2025-2026学年江苏宿迁市沭阳县高二下册期中调研测试数学试题 含解析

/数学满分150分，考试时长120分钟，考试结束后，只需上交答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A.5 B.8 C.10 D.362.已知空间向量，若共面，则实数的值为（）A.0 B.-1 C.1 D.3.已知随机变量，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.64.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（）A. B. C. D.5.某校高一新生中的四名同学打算参加“文学社”、“街舞社”、“美术社”三个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为（）A.18 B.36 C.48 D.726.在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（）A.3 B. C.8 D.7.有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（）A.， B.，C.， D.，8.如图，在三棱锥中，为的中点，平面，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.9.设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（）010.6A. B. C. D.10.已知的展开式中，第5项与第4项的系数之比为，则（）A.B.展开式中的常数项为C.展开式中二项式系数最大项为D.展开式中系数最大的项为11.如图点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（）A.当为的中点时，B.当在面上，且直线与所成的角为时，点的轨迹长度为C.三棱锥体积的最大值为D.当平面时，线段长度最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.12.已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______.13.某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有________种．14.在数轴上，一枚棋子初始位于0，每步移动规则如下，若棋子位于1，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格；若棋子位于其他位置，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格，当棋子首次到达2时游戏获胜，首次到达时游戏失败，则获胜的概率为________．四、解答题：本题共5大题，满分77分.每题要有详细的解答过程.15.甲、乙、丙三位教师指导五名学生，，，，参加全国高中数学联赛，（1）若每位教师至多指导一名学生，每名学生至多接受一位教师指导，求共有多少种分配方案；（2）若每位教师至少指导一名学生，教师甲只指导一名学生，每名学生有且只有一位，求共有多少种分配方案.16.如图，四棱锥的底面是菱形，，，侧棱底面且，是的中点．（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正切值．17.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为．（1）求甲连续打前四局比赛的概率；（2）前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率；（3）如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望．18.把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角．（1）证明：平面；（2）若在同一个球面上，求该球的半径；（3）求平面与平面所成角的余弦值．19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有极小值，且，求a的取值范围.

数学满分150分，考试时长120分钟，考试结束后，只需上交答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A.5 B.8 C.10 D.36答案：C解析：解答过程：2.已知空间向量，若共面，则实数的值为（）A.0 B.-1 C.1 D.答案：C解析：思路：根据空间向量共面的性质进行求解即可.解答过程：共面，，，解得.故选：C3.已知随机变量，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6答案：B解析：解答过程：因为，由正态分布的对称性可知，关于对称，又因为，所以，则所以4.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据，结合空间向量垂直的坐标关系求解即可.解答过程：因为，直线的方向向量为，平面的法向量为，所以，所以，即，解得5.某校高一新生中的四名同学打算参加“文学社”、“街舞社”、“美术社”三个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为（）A.18 B.36 C.48 D.72答案：B解析：解答过程：依题意，可将四名同学先按照分组，再对三个社团进行分配即可，故不同的参加方法的种数为.6.在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（）A.3 B. C.8 D.答案：D解析：思路：取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，根据正三棱锥的性质得到平面、，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.解答过程：如图，取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，交AB于点，交BC于点，连接BD.因为三棱锥是正三棱锥，所以平面，又为等边三角形，所以，所以，则HB，HF，HP两两垂直，故以为坐标原点，HB，HF，HP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为是边长为的等边三角形，所以，．因为，所以，所以，，，，所以，所以，，则，，，所以点到直线BC的距离．故选：D7.有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（）A.， B.，C.， D.，答案：B解析：思路：分别对与计算对应的概率和期望，进而比较大小可得结果.解答过程：当时，从乙盒取出白球和黑球的概率分别为和，放入后，取出白球的概率分别为1和，故，．当时，从乙盒取两个球，此时服从超几何分布，取出两个白球的概率，此时甲盒中取白球概率为1；取出两个黑球的概率，此时甲盒中取白球概率为；取出一白一黑的概率，此时甲盒中取白球概率为，则，且放入的两个球中白球数的期望，则，则，所以，又，，故．故选：B8.如图，在三棱锥中，为的中点，平面，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角公式计算直线与平面所成角的正弦值.解答过程：在中，，且2，所以是等腰直角三角形.因为为的中点，根据等腰三角形性质，.在中，，所以.因为平面，平面，所以.以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系.所以，，，，.设，在中，，.所以，故.所以，设平面的法向量为，则，令，则，，所以平面的一个法向量为).，设直线与平面所成的角为.所以.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.9.设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（）010.6A. B. C. D.答案：AC解析：思路：根据期望和方差的公式及线性运算性质，求解即可.解答过程：由分布列的性质得，所以.则离散型随机变量X的数学期望为，故A正确；而，故C正确；而方差为，故B错误；可得，故D错误.10.已知的展开式中，第5项与第4项的系数之比为，则（）A.B.展开式中的常数项为C.展开式中二项式系数最大项为D.展开式中系数最大的项为答案：ABD解析：思路：对于选项AB，利用通项公式求解；选项C，由可知展开式中二项式系数最大项的项为第5项和第6项，利用通项公式求解；选项D，设项为展开式中系数最大的项，则的系数的系数，且的系数的系数，利用通项公式求解.解答过程：选项A，的展开式中的第5项为，此二项式的展开式中的第5项的系数为，的展开式中的第4项为，此二项式的展开式中的第4项的系数为，第5项与第4项的系数之比为，，，，，故选项A正确；选项B，展开式的通项，令，解得，则，故选项B正确；选项C，，展开式中二项式系数最大项的项为第5项和第6项，第5项为，第6项为，故展开式中二项式系数最大项为或，故选项C错误；选项D，设项为展开式中系数最大的项，则的系数的系数，且的系数的系数，，的系数为，，的系数为，，的系数为，，，，，，，，，，展开式中系数最大的项为，故选项D正确.11.如图点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（）A.当为的中点时，B.当在面上，且直线与所成的角为时，点的轨迹长度为C.三棱锥体积的最大值为D.当平面时，线段长度最大值为答案：ACD解析：思路：由线面垂直的判定定理可判断A；由题意作出点的轨迹，计算可判断B；根据等体积法确定点的位置计算可判断C；取，，，，，的中点分别为，，，，，，连接，，，，，，，，，根据题意确定轨迹，计算可判断D.解答过程：对于A，当为的中点时，因为是线段的中点，所以，在正方体中，平面，因为平面，所以，因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，故A正确；对于B，连接，，以为圆心，为半径画，如图1所示，当点在弧上时，直线与所成的角为，长度，故点的轨迹长度为，故B错误：对于C，因为，而等边的面积为定值，要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大，易知点是正方体到平面距离最大的点，所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体，其高为，所以，故C正确；对于D，取，，，，，的中点分别为，，，，，，连接，，，，，，，，，如图2所示，易知，面，平面，故平面，，平面，平面，故平面，又，，平面，故平面平面，又，，，故平面与平面是同一个平面，则点的轨迹为该正六边形，；故，故长度的最大值为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.12.已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______.答案：解析：思路：根据两向量夹角为锐角得向量数量积大于0且两向量不共线，列出不等式组，进而求出结果.解答过程：由题意得，则，解得；当，则，此时，舍去.综上，的取值范围是.故答案为.13.某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有________种．答案：432解析：思路：借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求.解答过程：先排4个歌舞节目：，排好后会产生5个空位（包括两端）,步骤2：将2个机器人节目插入空位：；步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法，剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列，有种方法，故不满足条件的情况有，故总数为.14.在数轴上，一枚棋子初始位于0，每步移动规则如下，若棋子位于1，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格；若棋子位于其他位置，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格，当棋子首次到达2时游戏获胜，首次到达时游戏失败，则获胜的概率为________．答案：##解析：思路：记棋子在位置时最终获胜的概率为，根据概率之间的关系建立方程组求解即可.解答过程：记棋子在位置时最终获胜的概率为，则，因为棋子位于0时向左右移动的概率都为，所以，又因为棋子位于1时向左移动的概率为，向右移动的概率为，所以，代入可得，解得.因为棋子初始位于0，所以获胜概率即为.四、解答题：本题共5大题，满分77分.每题要有详细的解答过程.15.甲、乙、丙三位教师指导五名学生，，，，参加全国高中数学联赛，（1）若每位教师至多指导一名学生，每名学生至多接受一位教师指导，求共有多少种分配方案；（2）若每位教师至少指导一名学生，教师甲只指导一名学生，每名学生有且只有一位，求共有多少种分配方案.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先从5名学生中选3名学生，再将这3名学生分配给3名老师，据此求解即可；（2）分两步进行求解，第一步从5名学生中任选一名分给老师甲，第二步将剩下的4名学生分成两组(每组至少1个)，再分配给乙、丙两位教师.（1）由题意可得从5名学生中选3名学生，再将这3名学生分配给3名老师，所以一共有种分配方案.（2）第一步，从5名学生中任选一名分给老师甲，有种分配方案；第二步将剩下的4名学生分成两组(每组至少1个)，再分配给乙、丙两位教师；这两组人数为1和3时，有种，再分配给乙、丙两位教师，有种，此时共有种分配方案；这两组人数为2和2时，有种，再分配给乙、丙两位教师，有种，此时共有种分配方案；所以第二步一共有种分配方案，所以一共有种分配方案.16.如图，四棱锥的底面是菱形，，，侧棱底面且，是的中点．（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正切值．答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：（1）由底面是菱形得到．平面得到，从而得到平面，利用面面垂直的判定定理得到平面平面．（2）方法一：由平面得到为与平面所成角．利用勾股定理和余弦定理求出长度，在中，代入得到与平面所成角的正切值；方法二：利用空间向量法求解.（1）连接底面是菱形，．平面平面．又平面平面，平面．平面平面平面．（2）方法一：设，由（1）知平面．则为与平面所成角．底面是菱形，．在直角中，．在中，由余弦定理知：,．在中，．与平面所成角的正切值为．方法二：取中点，易知，以为基底建立空间直角坐标系．则有：．．设平面的一个法向量，，令有．设与平面所成角为，则有，．17.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为．（1）求甲连续打前四局比赛的概率；（2）前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率；（3）如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可；（2）利用条件概率求解即可；（3）先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可.（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜，第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为，第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为，第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为，所以甲连续打前四局比赛的概率为.（2）设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局，对于前四局中第二局乙获胜：即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为，第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为，所以，在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为，第四局：乙、丙对打，概率为，所以，根据条件概率知.（3）由题意知得分的可能值为：，，，，，所以的分布列为：6所以得分的数学期望为.18.把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角．（1）证明：平面；（2）若在同一个球面上，求该球的半径；（3）求平面与平面所成角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而根据线线垂直证明平面．（2）建立空间直角坐标系，根据两点距离公式列方程，可求解球心的坐标，即可求解，（3）根据面面垂直的性质，结合二面角的定义可得为所求的角，即可根据三角形的边角关系求解，或者求解平面法向量，根据法向量的夹角求解.（1）二面角为直二面角，即平面平面，又因为平面，平面平面，所以平面．又因为平面，所以．由题意平面，所以平面．（2）取中点中点，连接，则，因为平面，平面，所以，所以，在中，为中点，所以.以为正交基底建立如图所示空间直角坐标