性，求出极值，作出它们的图象，根据图象，利用函数与方程的思想，结合函数的性质逐一判断各选项即可.解答过程：对于，求导得，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，当，时，，当时，，故；对于，函数的定义域为，求导得，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，故.对于A，由图知，要使直线与两条曲线和有四个不同的交点，需使，故A正确；对于B，结合图象可知，，，结合函数的单调性可知，，即故B正确；同理可得，由知不可能构成等比数列，故C错误；由前面分析可知，故D正确．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．答案：##．解析：思路：根据正态分布曲线的性质即可解出．解答过程：因为，所以，因此．故．13.设等比数列满足，则当时，正整数的最大值为__________.答案：9解析：思路：先利用等比数列性质求解公比与首项，得到通项公式后写出前项乘积的表达式，再构造函数，根据二次函数性质，结合零点存在性定理求解即可.解答过程：设等比数列的公比为，，由等比数列通项性质可得，代入已知条件，，解得，将代入，得，解得，因此数列通项公式为，记前项乘积为，则：，所以，即，两边取常用对数得：

，整理得，令，由二次函数性质知在上单调递增，因为,所以,因为，,所以的最大正整数为.14.已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________.答案：解析：思路：先判断函数为上的偶函数且在上单调递增，将函数不等式转化为绝对值不等式求解即可解答过程：函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以是上的偶函数，因为，当时，，由于时，所以，即在上单调递增；结合偶函数性质，在上单调递减，且满足因为，所以等价于，因为在上单调递增，所以等价于，当时，不等式化为，即，其判别式，不等式恒成立，故；当时，不等式化为，即，因式分解得，解得或.综上，实数的取值范围是四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.一个不透明的口袋中放有大小相同的4个红球､4个黄球.（1）若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后放回口袋中.求摸球10次，摸到红球个数的期望；（2）若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后不放回口袋中，且连续摸到2个红球时停止，否则继续摸球.记恰好第次摸球时结束为事件，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）判定摸到红球个数服从二项分布，直接用二项分布期望公式计算；（2）先明确恰好第4次停止的约束条件，分情况用乘法公式计算概率后求和.（1）

解：每次有放回摸球时，摸到红球的概率为，设10次摸球中摸到红球的个数为，则，由二项分布期望公式得.（2）恰好第4次摸球结束需满足两个条件：①第3、4次均为红球，触发停止规则；②第2次为黄球，否则第2、3次均为红球时第3次就已停止，且第2次为黄球时前2次不可能出现连续红球，自动满足前2次未停止的要求，分两种情况计算：第1次摸到黄球，序列为黄、黄、红、红，概率为：

第1次摸到红球，序列为红、黄、红、红，概率为：

故.16.已知函数的图象与函数的图象的一个交点为，且函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍.（1）求函数的解析式；（2）在中，内角的对边分别为，若是边上的中线，求中线的长度.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先根据正切函数的周期及两函数周期的关系求出的，再代入交点坐标求得得到的解析式；（2）先由求出角，再利用向量模长公式计算中线的长度。（1）解：由题意知，正切型函数的最小正周期，因为函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍.所以的最小正周期，即，解得，因为函数的图象与函数的图象的一个交点为，所以，将交点横坐标代入得，即，代入得，即，因为，，所以，解得，因此.（2）解：因为，，所以，即，因为为三角形内角，即，，所以，解得，因为是边上的中线，，所以

，代入，，，得：

，所以.17.如图，在三棱锥中，平面平面为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.答案：（1）由，为的中点，得，而平面平面，平面平面，平面，则平面，又平面，所以.（2）.解析：思路：（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证.（2）作出二面角的平面角，利用给定角的大小及平行线分线段成比例定理求出，进而求出体积.（1）略（2）由是边长为1的等边三角形，得，则，作交于点，由平面，得平面，而平面，则，过作于，连接，平面，因此平面，又平面，则，为二面角的平面角，即，由，得，而，则，，，，，所以三棱锥的体积.18.已知双曲线过点，且焦距为10.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点为直线上一点，①若直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程；②若在线段上，直线交双曲线于两点.证明.答案：（1）（2）①或；②由，得，解得，由在线段AB上，得，由直线交双曲线于两点，设，由①得即，，，而，，即，因此，即，则，所以.解析：思路：（1）根据题意列方程组求出，即可得出C的方程.（2）①设，求出直线方程并与双曲线方程联立，利用方程只有一解求出即可；②利用数量积的坐标表示结合韦达定理证得，再利用数量积的定义及等高的两个三角形面积关系推