2025-2026学年江苏泰州中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.）1.已知，那么（）A.5 B.9 C.10 D.112.若随机变量，且，则（）A.0.15 B.0.25 C.0.35 D.0.453.已知空间向量，若，则（）A.-2 B.-3 C.2 D.34.今年贺岁片，《飞驰人生3》，《惊蛰无声》，《镖人》，《熊出没》票房前四，小明和他的同学一行五人决定去看这四部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（）A.种 B.60种 C.120种 D.种5.空间内有三点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.6.此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（）A.0.5 B.0.75 C.0.65 D.0.6257.已知，则下列描述正确的是（）A. B.除以5所得的余数是1C. D.8.正方体的棱长为5，点M在棱AB上，且，点P是正方体下底面ABCD内（含边界）的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为25，则动点P到B点的最小值是（）A. B. C. D.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若则（）A. B. C. D.10.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（）A.第10行所有数字的和为1024 B.C.第9行所有数字的平方和等于 D.若第行第个数记为，则11.在四棱锥中，底面是正方形，，，，为棱上一点，则下列说法正确的是（）A.点到平面的距离为2B.若为棱的中点，则过A，D，P的平面截此四棱锥的截面面积为6C.四棱锥外接球的表面积为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题；（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.某学习小组由6名男生和4名女生组成，从中依次随机抽取2人参加知识竞赛，则在第一次抽到男生的条件下，第二次抽到女生的概率等于______.13.在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________.14.设展开式为，则________.四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项．16.有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．（1）全体排成一排，女生必须站在一起；（2）全体排成一排，男生互不相邻；（3）全体排成一排，5人中的甲不站最左边，乙不站最右边．17.据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？（2）从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差.18.如图，在四棱台中，已知，.（1）证明：平面；（2）若四棱台的体积为，求二面角的余弦值.19.某学校有甲､乙､丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是甲管理停车场，则下一天有的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有的概率是丙管理停车场；若某天是丙管理停车场，则下一天有的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的是甲.（1）求第4天是甲管理停车场的概率；（2）求第天是甲管理停车场的概率；（3）设今年甲､乙､丙管理停车场的天数分别为，判断的大小关系.（给出结论即可，不需要说明理由）

数学一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.）1.已知，那么（）A.5 B.9 C.10 D.11答案：C解析：思路：利用排列数公式计算可得答案.解答过程：因为，所以，则.故选：C.2.若随机变量，且，则（）A.0.15 B.0.25 C.0.35 D.0.45答案：B解析：思路：借助正态分布概率的对称性计算即可得.解答过程：.3.已知空间向量，若，则（）A.-2 B.-3 C.2 D.3答案：D解析：思路：由空间向量垂直的坐标表示，列出方程，求解可得.解答过程：由，有，则，解得．故选：D．4.今年贺岁片，《飞驰人生3》，《惊蛰无声》，《镖人》，《熊出没》票房前四，小明和他的同学一行五人决定去看这四部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（）A.种 B.60种 C.120种 D.种答案：A解析：解答过程：五人看四部电影，不同的选择共有种5.空间内有三点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：分别求出与，即可得，与，根据点P到直线EF的距离为，即可求解.解答过程：因为，所以，.所以，，点P到直线EF的距离为.故选：B..6.此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（）A.0.5 B.0.75 C.0.65 D.0.625答案：D解析：思路：由全概率公式即可直接求解.解答过程：由题意，令表示会做，表示选对，则，且，所以.7.已知，则下列描述正确的是（）A. B.除以5所得的余数是1C. D.答案：B解析：思路：结合赋值法，求导数法，二项式展开式的通项公式可得答案.解答过程：对于A：令得：；令，得．，因此A错误；对于B：，因此B正确对于C：因为二项展开式的通项公式为，由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，所以，由，令，得到，令，得到，所以，因此C错误对于D：对原表达式的两边同时对求导，得到，令，得到，令，得所以，所以选项D错误．故选：B8.正方体的棱长为5，点M在棱AB上，且，点P是正方体下底面ABCD内（含边界）的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为25，则动点P到B点的最小值是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为25，得到，发现点P的轨迹是抛物线，然后建立平面直角坐标系求解即可.解答过程：如图所示，作，Q为垂足，则平面，过点Q作，交于，则平面PQR，所以PR即为P到直线的距离．因为，且，所以．所以点P的轨迹是以AD为准线，点M为焦点的抛物线．如图建立直角坐标系，则点P的轨迹方程是，点，设，所以，所以当，取得最小值.故选：B二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若则（）A. B. C. D.答案：BC解析：思路：根据二项分布和正态分布的期望、方差公式及概率计算逐一判断.解答过程：对于选项A：，A错误；对于选项B：，B正确；对于选项C：，，C正确；对于选项D：，，D错误.故选：BC.10.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（）A.第10行所有数字的和为1024 B.C.第9行所有数字的平方和等于 D.若第行第个数记为，则答案：ACD解析：思路：结合二项式系数和计算判断A；根据组合数的性质计算判断B；结合的展开式的系数的关系判断C；根据第行的第个数为，结合逆用二项式定理化简求解判断D.解答过程：对于A，在杨辉三角中，第10行的所有的数字之和为，正确；对于B：由公式得：，错误；对于C，在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字，即，因为对应相乘可得的系数为，而二项式展开式的通项公式，，当时，，则的系数为，所以，所以第9行所有数字的平方和等于，正确；对于D，第行的第个数为，所以即，正确.故选：ACD11.在四棱锥中，底面是正方形，，，，为棱上一点，则下列说法正确的是（）A.点到平面的距离为2B.若为棱的中点，则过A，D，P的平面截此四棱锥的截面面积为6C.四棱锥外接球的表面积为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为答案：ABD解析：思路：设点到平面的距离为，结合，求得，可判定A正确；取中点为，连接，，可得截面为直角梯形，进而可判定B正确；结合球的截面的性质，可求得四棱锥外接球的半径为，结合球的表面积公式，可判定C不正确；作和，证得平面平面，将与平面所成的角转化为，设，求得，结合二次函数的性质，可判定D正确.解答过程：对于A选项，因为，，又，且，面，所以面，又因为，所以平面，因为，且，可得到平面的距离为，即三棱锥的高为，设点到平面的距离为，且，由，可得，得.所以点到平面的距离为2，所以A正确；对于B选项，因为，所以点为棱的中点，取中点为，连接，，则平面即为平面截此四棱锥所得的截面.且点是的中点，点为棱的中点，所以在中，是的中位线，则，且，又因为四边形是正方形，则，所以，因为面，且面，面，所以.所以四边形是以为下底、为上底，为高的直角梯形，因为，在等腰中，，且平分，可得，则平面截此四棱锥所得截面的面积为，所以B正确；对于C选项，又因为，，且，所以，即，其中为外接圆半径，因为正方形的中心到面的距离等于其边长的一半，即，故四棱锥外接球的半径为.所以四棱锥外接球的表面积为，所以C不正确；对于D选项，过点作，再过点作，使得分别在线段上，连接.根据线面平行的判定定理，可得平面，平面，因为，且平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面，即平面.所以即为与平面所成的角，即为与平面所成的角.由于平面，在平面内，故.从而在直角中，可得.设，由，可得，所以，所以.由于，故在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，在直角中，可得，且当时，取得等号.所以的最大值是，所以D正确.三、填空题；（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.某学习小组由6名男生和4名女生组成，从中依次随机抽取2人参加知识竞赛，则在第一次抽到男生的条件下，第二次抽到女生的概率等于______.答案：解析：思路：根据给定条件，利用缩小样本空间的方法求出条件概率.解答过程：在第一次抽到男生的条件下，学习小组剩余9个人，其中男生5名，女生4名，所以在第一次抽到男生的条件下，第二次取到女生的概率是.13.在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________.答案：解析：思路：利用空间向量模长公式，将体对角线向量分解为三条棱向量的和，平方展开后代入模长与夹角计算数量积，最后开方得到结果.解答过程：在平行六面体中，，.因为，，，所以，即.14.设展开式为，则________.答案：解析：思路：借助二项式的展开式可得，从而可得，再利用组合数性质，可得，即可对裂项得到，再利用裂项相消法求和即可得解.解答过程：由，故，则，由，则，即有，故.四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项．答案：（1）证明见解析（2）和解析：思路：（1）先根据第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列列方程求出，再写出展开式的通式，令的次数为计算即可；（2）求出使的次数为整数的，然后代入展开式的通式计算即可.（1）由第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列得解得（舍去）或的展开式的通式为令，得故展开式中没有常数项；（2）令，则，，展开式中的有理项为和16.有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．（1）全体排成一排，女生必须站在一起；（2）全体排成一排，男生互不相邻；（3）全体排成一排，5人中的甲不站最左边，乙不站最右边．答案：（1）36；（2）72；（3）78．解析：思路：（1）根据题意可知，女生站在一起为相邻问题，将所有女生捆绑到一起看作一个元素，与其他男生进行全排列，需注意女生内部排序；（2）由题可知为不相邻问题，采用插空的方法，先排女生，男生再插空排列；（3）有特殊元素的情况下需要先考虑特殊元素，分类讨论甲站在最右边和不在最右边的情况；或者用所有的排列情况减去甲在最左边或乙在最右边的情况，再加上重复减去的甲在最左边且乙在最右边的情况．（1）先将女生捆绑共：种排列方法；再与另外2名男生一共看成3个元素全排列：种排列方法；分步用乘法：共种．（2）先对女生进行全排列：种；再将男生插空，4个空放2名男生：种；分步用乘法：共种．（3）法一：对甲的位置进行分类：第一类：甲在最右边：1种情况；其他无特殊要求种；共种；第二类：甲不在最右边且不在最左边，共3个位置可以选；乙不在最右边，除去甲已选的位置，也有3个位置可以选；其余3人全排列：种；分步用乘法：共种；综上，分类用加法：共种．法二（间接法）：全体排成一排：种；其中甲站最左边：种；乙站最右边：种；其中甲站最左边且乙站最右边：种；故共有种．17.据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？（2）从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差.答案：（1）；（2），；（3）佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.解析：思路：（1）先根据该市的样本求得这位学生佩戴眼镜的概率和佩戴眼镜是角塑性眼镜的概率，再利用条件概率的计算公式计算即得结果；

（2）从8名学生选3个，男生人数X服从超几何分布，按照，k=0，1，2，写出分布列即可；（3）依题意随机变量服从二项分布，利用公式计算期望和方差即可.（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，故所求的概率为：，所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，其中：；；.所以男生人数的分布列为：所以，，（3）由已知可得：则：，所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.18.如图，在四棱台中，已知，.（1）证明：平面；（2）若四棱台的体积为，求二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据线面垂直的定义证明即可；（2）建立空间直角坐标系，根据四棱台的体积写出各点坐标即可计算出二面