2025-2026学年江苏苏州大学附属中学高一下册期中检测数学试题 含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（其中为虚数单位）的实部为（）A. B.1 C. D.2.已知向量，若，则实数的值为（）A.16 B.4 C.-4 D.-163.在中，设角的对边分别为，若，则（）A. B.3 C. D.4.如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（）A. B. C. D.5.已知，则（）A. B. C. D.6.函数的最小正周期和最大值分别是（）A.和 B.和2 C.和 D.和27.已知是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（）A. B.4 C. D.28.已知，且，则的最小值为（）A. B.2 C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列表达式中，正确的是（）A. B.C. D.10.已知复数，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则（其中为虚数单位）的最大值为D.若，则11.梯形中，，，，与交于点，点是线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A. B.C.为定值8 D.若，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z与都是纯虚数，则__________．13.在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．14.已知在中，角，，所对的边分别为，，，，则__________；若线段为的中线，且，，则__________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，，，.（1）求实数的值；（2）求和夹角的余弦值.16.已知，，，.（1）求；（2）求的值.17.已知，，函数，其中.（1）若函数在区间有且仅有2个零点，求的取值范围；（2）若函数的最小正周期为.①求函数在区间上的单调递增区间；②解不等式.18.已知两座平行的高架轨道，（足够长），，分别是两座轨道上的固定检修点，点在线段上，，，，分别为轨道，上的巡检车，两车均在直线的同一侧作业，已知，设，区域为两车的作业协同区，面积记为．（1）若，作业协同区面积，求此时巡检车与检修点的距离；（2）若，求作业协同区的最小值．19.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，.（1）求的大小；（2）设的角平分线交于点.①求面积的取值范围②求线段长的取值范围.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（其中为虚数单位）的实部为（）A. B.1 C. D.答案：D解析：解答过程：因2+i3−i2.已知向量，若，则实数的值为（）A.16 B.4 C.-4 D.-16答案：B解析：思路：根据向量平行的坐标表示可求.解答过程：，.故选：B.3.在中，设角的对边分别为，若，则（）A. B.3 C. D.答案：A解析：思路：利用正弦定理可求.解答过程：，由正弦定理可得即，故，故选：A.4.如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由斜二测画法和余弦定理计算可得.解答过程：由写二次画法可知，，在中，由余弦定理，所以.故选：A.5.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：结合已知条件，利用二倍角公式可求得，再根据诱导公式计算即可.解答过程：由题意，因为，所以，所以.故选：A.6.函数的最小正周期和最大值分别是（）A.和 B.和2 C.和 D.和2答案：C解析：思路：利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.解答过程：由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C．7.已知是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（）A. B.4 C. D.2答案：A解析：思路：由已知可得且，根据已知投影向量可得BAcosBBC=34，进而有解答过程：由，故为中点，又O是的外心，所以，且，由在上的投影向量BAcosB⋅BCBC所以BA⋅所以．8.已知，且，则的最小值为（）A. B.2 C. D.答案：A解析：思路：由两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系化简可得，再由两角和的正切公式可得，最后由基本不等式求解即可.解答过程：由可得：，即，所以，因为，所以，所以，所以等式两边同时除以，所以，即，所以，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等，所以的最小值为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列表达式中，正确的是（）A. B.C. D.答案：ABC解析：思路：逆用两角和的余弦公式计算可得A；借助二倍角正切公式计算可得B；逆用两角差的正切公式计算可得C；借助平方差公式与降幂公式计算可得D.解答过程：对A：，故A正确；对B：，故B正确；对C：，故C正确；对D：，故D错误.10.已知复数，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则（其中为虚数单位）的最大值为D.若，则答案：BC解析：思路：设，其中，利用复数的运算法则和几何意义依次对各个选项分析即可.解答过程：设，其中，对A：因为z1故a2+c比如满足该方程组，但、不为，故A错误；对B：z1z1由，则，又，，故，故B正确；对C：由复数的几何意义可知，表示在复平面上复数所代表的点在单位圆上，z1−1−i表示在复平面上复数所代表的点到复数由复数所代表的点到原点距离为，故复数所代表的点到复数所代表的点的距离的最大值为，即z1−1−i对D：由，即a−c故a−c2而，并不能得到，比如取，满足前提条件，但，故D错误.11.梯形中，，，，与交于点，点是线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A. B.C.为定值8 D.若，则的最小值为答案：ACD解析：思路：对A：由题意可得梯形为等腰梯形，则可得，利用平面向量线性运算法则及模长与数量积关系计算可得，结合相似性质可得，即可得；对B：借助平面向量线性运算法则计算即可得；对C：设，利用平面向量基本定理结合模长与数量积关系计算即可得；对D：利用平面向量基本定理计算可得，再利用基本不等式中“1”的活用即可得解.解答过程：对A：由题意可得梯形为等腰梯形，则，由，可得与相似，由，则，由，则，故，故A正确；对B：，故B错误；对C：设，，则，由，则，则，故C正确；对D：由C得，则，则，，有，则，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z与都是纯虚数，则__________．答案：解析：思路：设复数，利用复数乘方，结合纯虚数的意义求解即得.解答过程：设复数，则，由是纯虚数，得，解得，所以.故13.在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．答案：##解析：思路：结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.解答过程：如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，因为，则，故，则，所以所求体积为.故答案为.14.已知在中，角，，所对的边分别为，，，，则__________；若线段为的中线，且，，则__________.答案：①.②.解析：思路：根据正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式及辅助角公式即可求解；由平面向量的线性运算用表示出，再根据平面向量数量积的运算律即可求解．解答过程：，由正弦定理得，，因为，所以，整理得，，因为，所以，所以，所以，即；因为线段为的中线，所以，又，，所以．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，，，.（1）求实数的值；（2）求和夹角的余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）借助数量积公式计算可得，再利用向量垂直性质计算即可得；（2）借助模长与数量积的关系计算可得、，再利用平面向量夹角公式计算即可得解.（1）2a−3b由b⊥b+ta（2）由，则，a→+ba→−b→2故cosa16.已知，，，.（1）求；（2）求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）借助同角三角函数基本关系及两角差的余弦公式计算即可得；（2）借助同角三角函数基本关系及两角差的正切公式计算即可得.（1）由，则，则，则；（2）由，，则，则，，又，故.17.已知，，函数，其中.（1）若函数在区间有且仅有2个零点，求的取值范围；（2）若函数的最小正周期为.①求函数在区间上的单调递增区间；②解不等式.答案：（1）（2）①，；②解析：思路：（1）借助数量积坐标公式及三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，再利用三角函数性质计算即可得的取值范围；（2）①利用函数周期可计算出的值，再求出函数单调递增区间后即可得其在上的单调递增区间；②结合正弦型函数图象解出不等式即可得.（1）=3当时，，由函数在区间有且仅有2个零点，则有，解得；（2）①由函数的最小正周期为，则，解得，故，令，解得，即的单调递增区间为，则函数在区间上的单调递增区间为、5π6,π②令fx=2sin则π3解得π4即不等式的解集为π4+18.已知两座平行的高架轨道，（足够长），，分别是两座轨道上的固定检修点，点在线段上，，，，分别为轨道，上的巡检车，两车均在直线的同一侧作业，已知，设，区域为两车的作业协同区，面积记为．（1）若，作业协同区面积，求此时巡检车与检修点的距离；（2）若，求作业协同区的最小值．答案：（1）2（2）当时，取到最小值解析：思路：（1）由已知结合正弦定理及三角形面积公式得出的值，即可求解巡检车与检修点的距离；（2）利用正弦定理及三角形面积公式得出，再结合三角恒等变换和正弦函数的性质即可求解最小值．（1）因为，则，，若，则，在中，由正弦定理，可得，在中，由正弦定理，可得，则，由已知得，得，则或，所以或，又因为0<π2−α<所以，即为等边三角形，所以．（2）与（1）同理可得，，在中，由正弦定理，可得，由（1）得，，则，，因为0<π3−α<则，所以当时，取到最小值．19.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，.（1）求的大小；（2）设的角平分线交于点.①求面积的取值范围②求线段长的取值范围.答案：（1）（2）①；