2025-2026学年江苏宿迁市高二下册期中质量监测数学试题 含解析

/数学（满分150分，考试时间120分钟）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A.5 B.6 C.7 D.82.若展开式中的常数项为90，则常数的值为（）A.4 B.2 C.8 D.63.已知三点，，，满足，则实数的值为（）A. B.1 C. D.4.的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则（）A.4 B.5 C.6 D.75.在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（）A. B. C.2 D.36.战争对百姓伤害极大，现有五个居民区受到战争波及，甲､乙､丙､丁四位医生全部参加救助，每位医生至多负责两个居民区，每个居民区只能有一位医生负责，每个居民区都要有医生负责，则不同的安排方案种数共有（）A.240 B.360 C.600 D.3207.已知，则（）A.10 B.8 C.6 D.58.在正方体中，点为线段的中点.点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值是（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.下列正确的是（）A. B.C. D.10.下列正确的是（）A.由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数B.由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数C.由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码D.由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数11.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）A.在棱上不存在点M，使平面B.异面直线与所成的角为C.二面角的大小为D.平面三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，若，则与的夹角为______.13.在展开式中的系数______.14.编号为的5个小球放入编号为的3个盒子，要求每个盒子都要放球同时小球的编号与盒子的编号不相同，则不同的放法共有______.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.有8辆不同品牌的新能源汽车，其中有5辆车合格，3辆车不合格，现车辆检测中心每次抽一辆车进行检测，直到3辆不合格车全部检测出为止.（1）求前3次检测恰好都是不合格车辆的不同检测情形种数；（2）求最后1辆不合格车正好在第6次检测时被发现的不同检测情形种数；（3）若前2次检测都是不合格车辆，求最多有多少种不同的检测情形种数.16.在的展开式中，前3项的系数依次成等差数列.（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中所有的有理项.17.如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点，.求：（1）直线与平面所成角的大小；（2）点到平面的距离.18.在直三棱柱中，，，，点M在线段上，．（1）若为锐角，求实数的取值范围；（2）若二面角的余弦值为，求线段AM的长度．19.已知函数，其中.（1）若，求的值；（2）若，求；（用表示）（3）若，求实数的值.

数学（满分150分，考试时间120分钟）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A.5 B.6 C.7 D.8答案：C解析：解答过程：由题意得.2.若展开式中的常数项为90，则常数的值为（）A.4 B.2 C.8 D.6答案：D解析：思路：根据二项式展开式的通项特征即可求解.解答过程：展开式的通项为，令，则，故常数项为，则.3.已知三点，，，满足，则实数的值为（）A. B.1 C. D.答案：A解析：思路：由可得求解即可.解答过程：因为，所以，所以，，所以，解得.4.的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：C解析：解答过程：根据题意可知只有最大，根据二项式系数的性质，故.5.在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（）A. B. C.2 D.3答案：B解析：解答过程：因为点、分别是棱、的中点，所以，又，、、不共面，所以，所以.6.战争对百姓伤害极大，现有五个居民区受到战争波及，甲､乙､丙､丁四位医生全部参加救助，每位医生至多负责两个居民区，每个居民区只能有一位医生负责，每个居民区都要有医生负责，则不同的安排方案种数共有（）A.240 B.360 C.600 D.320答案：A解析：解答过程：由题意可得其中1名医生需负责两个居民区，另外3名医生每位医生负责一个居民区，所以共有种不同的安排方案.7.已知，则（）A.10 B.8 C.6 D.5答案：D解析：思路：令，则，再由二项式定理求解即可.解答过程：令，则，则，则，则有，，则含的项为，故.8.在正方体中，点为线段的中点.点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：建立空间直角坐标系，根据向量法求出直线与平面所成的角为的正弦值，再表示出并求出其最小值即可.解答过程：设正方体边长为2，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，则,,,,设,则,,设平面的法向量为,则由得取，则,所以为平面的一个法向量，所以直线与平面所成的角的正弦值又由，所以,所以，又因,所以,所以最小值为故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.下列正确的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：根据组合数以及排列数的性质和公式即可求解ABD，根据二项式定理的展开式即可求解C.解答过程：,,故AB正确，,C错误，，D正确，10.下列正确的是（）A.由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数B.由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数C.由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码D.由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数答案：ACD解析：思路：利用分步计数原理结合排列组合数进行计算即可．解答过程：由数字1，2，3，4能够组成没有重复数字的三位数有个，故A正确；若三个数是偶数，则个位可以是2，4，则共有没有重复数字有个，故B错误；数字1，2，3，4能够组成三位密码有个，故C正确；若三位数比320大，则百位是4时，有个，若百位是3，则十位可以是2，3，4时，个位可以是1，2，3，4，共有个，则比320大的三位数有个，故D正确．故选：ACD．11.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）A.在棱上不存在点M，使平面B.异面直线与所成的角为C.二面角的大小为D.平面答案：BC解析：思路：取中点E，连接，，由题意证明线面垂直，即平面，建立空间直角坐标系，对于A选项，假设平面，设，由，求解即可；对于B选项，求，，由即可求解；对于C选项，分别求解平面与平面法向量，由此求解即可；对于D选项，由即可求解.解答过程：取中点E，连接，，因为为等边三角形，则，因为平面平面，平面平面，平面，平面，则平面，因为底面为菱形，，所以，因为平面，所以，所以以为原点，为轴，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，则令，则有，，则有，，，，，，对于A选项，令，若平面，则有，则，，，则有，即点为原点时，有平面，故A错误；对于B选项，，，因为，则，则异面直线与所成的角为，故B正确；对于C选项，平面的法向量为，则平面的法向量为，则，，则有，即，令，则有，，故，故，故二面角的大小为，故C正确；对于D选项，，，因为，故与平面不垂直，故D错误.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，若，则与的夹角为______.答案：解析：思路：由求解，再由求解即可.解答过程：因为，，，则，，所以，解得，所以，，又，所以与的夹角为.13.在展开式中的系数______.答案：240解析：思路：将整理为，分别求解的通项公式，即可求得结果.解答过程：因为，又的通项公式为；的通项公式为令求得中的常数项和的系数为；令求得的常数项和的系数为；故的系数为.故240.方法提示：本题考查含有3项的二项式展开式中指定项系数的求解，属基础题.14.编号为的5个小球放入编号为的3个盒子，要求每个盒子都要放球同时小球的编号与盒子的编号不相同，则不同的放法共有______.答案：48解析：思路：分一组为3个球，另外两组各1个球和两组各为2个球，另外一组1个球求解.解答过程：由题意得：当一组为3个球，另外两组各1个球时，假设3个球的组合放入1号盒子，因为1号盒子不能放编号为1的球，所以这3个球必须从2，3，4，5中选出，剩下的2个球放入2号和3号盒子，当1号盒子放入的是2，3，4时，剩下的是1，5，分别放入2号和3号盒子共有2种；当1号盒子放入的是2，3，5时，剩下的是1，4，分别放入2号和3号盒子共有2种；当1号盒子放入的是2，4，5时，剩下的是1，3，分别放入2号和3号盒子共有1种；当1号盒子放入的是3，4，5时，剩下的是1，2，分别放入2号和3号盒子共有1种；所以当3个球放入1号盒子时共有种；同理：2号盒子和3号盒子放入3个球时，都有6种；所以总共有种；当两组各为2个球，另外一组1个球时，假设1个球的组合放入1号盒子，因为1号盒子不能放编号为1的球，所以这1个球必须从2，3，4，5中选出，剩下的4个球平均分成两组放入2号和3号盒子，当1号盒子放入的是2时，剩下的是1，3，4，5，分为13和45组合有1种；分为14和35组合有1种；分为15和34组合有1种；共3种；当1号盒子放入的是3时，剩下的是1，2，4，5，分为12和45组合有1种；分为14和25组合有1种；分为15和24组合有1种；共3种；当1号盒子放入的是4时，剩下的是1，2，3，5，分为12和35组合有1种；分为13和25组合有1种；分为15和23组合有0种；共2种；当1号盒子放入的是5时，剩下的是1，2，3，4，分为12和34组合有1种；分为13和24组合有1种；分为14和23组合有0种；共2种；所以总共有种；同理：当2号盒子和3号盒子放1球时，各有10种，总共有30种，综上：共有18+30=48种.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.有8辆不同品牌的新能源汽车，其中有5辆车合格，3辆车不合格，现车辆检测中心每次抽一辆车进行检测，直到3辆不合格车全部检测出为止.（1）求前3次检测恰好都是不合格车辆的不同检测情形种数；（2）求最后1辆不合格车正好在第6次检测时被发现的不同检测情形种数；（3）若前2次检测都是不合格车辆，求最多有多少种不同的检测情形种数.答案：（1）6（2）3600（3）720解析：思路：（1）根据3辆车不合格，由3辆不合格的车全排列求解；（2）根据最后1辆不合格车正好在第6次检测时被发现的，则在前5次检测中，必须恰有2辆不合格和3辆合格的车检测出求解；（3）根据直到3辆不合格车全部检测出检测就停止，至多第8次检测出第3辆不合格的车求解即可.（1）因为有3辆车不合格，所以前3次检测恰好都是不合格车辆的不同检测情形种数为种；（2）因为最后1辆不合格车正好在第6次检测时被发现的，所以在前5次检测中，必须恰有2辆不合格的车被检测出，且前5次检测中，还包含3辆合格的车，所以有种；（3）前2次检测都是不合格车辆共有种，因为直到3辆不合格车全部检测出就停止，所以由题意在第8次测出第3辆不合格的车，即第3次，第4次，第5次，第6次和第7次各检测出1辆合格的车有种.16.在的展开式中，前3项的系数依次成等差数列.（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中所有的有理项.答案：（1）（2），，解析：（1）二项式展开式的通项为.其中，前3项系数依次为，，.由前3项系数成等差数列，得.整理得，解得（舍去）.令，即，解得.代入通项得系数.（2）有理项要求为整数，即是4的倍数.又，故.：：：所以所求有理项为17.如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点，.求：（1）直线与平面所成角的大小；（2）点到平面的距离.答案：（1）（2）解析：（1）因为多面体为正四棱锥,所以易得两两垂直.所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系：则所以，,.设平面的法向量.由法向量与平面内向量垂直,得即令,则,.所以平面的一个法向量设直线与平面所成角为，则的正弦值等于.所以，.所以直线与平面所成角为（2）由，所以由（1）可知平面的一个法向量所以所以点A到平面PBC的距离为18.在直三棱柱中，，，，点M在线段上，．（1）若为锐角，求实数的取值范围；（2）若二面角的余弦值为，求线段AM的长度．答案：（1）（2）解析：思路：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设由（），可得参数范围；（2）在（1）基础上，求出平面的一个法向量，则空间向量法求二项角后可得点坐标，从而求得线段长．（1）以为正交基底建立如图所示空间直角坐